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2015高三数学一轮复习第八章第六节


高三一轮总复习数学 ·BS(理科)

第六节
自 主 落 实. 固 基 础

抛物线
高 考 体 验 . 明 考 情

考纲传真

1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程

及几何性质.2.了解圆锥曲线的简单应用.
典 例 探 究 . 提 知 能
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自 主 落 实. 固 基 础

1.抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F 准线 . 作抛物线的_________ l) 的距离相等的 抛物线 ,点F叫作抛物线的_______ 焦点 ,直线l叫 点的集合叫作_______

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2.抛物线的标准方程与几何性质
自 主 落 实. 固 基 础

标准 方程

y2=2px
(p>0)

y2=- 2px(p>0)

x2=2py
(p>0)

x2=- 2py (p>0)

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图形
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范围

0,y∈R y≥0,x∈R ____________ x≥0,y∈R x≤

y≤0, x∈R





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自 主 落 实. 固 基 础

焦点坐标 准线 方程 离心率

?p ? ? ? , 0 ? ? _______ ?2 ?

? ? p ? ? 0 , ? ? 2 ? ?

___________ p y= 2

p x=- 2

p x= ________ _______ 2
e =1

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焦半径

|PF|=x0 |PF|= |PF|= |PF|=-y0+ p p p p -x0+ y0+ + 2 2 ________ _______ 2 2

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自 主 落 实. 固 基 础

典 例 探 究 . 提 知 能

1 . ( 固基升华 ) 判断下列结论的正误. ( 正确的打 “√”,错误的打“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等 的点的集合一定是抛物线.( ) 2 (2)方程 y=ax (a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的 ?a ? ? , 0 抛物线 ,且其焦点坐标是 ? ? ? , 准线方程是 x = - ?4 ? a .( 4 )

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(3) 抛 物 线 既 是 中 心 对 称 图 形 , 又 是 轴 对 称 图 形.( )
菜 单

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?p ? ? , 0 F? ? ?的 ?2 ?

自 主 落 实. 固 基 础

(4)AB 为抛物线 y =2px(p>0)的过焦点
2

2

p 2 弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2= ,y1y2=-p , 4 弦长|AB|=x1+x2+p.( )

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【答案】
典 例 探 究 . 提 知 能

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√
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自 主 落 实. 固 基 础

2.(北师大版教材改编题)抛物线 y=4x2 的准线方程 是( ) A.y=-2 B.y=-1 1 1 C.y=- D.y=- 8 16 1 2 【解析】 将抛物线方程化为标准式为 x = y, 4
1 1 ∴2p= ,p= , 4 8 1 ∴准线方程为 y=- . 16
【答案】
菜 单

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D

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3.(2014·烟台质检)若点P到点F(0,2)的距离比它到直
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线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为( A.y2=8x C.x2=8y 【解析】

)

B.y2=-8x D.x2=-8y 由题意点 P 到点 F 和到定直线 y =- 2 的距离

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相等,故点 P 在以点 F 为焦点,直线 y =- 2 为准线的抛物线
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上,故其方程为x2=8y.

【答案】

C

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4.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上
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的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为( A.4 C.4或-4
【解析】 p 由题意知 +2=4, 2 ∴p=4, 2 ∴抛物线方程为 x =-8y, 2 ∴m =16,∴m=±4.

)

B.-2 D.12或-2
设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),

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【答案】
菜 单

C

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5.(2013·四川高考)抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x
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- 3y=0 的距离是( A.2 3 C. 3
【解析】

) B.2 D.1

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抛物线 y =8x 的焦点为 F(2,0),
2 2

2

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则 d=

|2- 3×0| 1 +(- 3)

=1.

【答案】

D

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自 主 落 实. 固 基 础

考向 1 抛物线的定义及其应用 【例 1】 (1)(2013·全国课标卷Ⅰ)O 为坐标原点, F 为抛物线 C:y =4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF| =4 2,则△POF 的面积为( A.2 B.2 2 ) C.2 3 D.4
?p ? ? , 0 F? 且与 ? ?, ?2 ?
2

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(2)(2013·九江模拟)已知动圆过定点

p 直线 x=- 相切,其中 p>0,则动圆圆心的轨迹 E 的方 2 程为________.
菜 单

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【思路点拨】
自 主 落 实. 固 基 础

(1) 先利用抛物线的焦半径公式求出点
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的坐标,再结合三角形面积公式求解. (2) 根 据 条 件 找 出约 束圆心的条件利用抛物线定义 求 解.

