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25.2. 1用列举法求概率(1)


用列举法求概率(1)

复习回顾: 一般地,如果在一次试验中,

有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,
事件A包含在其中的m种结果,

m 那么事件A发生的概率为: P ( A) ? n
求概率的步骤: (1)列举出一次试验中的所有结果(n个); (2)找出其中事件A发生的结果(m个);

m (3)运用公式求事件A的概率:P ( A) ? n

球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。 蒙上眼睛从口袋中取一只球,如果你想取出1只黑 球,你选哪个口袋成功的机会大呢?

甲 袋

20红,8黑

乙袋 20红,15黑,10白

解: 在甲袋中,P(取出黑球)=
在乙袋中,P(取出黑球)=

1 3



2 7

2 8 = 7 28 1 15 = 3 45

所以,选乙袋成功的机会大。

如图是“扫雷”游戏。 在 9×9 个正方形雷区中, 随机埋藏着10颗地雷, 每个方格最多只能藏一颗地雷。

A区域

3

B区域

小佳在游戏开始时,踩中后出现如图所示的情况。 我们把与标号3的方格相临的方格记为A区域(画线部分), A区域外的部分记为B区域。 数字3表示A区域有3颗地雷, 那么第二步应踩在A区域还是B区域?

引例:掷两枚硬币,求下列事件的概率:

(1)两枚硬币全部正面朝上;
(2)两枚硬币全部反面朝上; (3)一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上; “掷两枚硬币”共有几种结果?

正正

正反

反正

反反

为了不重不漏地列出所有这些结果, 你有什么好办法么?

掷两枚硬币,不妨设其中一枚为A,另一枚为B, 用列表法列举所有可能出现的结果:
A

B


正正 反正



正反 反反

正 反
第一枚

还能用其它方法列举 所有结果吗?



第二枚









共4种可能的结果 此图类似于树的形状,所以称为 “树形图”。

例1:如图,甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、 3,乙转盘的四个等分区域分别写有数字4、5、6、7。 现分别转动两个转盘,求指针所指数字之和为偶数的 概率。
甲 解:


1 2 3
5 6



4 5 7 6
7
共有12种不同结果,每 种结果出现的可能性相 同,其中数字和为偶数 的有 6 种 ∴P(数字和为偶数) 6 1 = 12 ? 2



4

1

(1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7)

2
3

归纳

“列表法”的意义:
当试验涉及两个因素(例如两个转盘) 并且可能出现的结果数目较多时,

为不重不漏地列出所有的结果,
通常采用“列表法”。 上题可以用画“树形图”的方法 列举所有可能的结果么?

探究

1 2 甲 3

4 5 乙 7 6

甲转盘指针所指的数字可能是 1、2、3, 乙转盘指针所指的数字可能是 4、5、6、7。

甲转盘

1

2

3

乙转盘

4 5 6 7 4 5 6 7 √ √ √ √
共 12 种可能的结果

4 5 6 7 √ √

求指针所指数字之和为偶数的概率。 与“列表”法对比,结果怎么样?

例2、同时掷两个质地相同的骰子,计算下列事件的概率: (1)两个骰子的点数相同;(2)两个骰子的点数和是9; (3)至少有个骰子的点数是2。 此 解: 二 1 2 3 4 5 6 一 题 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 用 列 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 树 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 图 的 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 方 法 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 好 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,5) (6,6) 吗 ? 4 1 6 1 ? P(点数相同)= P(点数和是9)= ? 36 6 36 9 11 P(至少有个骰子的点数是2 )= 36

思考
“同时掷两个质地相同的骰子”与 “把一个骰子掷两次”,所得到的结果有变化吗?

“同时掷两个质地相同的骰子” 两个骰子各出现的点数为1~6点
“把一个骰子掷两次” 两次骰子各出现的点数仍为1~6点

归纳
随机事件“同时”与“先后”的关系:

“两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的。

练习
1、一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁 在每个岔口都会随机地选择一条路径,它获得食物的 概率是多少?

食物

蚂蚁

2、用如图所示的两个转盘进行“配紫色”(红与蓝)

游戏。请你采用“树形图”法计算配得紫色的概率。

白 红 蓝 甲

黄 绿 蓝 红


3、每个转盘分成相等的两个扇形。甲、乙两人 利用它们做游戏:同时转动两个转盘, 如果两个指针所停区域的颜色相同则甲获胜; 如果两个指针所停区域的颜色不同则乙获胜。 你认为这个游戏公平吗?

