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长沙长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷

长郡中学 2008 年高一实验班选拔考试试卷
1.在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不在( (A) 直线 y = –x 上 (C) 直线 y = x 上 那么 k 的值是 ( (A) 35 (B) 30 ) (C) 25 (D) 20 (B) 抛物线 y = x 2 上 (D) 双曲线 xy = 1 上 )

2.以等速度行驶的城际列车,若将速度提高 25%,则相同距离的行车时间可节省 k%,

3.若-1< a <0,则 a, a 3 , 3 a , (A)

1 一定是 ( a

)

1 最小, a 3 最大 (B) 3 a 最小, a 最大 a 1 1 (C) 最小,a 最大 (D) 最小, 3 a 最大 a a 4.如图,将△ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90°,得△ABF,连结 EF 交 AB
于 H,则下列结论错误的是( (A) AE⊥AF (C) AF2 = FH·FE ) (B)EF:AF = 2 :1 (D)FB :FC = HB :EC

5.在△ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 上,且 CD 与 BE 相交于点 F,已知△BDF 的面 积为 10,△BCF 的面积为 20,△CEF 的面积为 16,则四边形区域 ADFE 的面积等于 ( ) (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44 6.某医院内科病房有护士 15 人,每 2 人一班,轮流值班,每 8 小时换班一次,某两 人同值一班后,到下次两人再同班,最长需要的天数是( (A)30 (B)35 (C)56 (D) 448 ___ . 小时后, )

7.若 4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0, 则 tanA = ___

8.在某海防观测站的正东方向 12 海浬处有 A、B 两艘船相会之后,A 船以每小时 12 海浬的速度往南航行,B 船则以每小时 3 海浬的速度向北漂流. 则经过 观测站及 A、B 两船恰成一个直角三角形. 9.如右图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为 4、2,则通过 A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 .

(第 9 题)

10.桌面上有大小两颗球,相互靠在一起。已知大球的半径为 20cm,小球半径 5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm. 11.物质 A 与物质 B 分别由点 A(2,0)同时出发,沿正方形 BCDE 的周界做环绕运动, 物质 A 按逆时针方向以 l 单位/秒等速运动,物质 B 按顺时针方向,以 2 单位/秒等速运 动,则两个物质运动后的第 11 次相遇地点的坐标是 .

(第 11 题)

12.设 C1 , C 2 , C 3 , … … 为一群圆, 其作法如下: C1 是半径为 a 的圆, 在 C1 的圆内作四 个相等的圆 C 2 (如图), 每个圆 C 2 和圆 C1 都内切, 且相邻的两个圆 C 2 均外切, 再在每一 个圆 C 2 中, 用同样的方法作四个相等的圆 C3 , 依此类推作出 C 4 , C 5 , C 6 , …… , 则

(1) 圆 C 2 的半径长等于

(用 a 表示);

(2) 圆 C k 的半径为

( k 为正整数,用 a 表示,不必证明)

13.(本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AD 是圆 O 的直径,DC 与 AB 的延长线相交于 E 点,OC∥AB.

(1) 求证 AD = AE; (2) 若 OC=AB = 4,求△BCE 的面积.

14.(本题满分 14 分)已知抛物线 y = x2 + 2px + 2p –2 的顶点为 M, (1) 求证抛物线与 x 轴必有两个不同交点; (2) 设抛物线与 x 轴的交点分别为 A,B,求实数 p 的值使△ABM 面积达到最小.

15. (本小题满分 16 分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表: 当比赛进行到 12 轮结束(每队均要比赛 12 场)时,A 队共积 19 分。 积分 胜一场 平一场 负一场 3 1 0 700 0

奖励(元/每人) 1500 (1) 试判断 A 队胜、平、负各几场?

(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费 500 元,设 A 队中一位参赛队员所得的奖金与 出场费的和为 W(元),试求 W 的最大值.

16.(本小题满分 18 分)已知:矩形 ABCD,(字母顺序如图)的边长 AB=3, AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系 xOy 中,使 AB 在 x 轴正半轴上,而矩形的其它 两个顶点在第一象限,且直线 y =
3 x-1 经过这两个顶点中的一个. 2

(1)求出矩形的顶点 A、B、C、D 的坐标; (2)以 AB 为直径作⊙M,经过 A、B 两点的抛物线,y = ax2+bx+c 的顶点是 P 点. ① 若点 P 位于⊙M 外侧且在矩形 ABCD 内部,求 a 的取值范围; ② 过点 C 作⊙M 的切线交 AD 于 F 点,当 PF∥AB 时,试判断抛物线与 y 轴的交点 Q 是 位于直线 y =

3 x-1 的上方?还是下方?还是正好落在此直线上?并说明理由. 2

1.D 7.

