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2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5课件:第一讲 一 1.不等式的基本性质




不_等_式

1.不等式的基本性质

1.实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数一一对应,可以利用数轴上点的左右位置 关系来规定实数的 大小 .在数轴上,右边的数总比左边的数 大 . (2)如果 a-b>0,则 a>b;如果 a-b=0,则 a=b ;如果 a-b <0,则 a<b . (3)比较两个实数 a 与 b 的大小, 归结为判断它们的差与0的大小; 比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结 为判断它们的 差与0的大小 .

2.不等式的基本性质 由两数大小关系的基本事实,可以得到不等式的一些基本性质: (1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即 a>b?b<a . (2)如果a>b,b>c,那么 a>c .即a>b,b>c? a>c . (3)如果a>b,那么a+c> b+c . (4)如果a>b,c>0,那么ac > bc;如果a>b,c<0,那么ac < bc. (5)如果a>b>0,那么an > bn(n∈N,n≥2). (6)如果a>b>0,那么 a > n n b(n∈N,n≥2).

3.对上述不等式的理解 使用不等式的性质时,一定要清楚它们成立的前提条件,不可强 化或弱化它们成立的条件,盲目套用,例如: (1)等式两边同乘一个数仍为等式,但不等式两边同乘同一个数 c(或代数式)结果有三种:①c>0时得同向 不等式;②c=0时得等式; ③c<0时得异向不等式. (2)a>b,c>d?a+c>b+d,即两个同向不等式可以相加,但不 可以 相减;而a>b>0,c>d>0?ac>bd,即已知的两个不等式同向且两 边为 正值 时,可以相乘,但不可以相除 . (3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ,并且n∈ N,n≥2,否则结论不成立.而当n取正奇数时可放宽条件,a>b? a >b (n=2k+1,k∈N),a>b? a> b(n=2k+1,k∈N*).
n n

n

n

实数大小的比较
[例1] 1 1 4 已知x,y均为正数,设m= x + y ,n= ,试 x+y

比较m和n的大小. [思路点拨] 转化为因式 与0比较 变形 两式作差 ――――→ ―――――→ 乘积形式

判断正负,得出大小

[解]

x+y 1 1 4 4 m-n=x+y- = xy - = x+y x+y

?x+y?2-4xy ?x-y?2 = , xy?x+y? xy?x+y? ∵x,y 均为正数, ∴x>0,y>0,xy>0,x+y>0,(x-y)2≥0. ∴m-n≥0,即 m≥n(当 x=y 时,等号成立).

比较两个数(式子)的大小,一般用作差法,其步骤 是:作差—变形—判断差的符号—结论,其中“变形”是 关键,常用的方法是分解因式、配方等.

1.已知a,b∈R,比较a4+b4与a3b+ab3的大小.
解:因为(a4+b4)-(a3b+ab3) =a3(a-b)+b3(b-a) =(a-b)(a3-b3) =(a-b)2(a2+ab+b2) =(a-b)
2??

?? b? 2 3 2 ? ? ? a + + b ≥0. ?? ? 2 4 ? ? ?

当且仅当a=b时,等号成立, 所以a4+b4≥a3b+ab3.

6a2 2.在数轴的正半轴上,A点对应的实数为 ,B点对应的 9+a4 实数为1,试判断A点在B点的左边,还是在B点的右边?

-?a2-3?2 6a2 解:因为 ≤0, 4-1= 4 9+a 9+a 6a2 所以 ≤1. 9+a4 当且仅当a=± 3时,等号成立, 所以当a≠± 3 时,A点在B点左边,当a=± 3 时,A点与 B点重合.

不等式的证明
[例2] e e 已知a>b>0,c<d<0,e<0.求证: > . a-c b-d 可以作差比较,也可用不等式的性质直接证明.

[思路点拨]

[证明]

e?b-d-a+c? e?b-a+c-d? e e 法一: - = = , a-c b-d ?a-c??b-d? ?a-c??b-d?

∵a>b>0,c<d<0,∴b-a<0,c-d<0. ∴b-a+c-d<0.

又∵a>0,c<0,∴a-c>0.同理b-d>0, ∴(a-c)(b-d)>0. e?b-a+c-d? e e ∵e<0,∴ >0,即 > . ?a-c??b-d? a-c b-d 法二: c<d<0?-c>-d>0? ? ? ? a>b>0 ? ? 1 1 ? ? a-c>b-d>0? < a-c b-d? ? ? e<0 ?

e e > . a-c b-d

进行简单的不等式的证明,一定要建立在记准、记熟 不等式性质的基础之上,如果不能直接由不等式的性质得 到,可以先分析需要证明的不等式的结构,利用不等式的 性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件.

3.已知x≥1,y≥1,求证:x2y+xy2+1≤x2y2+x+y.
证明:左边-右边=(y-y2)x2+(y2-1)x-y+1 =(1-y)[yx2-(1+y)x+1] =(1-y)(xy-1)(x-1). 因为x≥1,y≥1,所以1-y≤0,xy-1≥0,x-1≥0. 所以x2y+xy2+1≤x2y2+x+y.

1 1 x y 4.已知a,b,x,y都是正数,且a>b,x>y,求证: > . x+a y+b
1 1 x 证明:因为a,b,x,y都是正数,且a>b,x>y,所以a y a b >b,所以x<y . x+a y+b a b x y 故x+1< y+1,即 x < y .所以 > . x+a y+b

利用不等式的性质求范围
[例3] π π (1)已知- ≤α≤β≤ ,求α-β的取值范围. 2 2

(2)已知-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值范围. [思路点拨]
[解]

求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质.

π π (1)∵- ≤α≤β≤ , 2 2

π π π π ∴- ≤α≤ ,- ≤-β≤ ,且α≤β. 2 2 2 2 ∴-π≤α-β≤π且α-β≤0. ∴-π≤α-β≤0.即α-β的取值范围为[-π,0].

(2)设a+3b=λ1(a+b)+λ2(a-2b)=(λ1+λ2)a+(λ1-2λ2)b. 5 2 解得λ1= ,λ2=- . 3 3 5 5 5 2 2 ∴- ≤ (a+b)≤ ,-2≤- (a-2b)≤- . 3 3 3 3 3 11 ∴- ≤a+3b≤1. 3
? 11 ? 即a+3b的取值范围为?- 3 ,1?. ? ?

求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方 面,严格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答 此类问题的基础,在使用不等式的性质中,如果是由两个 变量的范围求其差的范围,一定不能直接作差,而要转化 为同向不等式后作和.

5.已知1≤α+β≤4,-2≤α-β≤-1,求2α-β的取值 范围. 解:设2α-β=m(α+β)+n(α-β),
1 ? m= , ? ? m + n = 2 , 2 ? ∴? ?? ? ?m-n=-1 ?n=3. 2 ? 又∵1≤α+β≤4,-2≤α-β≤-1, ?1 1 ?2≤2?α+β?≤2, ∴? ?-3≤3?α-β?≤-3 2 2 ? 5 1 ?- ≤2α-β≤ . 2 2

? 5 1? ∴2α-β的取值范围为?-2,2?. ? ?

b 6.三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,求 a 的取值范围.
b c ? ?1≤a+a≤2,① 解:两个不等式同时除以a,得? b ?b≤1+c ≤2· a a,② ?a b c ? ?1≤a+a≤2, 将②×(-1),得? b c b ?-2· a≤-1-a≤-a, ? 2b b b 2 b 3 两式相加,得1- a ≤a-1≤2-a,解得 ≤a≤ . 3 2 ?2 3? b 即a的取值范围是?3,2?. ? ?

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