蓝 黄

蓝 绿 黄

5、一个袋子中装有2个红球和2个绿球,任意摸出一个 球,记录颜色后放回,再任意摸出一个球,请你计算两 次都摸到红球的概率。

若第一次摸出一球后,不放回,结果又会怎样? “放回”与“不放回”的区别: (1)“放回”可以看作两次相同的试验;

(2)“不放回”则看作两次不同的试验。

4.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同 号码的3个黑球,从中摸出2个球.摸出两个黑球的 概率是多少? 解:设三个黑球分别为:黑1、黑2、黑3,则:

第一个球: 白

黑1

黑2

黑3

第二个球: 黑1 黑2黑3 白 黑2 黑3

白 黑1 黑3 白 黑1 黑2

6 1 ? P(摸出两个黑球)? = 12 2

4、在盒子中有三张卡片,随机抽取两张,可能 拼出菱形(两张三角形)也可能拼出房子(一张三 角形和一张正方形)。游戏规则是: 若拼成菱形,甲胜;若拼成房子,乙胜。 你认为这个游戏公平吗?

7、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子,如果点数 之积为奇数,那么甲得1分;如果点数之积为偶数,那么乙得1分。 连续投10次,谁得分高,谁就获胜。 (1)请你想一想,谁获胜的机会大?并说明理由; (2)你认为游戏公平吗?如果不公平,请你设计一个公平的游戏。

列出所有可能的结果:
1 1 1×1=1 2 2×1=2 3 3×1=3 4 4×1=4 5 5×1=5 6 6×1=6

2
3 4 5

1×2=2
1×3=3 1×4=4 1×5=5

2×2=4
2×3=6 2×4=8 2×5=10

3×2=6
3×3=9 3×4=12 3×5=15

4×2=8
4×3=12 4×4=16 4×5=20

5×2=10
5×3=15 5×4=20 5×5=25

6×2=12
6×3=18 6×4=24 6×5=30

6

1×6=6

2×6=12

3×6=18

4×6=24

5×6=30

6×6=36

小结
1.“列表法”的意义 2. 利用树图列举所有结果的方法.

3.随机事件“同时”与“先后”的关系 “放回”与“不放回”的关系.

1、在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机地抽取一 张后放回,再随机地抽取一张,那么第二次取出的数 字能够整除第一次取出的数字的概率是多少? 解: 列出所有可能的结果:
一 二

1

2

3

4

5

6

1
2 3 4 5 6

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

P(

第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字

)=

7 14 ? 18 36

2、有两把不同的锁和三把钥匙,其中两把钥匙恰好能分别打开 这两把锁,第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去 开任意一把锁,一次打开锁的概率是多少?

解: 设有A,B两把锁和a,b,c三把钥匙,其中钥匙a,b分别 可以打开锁A,B.列出所有可能的结果如下:

a A B A

b B A

c B

2 1 P(一次打开锁)= = 6 3

3、一次联欢晚会上,规定每个同学同时转动两个转盘(每 个转盘被分成二等分和三等分),若停止后指针所指的数 字之和为奇数,则这个同学要表演唱歌节目;若数字之 和为偶数,则要表演其他节目。试求这个同学表演唱歌 节目的概率。你有几种方法?

1

2

1

3

2

4、某班要派出一对男女混合双打选手参加学校的乒乓 球比赛,准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、 小强两名男选手中选男、女选手各一名组成一对参赛, 一共能够组成哪几对?采用随机抽签的办法,恰好选 出小敏和小强参赛的概率是多少?

4、有甲、乙两把不同的锁,各配有2把钥匙。求从这4把 钥匙中任取2把,能打开甲、乙两锁的概率。

解:设有A1,A2,B1, B2四把钥匙,其中钥匙A1,A2可以 打开锁甲,B1, B2可以打开锁乙.列出所有可能的结 果如下: B1 A2 A1 B2 钥匙1

钥匙2

A2 B1B2A1 B1 B2 A1 A2 B2 A1 A2 B1 8 2 P(能打开甲、乙两锁)= = 12 3


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