2.D

3 .A 9. y = –

4.C

5.D

6.B 10.20

(共 30 分)

1 2

8.2

5 2 1 20 x – x+ 2 12 3

11.( –

4 ,–2) (共 25 分) 3

12.(1) 圆 C 2 的半径 ( 2 ? 1) a ; (2)圆 C k 的半径 ( 2 –1 )n – 1 a . 13. (1)证 1.∵AD 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, ∴∠ACD = 90?,即 AC⊥DE. 又∵OC∥AE,O 为 AD 中点 ∴AD = AE.

证 2 ∵O 为 AD 中点,OC∥AE,
∴2OC = AE, 又∵AD 是圆 O 的直径, ∴ 2OC = AD, ∴AD = AE. (2)由条件得 ABCO 是平行四边形, ∴BC∥AD, 又 C 为中点,∴AB =BE = 4, ∵AD = AE,∴BC = BE = 4, 连接 BD,∵点 B 在圆 O 上,∴∠DBE= 90?,∴CE = 4分 BC= 4, 即 BE = BC = CE= 4,∴ 所求面积为 4 3 . 解:(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 , ∴抛物线与 x 轴必有两个不同交点. (2) 设 A (x1, 0 ), B( x2, 0), 则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2, ∴|AB| = 2 (p ? 1) 2 ? 1 . 得 b = – ( p – 1 )2 – 1 . 当 p =1 时,|b|及|AB|均取最小,此时 S△ABM =
? x ? y ? z ? 12 ? y ? 19 ? 3x ,可得: ? ?3x ? y ? 19 ?z ? 2 x ? 7

14. 设抛物线与 x 轴的交点分别为 A,B,求实数 p 的值使△ABM 面积达到最小. 4分

5分

又设顶点 M ( a , b ), 由 y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 .
1 |AB||b|取最小值 1 . 2

5分

15. 解:(1)设 A 队胜 x 场,平 y 场,负 z 场, 得? 4分

依题意,知 x≥0,y≥0,z≥0,且 x、y、z 均为整数,
?19 ? 3x ? 0 ? ∴ ?2 x ? 7 ? 0 ?x ? 0 ?

解得:

7 19 ≤x≤ 2 3

,∴ x 可取 4、5、6

4分

∴ A 队胜、平、负的场数有三种情况: 当 x=4 时, y=7,z=1; 当 x=5 时,y= 4,z = 3 ; 当 x=6 时,y=1,z= 5. 4分 (2)∵W=(1500+500)x + (700+500)y +500z= – 600x+19300 当 x = 4 时,W 最大,W 最大值= – 60×4+19300=16900(元)

16. 解:(1)如图,建立平面直有坐标系, ∵矩形 ABCD 中,AB= 3,AD =2, 设 A(m 0)( m > 0 ), 则有 B(m+3 0);C(m+3 2), D(m 2);

3 3 x-1;则 2= (m+3)-1, 2 2 3 m = -1 与 m>0 不合; ∴C 点不过 y= x-1; 2 3 3 若点 D 过 y= x-1,则 2= m-1, m=2, 2 2
若 C 点过 y = ∴A (2, 0), B(5,0),C(5,2 ), D(2,2); (2)①∵⊙M 以 AB 为直径,∴M(3.5 0), 由于 y = ax2+bx+c 过 A(2, 0)和 B(5 ,0)两点, ∴? 5分

?0 ? 4a ? 2b ? c ?b ? ?7a ∴? ?0 ? 25a ? 5b ? c ?c ? 10a

2分

∴y = ax2-7ax+10a ( 也可得:y= a(x-2)(x-5)= a(x2-7x+10) = ax2-7ax+10a ) ∴y = a(x-

7 2 9 ) - a; 2 4

∴抛物线顶点 P(

7 9 , - a) 2 4

∵顶点同时在⊙M 内和在矩形 ABCD 内部,

3 9 8 2 <- a < 2,∴- <a<– . 3分 2 4 9 3 ② 设切线 CF 与⊙M 相切于 Q,交 AD 于 F,设 AF = n, n>0;
∴ ∵AD、BC、CF 均为⊙M 切线,∴CF=n+2, DF=2-n; 在 Rt?DCF 中, ∵DF2+DC2=CF2;

9 9 , ∴F(2, ) 8 8 9 9 9 1 ∴当 PF∥AB 时,P 点纵坐标为 ;∴- a = ,∴a = - ; 8 4 8 2 1 2 7 ∴抛物线的解析式为:y= - x + x-5 3分 2 2 3 抛物线与 y 轴的交点为 Q(0,-5),又直线 y = x-1 与 y 轴交点( 0,-1); 2 3 ∴Q 在直线 y= x-1 下方. 3分 2
∴32+(2-n)2=(n+2)2, ∴n=


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