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直线上的相遇与追及问题

第一讲 直线上的相遇与追及问题 教学目的: 1、 学会行程的中,速度、时间、路程三个量的关系 2、 掌握相向、背向、同向等概念 3、 会运用追及和相遇解决简单行程问题 基本知识点 行程三个量的关系公式: 路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间 三个概念: 相向而行:面对面而行(如图) 。

同向而行:面朝的方向相同而行(如图)

背向而行:背靠背方向,方向相反而行(如图) 。

相遇和追及问题 1、相遇问题 含义 : 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题 叫做相遇问题。 数量关系: 总路程=(甲速+乙速)× 相遇时间 相遇时间=总路程÷ (甲速+乙速) (甲速+乙速)=总路程÷ 相遇时间 2、追及问题 含义: 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发, 或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在 前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用 题就叫做追及问题。 数量关系: 追及路程=(快速-慢速)× 追及时间 追及时间=追及路程÷ (快速-慢速)

(快速-慢速)=追及路程÷ 追及时间 3、注意点: ① 在处理相遇与追及问题的时候,一定要注意公式的使用时二者发生关系那 一时刻时候所处的状态。 ② 在行程问题里面所用的时间都是时间段,不是时间点(非常重要) 。 ③ 无论在哪一类行程问题里面,只要是相遇,就与速度和有关,只要是追及, 就与速度差有关。 相遇例题: 例 1 南京到上海的水路长 392 千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从 南京开出的船每小时行 28 千米,从上海开出的船每小时行 21 千米,经过几小时 两船相遇? 解 392÷ (28+21)=8(小时) 答:经过 8 小时两船相遇。 例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑 5 米,小刘 每秒钟跑 3 米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二 次相遇需多长时间? 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为 400× 2 相遇时间=(400× 2)÷ (5+3)=100(秒) 答:二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。 例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行 15 千米,乙每小时 行 13 千米,两人在距中点 3 千米处相遇,求两地的距离。 解 “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑 得快,乙骑得慢,甲过了中点 3 千米,乙距中点 3 千米,就是说甲比乙多走的路 程是(3× 2)千米,因此, 相遇时间=(3× 2)÷ (15-13)=3(小时) 两地距离=(15+13)× 3=84(千米) 答:两地距离是 84 千米。

追及例题: 例 1 好马每天走 120 千米,劣马每天走 75 千米,劣马先走 12 天,好马几天能 追上劣马? 解 (1)劣马先走 12 天能走多少千米? 75× 12=900(千米) (2)好马几天追上劣马? 900÷ (120-75)=20(天) 列成综合算式 75× 12÷ (120-75)=900÷ 45=20(天) 答:好马 20 天能追上劣马。 例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步,小明跑一圈用 40 秒,他们从同一地 点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米,求小亮的速 度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即 200 米,此时小亮跑了(500- 200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑 500 米所用的时间。又知 小明跑 200 米用 40 秒,则跑 500 米用[40× (500÷ 200) ]秒,所以小亮的速度 是 (500-200)÷ [40× (500÷ 200) ]=300÷ 100=3(米) 答:小亮的速度是每秒 3 米。

例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午 16 点开始从甲地以每小 时 10 千米的速度逃跑,解放军在晚上 22 点接到命令,以每小时 30 千米的速度 开始从乙地追击。 已知甲乙两地相距 60 千米, 问解放军几个小时可以追上敌人? 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人逃 跑的路程是[10× (22-6) ]千米,甲乙两地相距 60 千米。由此推知 追及时间=[10× (22-6)+60]÷ (30-10)=220÷ 20=11(小时) 答:解放军在 11 小时后可以追上敌人。 例 4 一辆客车从甲站开往乙站,每小时行 48 千米;一辆货车同时从乙站开往 甲站, 每小时行 40 千米, 两车在距两站中点 16 千米处相遇, 求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车 (16× 2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间, 这个时间为 16× 2÷ (48-40)=4(小时) 所以两站间的距离为 (48+40)× 4=352(千米) 列成综合算式 (48+40)× [16× 2÷ (48-40) ]=88× 4=352(千米) 答:甲乙两站的距离是 352 千米。 例 5 兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走 90 米,妹妹每分钟走 60 米。哥哥 到校门口时发现忘记带课本, 立即沿原路回家去取,行至离校 180 米处和妹妹相 遇。问他们家离学校有多远? 解 要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。从题中可知,在相同时间 (从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180× 2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟 多走(90-60)米,那么,二人从家出走到相遇所用时间为 180× 2÷ (90-60)=12(分钟) 家离学校的距离为 90× 12-180=900(米) 答:家离学校有 900 米远。 例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校, 他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校, 当他走了 1 千米时,发现手表慢了 10 分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准 时上课。后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早 9 分钟到 学校。求孙亮跑步的速度。 解 手表慢了 10 分钟, 就等于晚出发 10 分钟, 如果按原速走下去, 就要迟到 (10 -5)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(10-5) 分钟。如果从家一开始就跑步,可比步行少 9 分钟,由此可知,行 1 千米,跑步 比步行少用[9-(10-5) ]分钟。所以 步行 1 千米所用时间为 1÷ [9-(10-5) ]=0.25(小时)=15(分钟) 跑步 1 千米所用时间为 15-[9-(10-5) ]=11(分钟) 跑步速度为每小时 1÷ 11/60=1× 60/11=5.5(千米) 答:孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。