【尝试解答】 (1)设 P(x0,y0),则|PF|=x0+ 2=

4 2, ∴x0=3 2,
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∴y =4 2x0=4 2×3 2=24,∴|y0|=2 6. 1 1 ∵F( 2,0),∴S△POF= |OF|·|y0|= × 2×2 6= 2 2 2 3.
菜 单

2 0

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自 主 落 实. 固 基 础

p (2)由题意动圆圆心到直线 x=- 的距离等于半径, 2 即等于到定点 F 的距离,故圆心轨迹为以 F 的焦点以 x p 2 =- 为准线的抛物线,故其方程为 x =2py. 2

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【答案】
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(1)C

(2)x2=2py
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规律方法 1
自 主 落 实. 固 基 础

1. 抛物线定义的应用有两个方面:一是判
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定,即判定动点的轨迹是否为抛物线;二是性质,可实现抛 物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的相互转化. 2 . (1) 若 p(x0 , y0) 为抛物线 y2 = 2px(p>0) 上一点,则焦 半径 |PF| = x0 +; (2) 若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1 , y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p、其中x1+x2可由 根与系数的关系整体求出.

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自 主 落 实. 固 基 础

变式训练 1 (2012·安徽高考)过抛物线 y2=4x 的 焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 |AF|=3,则△AOB 的面积为( ) 2 A. 2 【解析】 3 2 B. 2 C. 2 如图所示,由题意 D.2 2

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知,抛物线的焦点 F 的坐标为 (1 ,
0) ,又 |AF| = 3 ,由抛物线定义知:
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点 A到准线 x=- 1的距离为 3 , ∴ 点 A的横坐标为2.

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自 主 落 实. 固 基 础

将 x=2 代入 y =4x 得 y =8,由图知点 A 的纵坐标 y=2 2, ∴A(2,2 2),∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). ? ?y=2 2(x-1), 联立直线与抛物线的方程? 2 ? ?y =4x, ? 1 ? ?x= , x=2, ? 解之得? 2 或? ?y=2 2. ? ? ?y=- 2

2

2

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自 主 落 实. 固 基 础

1 1 1 由图知 B( ,- 2),∴S△AOB= |OF|·|yA-yB|= × 2 2 2 3 1×|2 2+ 2|= 2.故选 C. 2
【答案】 C

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考向2 抛物线的标准方程与几何性质
自 主 落 实. 固 基 础

【例2】

(2013·课标全国卷Ⅱ)设抛物线C:y2=2px(p ) B.y2=2x或y2=8x D.y2=2x或y2=16x

> 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, |MF|= 5. 若以 MF 为直径的圆
过点(0,2),则C的方程为( A.y2=4x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x

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【思路点拨】

用定义将 M点坐标用 P表示,然后利用

点(0,2)在以MF为直径的圆上,建立P的方程求P.

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自 主 落 实. 固 基 础

【尝试解答】 为 N. 由

设 M(x0,y0),A(0,2),MF 的中点 ? ? p ?x0+ ? 2 y0?. 点的坐标为? ? 2 ,2? ? ?
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?p ? 2 ? , 0 y =2px,F? ? ?,∴N ?2 ?

p 由抛物线的定义知,x0+ =5, 2
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p ∴x0=5- .∴y0= 2

? ? p ? 5 - 2p? ? ?. 2? ?

|M F| 5 25 2 ∵|AN|= = ,∴|AN| = . 2 2 4
菜 单

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自 主 落 实. 固 基 础

? p? ?x0+ ?2 ?y0 ?2 25 ? 2? + ? - 2 ∴? ? ? = . 4 ?2 ? ? 2 ? ? ?
? ? p p ? ?2 5 - + ? ? 2 2 ? ?



4

? ? +? ? ?

? ? p ? 5 - 2p? ? ? 2 ? ?

2

? ?2 25 ? = . 4 -2? ?

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2 解得 p=2 或 p=8.∴抛物线方程为 y2=4x 或 y2= 16x. 【答案】 C
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? ? p ? 5 - 2p? ? ? 2 ? ?

-2=0.整理得 p -10p+16=0.

2

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规律方法 2
自 主 落 实. 固 基 础

1. 求抛物线的标准方程常用待定系数法,
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因未知数仅有 P ,故只需一个条件确定 P 即可,但要注意, 抛物线方程有四种形式,因此求解时,需先定位,再定量. 2 . 抛物线的性质主要有范围、准线、焦点、对称性, 应用对称性解题可简化运算.

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变式训练2
自 主 落 实. 固 基 础

将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一
)
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个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( A.n=0 C.n=2 B.n=1 D.n≥3

【解析】
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如图所示,P,Q 两点关于 x 轴对称,F
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?p ? ? , 0 点坐标为? ? ?, 2 ? ?

