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二倍角与半角的正弦、余弦和正切Ⅱ


教学目标: 教学目标:
1、掌握半角的正弦、余弦和正切公式和万能置换 公式及其推导过程. 2、能正确运用上述公式化简三角式,求某些三角比 的值和证明三角恒等式. 3、通过上述公式的推导,掌握公式的来龙去脉,对 公式形成自然的记忆.

教学重点与难点: 教学重点与难点:
教学重点:半角公式和万能公式的推导及应用. 教学难点:灵活运用升幂(降幂)公式.

教学方法: 教学方法:启发. 教学手段: 教学手段:多媒体辅助教学. 教学过程: 教学过程:

一、复习引入
cos 2α = 2 cos α ? 1
2

cos 2α = 1 ? 2 sin α
2

1 + cos 2α cos α = 2
2

1 ? cos 2α sin α = 2
2

降次

1+ cos 2α cosα = ± 2

1? cos 2α sin α = ± 2

α 用 代α 2

1 + cos α cos = ± 2 2

α

1 ? cos α sin = ± 2 2

α

1 ? cos α tan = ± 2 1 + cos α

α

1、半角公式和倍角公式实际上是同一组公式的不 α 同变形;α是α的两倍,α是 的两倍 2 2 α 2、公式中根号前的“ ”由角 的终边所在象限确定. ± 2

tan

α
2

=

sin cos

α α
2= 2

2 = sin α α α 1+ cosα cos ? 2cos 2 2 你能证明 2
吗?

sin

α

? 2cos

α

1? cos α sin α 即: tan = = 2 1 + cos α sin α

α

tan

α
2

=

sin

α α
2= 2

sin

α α
2 2

? 2sin ? 2sin

α

cos

cos

α

2 = 1? cosα 2

sin α

α
1 ? cos α tan = ± 2 1 + cos α

α

α ≠ 2kπ + π , k ∈ Z α ≠ 2kπ + π , k ∈ Z

sin α tan = 2 1 + cos α

α

1 ? cos α tan = 2 sin α
α
2 ≠ kπ +

α

α ≠ kπ , k ∈ Z

π
2

, k ∈ Z ? α ≠ 2kπ + π , k ∈ Z

二、半角公式
2 α 1+ cosα 半角的余弦公式: 半角的余弦公式: α ∈R cos = ± 2 2

α 1? cosα 半角的正弦公式: 半角的正弦公式: α ∈R sin = ±
2

α 1? 1? cosα 半角的正切公式: 半角的正切公式: α ≠ 2kπ +π tan = ± 2 1+ cosα α sin α tan = α ≠ 2kπ +π 2 1+ cosα α 1? cosα tan = α ≠ kπ k∈Z 2 sin α

三、例题与练习
α α α 3 ? π ? 例1、已知 cos α = ,α ∈ ? ? ,0 ?,求 sin 、 cos 和 tan . 5 2 2 2 ? 2 ? α ? π ? ? π ? 解:由α ∈? ? ,0?, 可知 ∈? ? ,0? 2 ? 4 ? ? 2 ? 3 1? α 1? cosα 5 =? 5 ∴sin = ? =? 2 2 2 5 α 如果 题只 tan , 此 求 3 2 1+ α 1+ cosα 还 有什 么方 ? 法 5 =2 5 cos = = 2 2 4 2 5 sin α = ? α 5 1 α sin 2 α 1? cosα tan = =? tan = 2 cos α 2 2 sin α
2

例2、 试用 tan

α

2α α 2α 解: α = 2sin cos sin 1? tan 2 2 2 α α cosα = 2sin cos 2α 1+ 1+ tan 2 2 = 2 2α 2α sin + cos α 2 2 2 tan α 2 2 tan tanα = 2 2α = 1? tan α 2 2 1+ tan 2

表示 sin α、 α和 tan α. cos

四、万能置换公式
sin α = 2 tan 1+ tan
1? tan 1+ tan

α

2
2

α
2

α ≠ 2kπ +π (k ∈Z)

2

α

cosα =

2

α

2 α ≠ 2kπ +π (k ∈Z) 2

tanα =

α ≠ 2kπ +π且 π 2α α ≠ kπ + (k ∈Z) 1? tan
2 2

2 tan

α

2

(1)万能公式是一组二倍角公式: 2 tan α 1 ? tan 2 α 2 tan α sin 2α = ; 2α = cos ; 2α = tan 2 2 2 1 + tan α 1 + tan α 1 ? tan α

万能公式“万能”体现在: (2)  只要已知tan α,就可以求2α的所有三角比.
(3)万能公式中的倍半角关系是相对而言的:    是α的两倍,α是 的两倍. 2α 2

α

例3、已知 tan α = ?2,求4 sin 2α + 3 cos 2α ? 5 tan 2α.

2 tanα 4 解: 2α = sin =? 2 1+ tan α 5 2 1? tan α 3 cos 2α = =? 2 1+ tan α 5 2 tanα 4 tan 2α = = 2 1? tan α 3 16 9 20 ∴4sin 2α + 3cos 2α ? 5tan 2α = ? ? ? 5 5 3
35 =? 3

ex1、利用半角公式求下列 各式的值: 3π π π π (1) sin ? cos ( 2) tan + tan 12 12 8 8
解 (1) sin :

π
12

=
=

1? cos
1+cos + cos 2

6 = 2 ? 3 = 4? 2 3 = 3 ?1 8 4 2 2 2

π

cos

π
12

π

6 = 2 + 3 = 4+ 2 3 = 3 +1

3π 2 2 1? cos 1? cos 1? 1+ π 3π 4 = 4+ 2 + 2 解:) tan + tan (2 = π 3π 2 2 8 8 sin sin 2 2 4 4

?2 2 ∴sin ? cos = =? 12 12 2 2 2

π

π

4

8

2 2

=2 2

π

ex 2、证明下列恒等式: 1 ? cos 4α cos 2α ?π α ? (1)2 cos ? ? ? = 1 + sin α (2) ? = tan α sin 4α 1 + cos 2α ?4 2?
2

?π ? 证明:)左边 =1+ cos? ?α ?=1+ sin α = 右边 (1 ?2 ?

所以原等式成立 cos 2α sin 2α cos 2α (2)左边 = tan 2α ? = ? 1+ cos 2α cos 2α 1+ cos 2α sin 2α = = tanα = 右边 1+ cos 2α 所以原等式成立


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