第二讲

环形跑道的相遇与追及

教学目的: 1、 了解什么是环形跑道问题 2、 掌握环形跑道上相遇与追及的特点 基本知识点 1、环形跑道相遇问题:

如上图,我们可以看到甲、乙两人背向而行会在圆周上一点相遇,相遇的 时候他们刚好走过一个圆周的周长,如果在进行多次相遇的时候,与第一次相遇 的情况一样,新的起点,再次相遇。 重点:因此,圆周上的相遇告诉我们,每相遇一次,他们两个人的路程和为 一个圆周的周长。 相遇几次, 就是几个圆周的周长。 由此, 也可以建立等量关系, 来进行解题 公式:一个圆周的周长=(快速+慢速)×相遇时间

2、环形跑道上的追及问题

如上图,我们可以看到甲、乙两人同向而行,快的会再一次在圆周上追上 慢的,当追上的时候,快的刚好比慢的多走一个圆周的周长,如果在进行多次追 及的时候,与第一次相遇的情况一样,新的起点,再次追及。 重点:因此,圆周上的追及告诉我们,每追及一次,快的就应该比慢的多走 一个圆周的周长。 追及几次, 就是几个圆周的周长。 由此, 也可以建立等量关系, 来进行解题

公式:一个圆周的周长=(快速-慢速)×相遇时间 1.在 400 米的环形跑道上,A、B 两点相距 100 米,。甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发,按照逆时针方向跑步,甲每秒跑 5 米,乙每秒跑 4 米,每人每跑 100 米,都要停 10 秒钟。那么,甲追上乙需要的时间是多少秒? 答案:假设没有休息 那么 100/ ( 5 — 4 ) =100 秒钟 100/20-1=4(次)100+4*10=140 秒 在 100/5=20 秒

2.小明在 360 米的环形跑道上跑一圈,已知他前半时间每秒跑 5 米,后半时 间每秒跑 4 米,为他后半路程用了多少时间? 答案:x÷4=(360-x)÷5×=160(360÷2-160)÷5+160÷4=44 分 3.林琳在 450 吗长的环形跑道上跑一圈,已知她前一半时间每秒跑 5 米,后 一半时间每秒跑 4 米,那么她的后一半路程跑了多少秒

答案:设总时间为 X,则前一半的时间为 X/2,后一半时间同样为 X/2 X/2*5+X/2*4=360 X=80 总共跑了 80 秒 前 40 秒每秒跑 5 米,40 秒后跑了 200 米 后 40 秒每秒跑 4 米,40 秒后跑了 160 米 后一半的路程为 360/2=180 米 后一半的路程用的时间为(200-180)/5+40=44 秒

4.小君在 360 米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑 5 米,后 一半时间每秒跑 4 米。那么小君后一半路程用了多少秒?

答案:设时间 X 秒 5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半时间的路程=40*4=160 米 后一半路程=360/2=180 米 后一半路程用每秒跑 5 米路程=180-160=20 米 后 一半路程用每秒跑 5 米时间=20/5=4 秒 后一半路程时间=4+40=44 秒 答: 后一半 路程用了 44 秒 5.小明在 420 米长的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑 8 米, 后一半时间每秒跑 6 米.求他后一半路程用了多少时间? 答案:设总用时 X 秒。前一半时间和后一半时间都是 X/2。然后前一半跑 8*(X/2) 米,后一半跑 6*(X/2) 米,总共加起来等于 420 米。所以列下方程 8*(X/2)+6*(X/2)=420.解得 X=60。 所以后一半跑了 30 秒。 又因为后一半为 6M/S, 所以后一半跑了 6*30=180M。 6.二人沿一周长 400 米的环形跑道均速前进,甲行一圈 4 分钟,乙行一圈 7 分钟,他们同时同地同向出发,甲走 10 圈,改反向出发,每次甲追上乙或迎面 相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时,甲走多长时间乙走多少路程?