设 P(m, 2pm ),(m>0), 则 Q(m,- 2pm ),
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则由抛物线的定义, p |PP1|=|PF|=m+ . 2 又∵△FPQ 为等边三角形, p ∴|PF|=|PQ|=2 2pm ,∴m+ =2 2pm , 2 p 2 整理得 m -7pm+ =0, 4
2 p ∴Δ =(-7p)2-4× =48p2>0, 4 2

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∴方程①有两相异实根,记为 m1,m2,





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p2 且 m1+m2=7p>0,m1·m2= >0, 4 ∴m1>0,m2>0, ∴使△FPQ 为等边三角形的点 P、Q 有两组,即正三 角形有 2 个.

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【答案】

C

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自 主 落 实. 固 基 础

考向 3 直线与抛物线的位置关系 【例 3】 (1)(2013·大纲全国卷)已知抛物线 C: y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 → → C 交于 A、B 两点.若M A ·M B =0,则 k=( ) 1 A. 2 2 B. 2 C. 2 D.2

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(2)( 原创题 ) 已知抛物线 C : y = x2 与直线 l : 2x - y - 4 =
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0,则抛物线C上到直线l距离最小的点的坐标为( A.(0,0) C.(2,4) B.(1,1) D.(-1,1)

)

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自 主 落 实. 固 基 础

(1)联立直线与抛物线的方程,消元 → → 得一元二次方程并得两根之间的关系,由 M A ·M B =0 进行坐标运算解未知量 k. (2)可将建立 C 上的点的坐标与距离 d 间的函数,求 最值;也可数形结合平移直线或用导数求解. 【尝试解答】 (1)抛物线 C 的焦点为 F(2,0),则 直线方程为 y=k(x-2),与抛物线方程联立,消去 y 化 2 2 2 2 简得 k x -(4k +8)x+4k =0.设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 8 则 x1+x2=4+ 2,x1x2=4. k
8 所以 y1+y2=k(x1+x2)-4k= , k y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-16.
菜 单

【思路点拨】

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→ → 因为M A ·M B =(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=
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(x1+2)(x2+2)+(y1 -2)(y2-2)=x1x2+2(x1+x2)+y1y2 -2(y1+y2)+8=0, 将上面各个量代入,化简得 k2-4k+4=0,所以 k =2.
2 设 C 上任意一点 P(x0,x0 ),则点 P 到直线 |2x0-x2 1 2 1 0-4| l 的距离 d= = (x0-2x0+4)= [(x0- 5 5 5

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(2)法一

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1)2+3], 故当 x0=1 时,d 最小,此时 P(1,1).

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法二
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设直线l的平行直线l′的方程为2x-y+b=0,
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即y=2x+b,代入y=x2,得

x2-2x-b=0,
令Δ=0,得4+4b=0,b=-1. 方程①可化为x2-2x+1=0,解得x=1. 故点(1,1)即为所求.



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法三

∵y=x2,∴y′=2x,令2x=2,得x=1.

故点(1,1)即为所求. 【答案】 (1)D (2)B

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规律方法 3
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1. 直线与抛物线的位置关系,可以通过直
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线方程与抛物线方程联立、消元后的方程的根的个数来判 定,但要注意该方程不一定是一元二次方程. 2 . 直线与抛物线相切、相交问题可通过方程的根与系 数的关系解决,相切问题也可与导数结合.

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变式训练 3

1 2 (2013·山东高考)抛物线 C1: y= x (p 2p

x2 >0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 C1 3 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条 渐近线,则 p=( )

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3 A. 16

3 B. 8

2 3 C. 3

4 3 D. 3

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【解析】

如图所示,

x 2 ∵双曲线 C2: -y =1,∴右焦点为 F(2,0),渐近 3 3 线方程为 y=± x. 3
? ? p 1 2 ? 0 , 抛物线 C1:y= x (p>0),焦点为 F′? ? ?. 2? 2p ?

2

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1 2 设 M(x0,y0),则 y0= x0. 2p 1 2 p p x0- 2p 2 2 ∵kMF′=kFF′,∴ = . x0 -2 1 1 3 又∵y′= x,∴y′|x=x0= x0= . p p 3

① ②

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4 3 由①②得 p= . 3
【答案】 D

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焦半径:抛物线 y =2px(p>0)上一点 P(x0,y0)到焦 ?p ? p ? ? 点 F? ,0?的距离|PF|=x0+ . 2 ?2 ?

2

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1.定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确

定p的值,得到抛物线的标准方程.
2.待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数p 的值,这里要注意抛物线标准方程有四种形式.焦点在 x 轴 上,设为y2=ax(a≠0),焦点在y轴上,设为x2=by(b≠0).

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1.求抛物线的标准方程,要由焦点位置 ( 开口方向 ) 判断 是哪一种标准方程. 2 . 重视应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问 题,以简化运算.

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3 . 直线与抛物线有一个交点,并不表明直线与抛物线

相切.

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从近两年高考试题看,抛物线的定义及直线与抛物线的 位置关系是高考考查的重点和热点,既可以以客观题的形式 呈现,突出“小而巧”,考查学生思维的灵活性及数形结合

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思想,又可以以解答题的形式考查,突出函数与方程思想以
及坐标法的考查,有时也可同导数结合,解答时应注意抛物 线范围对坐标的限制,避免失误.
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易错辨析之七 忽视抛物线的范围致误
自 主 落 实. 固 基 础

(2013·安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于

A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a
的取值范围为________.

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【错解】 设 C(x,x2),由题意 A(- a,a),B( a,
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a), → → 则C A =(- a-x,a-x2),C B =( a-x,a-x2) π → → 由于∠CAB= ,所以C A ·C B =0, 2 即 x4+(1-2a)x2+a2-a=0 即 y2+(1-2a)y+a2-a=0.① 由题意方程①有根,故(1-2a)2-4(a2-a)≥0. 即 1≥0,故 a∈R.
【答案】 (-∞,+∞)

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自 主 落 实. 固 基 础

错因分析:(1)不能将“ 存在点C”转化为 “关于C点坐 标的方程有解”,而无从下手; (2) 忽视方程①中的 y 的范围为 y≥0 ,而在实数范围内研 究方程有根,导致a范围扩大. 防范措施: (1) 对于 “ 点、直线等几何元素的存在问题

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或存在几个的问题,往往转化为相应的变量构成的方程的解

的存在性问题或存在几个解的问题来解答;
(2) 在应用圆锥曲线的坐标解答方程根的存在性问题, 求范围或最值问题时,要注意圆锥曲线范围的限制.
菜 单

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【正解】
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设 C(x,x2),由题意可取 A(- a,a),
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B( a,a),
2 2 → → 则C A =(- a-x,a-x ),C B =( a-x,a-x ),

π → → 由于∠ACB= ,所以C A ·C B =(- a-x)( a-x) 2 +(a-x ) =0, 整理得 x4+(1-2a)x2+a2-a=0, 即 y2+(1-2a)y+a2-a=0,
?-(1-2a)≥0, ? 2 所以?a -a≥0, 解得 a≥1. ? 2 2 ( 1 - 2a ) - 4 ( a -a)>0, ? 【答案】 [1,+∞)
菜 单
2 2

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自 主 落 实. 固 基 础

1.(2013·江西高考)已知点 A(2,0),抛物线 C: x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与 其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|=( ) A.2∶ 5 C.1∶ 5 B.1∶2 D.1∶3

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自 主 落 实. 固 基 础

【解析】 如图所示,由抛物线定义知|MF|=|MH|, 所 以 |MF|∶|MN| = |MH|∶|MN|. 由 于 △MHN∽△FOA , 则 |M H | |O F| 1 = = , |H N | |O A | 2

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则|MH|∶|MN|=1∶ 5,
典 例 探 究 . 提 知 能

即|MF|∶|MN|=1∶ 5.
【答案】 C

课 后 限 时 自 测





高三一轮总复习数学 ·BS(理科)

自 主 落 实. 固 基 础

2.(2013·课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y =4x 的焦 点为 F, 直线 l 过 F 且与 C 交于 A, B 两点. 若|AF|=3|BF|, 则 l 的方程为( ) A.y=x-1 或 y=-x+1 3 3 B.y= (x-1)或 y=- (x-1) 3 3

2

高 考 体 验 . 明 考 情

典 例 探 究 . 提 知 能

C.y= 3(x-1)或 y=- 3(x-1) 2 2 D.y= (x-1)或 y=- (x-1) 2 2
课 后 限 时 自 测





高三一轮总复习数学 ·BS(理科)

【解析】
自 主 落 实. 固 基 础

设直线 AB 的倾斜角为 θ ,由题意知 p=
高 考 体 验 . 明 考 情

|A F| 2,F(1,0), =3. |B F| 1 1 2 1 1 又 + = ,∴ + =1, |FA | |FB | p 3|B F| |B F| 4 16 ∴|BF|= ,|AF|=4,∴|AB|= . 3 3 2p 16 4 又由抛物线焦点弦公式: |AB|= 2 , ∴ = 2 , s i nθ 3 s i nθ
3 3 ∴sin θ= , ∴sin θ= , ∴k=tan θ=± 3. 4 2
2

典 例 探 究 . 提 知 能

课 后 限 时 自 测

故选 C. 【答案】
菜 单

C

高三一轮总复习数学 ·BS(理科)

自 主 落 实. 固 基 础

课后限时自测

高 考 体 验 . 明 考 情

典 例 探 究 . 提 知 能

课 后 限 时 自 测






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