答案:前 10 圈甲跑一圈击掌一次,即 10 下 此时已跑了 5+5/7 圈;后面 2 人跑了 2/7 时击掌 一次, 然后 2 人共一圈击掌 1 次 耗时 (4+2/7) / (1/4+1/7) =30/7*(11/28)=165/98; 甲共总走了 40+165/98 H 已走了 (40+165/98)* (400/7) M

第三讲

多人相遇与追及问题

教学目的: 1、 了解多人相遇与追及的解题技巧。 2、 会运用一些其他应用题手段来解决问题。 基本知识点 多人相遇与追及问题,与之前我们所接触的行程问题有所不同,因为它是三 个人或者三个人以上的行程问题,这样发现多了很多关系,整体处理起来就比较 难以入手。 解决技巧:数学思想就是把复杂问题简单化,因此,我们可以把多人的看成是两 个人两个人的行程关系。 对于行程关系,我们前面已经说过了,除了有相遇与追及之外,有时还会出现, 超越与背向而行产生距离。 超越的关系:

路程公式: (快速-慢速)×超越的时间=拉开的距离 会发现,超越与追及的公式一样,因此可以把它们归为一类。 背向而行产生距离:

公式: (快速+慢速)×相遇时间=两个人产生的距离 会发现,背向而行产生距离与相遇的公式一样,因此可以把它们归为一类。 例题解析 1、从甲市到乙市有一条公路,它分为三段。在第一段上,汽车速度是每小时 40 千米,在第二段上,汽车速度是每小时 90 千米,在第三段上,汽车速度是每小 时 50 千米。 已知第一段公路的长恰好是第三段的 2 倍。现有两辆汽车分别从甲、 乙两市同时出发,相向而行,1 小时 20 分后,在第二段的 1/3 处(从甲到乙方向 的 1/3 处)相遇。问:甲、乙相距多少千米?

2、当两只小狗刚走完铁桥长的 1/3 时,一列火车从后面开来,一只狗向后 跑,跑到桥头 B 时,火车刚好到达 B;另一只狗向前跑,跑到桥头 A 时,火车 也正好跑到 A,两只小狗的速度是每秒 6 米,问火车的速度是多少? 3、小明沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底,他走了 150 级,他的同 学小刚沿着自动扶梯从底向上走到顶,走了 75 级,如果小明行走的速度是小刚 的 3 倍,那么可以看到的自动抚梯的级数是多少? 4、一辆车从甲地开往乙地,如果把车速提高 20%,可以比原定时间提前一 小时到达;如果以原速行驶 120 千米后,再将原速提高 25%,则可提前 40 分钟 到达,求甲乙两地相距多少千米? 5、 一只狗追赶一只兔子,狗跳跃 6 次的时间,兔只能跳跃 5 次,狗跳跃 4 次的距离和兔跳跃 7 次的距离相同,兔跑了 5.5 千米以后狗开始在后面追,兔又 跑了多远被狗追上。 6、三种动物赛跑,狐狸的速度是兔子的 4/5,兔子的速度是松鼠的 2 倍,一 分钟松鼠比狐狸少跑 12 米,问:半分钟兔子比狐狸多跑几米? 7、A、B 分别以每小时 160 千米和 20 千米的速度,在长为 210 千米的环形 公路上同时、同地、同向出发。每当 A 车追上 B 车一次,A 车减速 1/3 而 B 车 增速 1/3.问:在两车速度刚好相等的时候,它们分别行驶了多少千米? 8、A、B 两地相距 125 千米,甲、乙两人骑自行车分别从 A、B 两地同时出

发,相向而行。丙骑摩托车每小时 63 千米。与甲同时从 A 出发,在甲乙二人间 穿梭(与乙相遇立即返回,与甲相遇也立即返回) ,若甲车速为每小时 9 千米, 且当丙第二次到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第 0 次回到甲处) ,甲、 乙两人相距 45 千米,问:当丙第四次回到甲处时,甲乙相距多少米? 第八讲 多次相遇与追及问题 教学目的: 1、了解多次相遇与追及问题的特点。 2、掌握多次相遇与追及问题与全程数的关系 3、会用比例解多次相遇与追及问题 4、相遇点的定位 基本知识点 相遇问题 1、相遇次数与两个人走过全程数的关系:

第一次相遇

第二次相遇

由以上两个图可以知道, 第一次相遇走的全程数为 1 个,第二次相遇走的全程数 为 3 个,以此类推,第 n 次相遇走的全程数为(2n-1) 。

2、相遇点的定位: ①确定甲乙两辆车的速度比 m:n ②把全程分为(m+n)份 ③根据相遇次数与全程数的关系,定位相遇点 ④然后求解

追及问题

其实追及问题与相遇问题一样,只不过追及问题是从同地出发,追及问题与 全程数的关系为:相遇次数 N,走过的全程数为 2N. 注意点:这里的相遇,我们只考虑迎面相遇的情况。 这里的追及,我们只考虑背后追及的情况。

例题解析


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