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面面平行的性质


平面与平面平行的性质

复习:直线和平面平行的性质定理 复习:直线和平面平行的性质定理 性质
如果一条直线和一个平面平行, 如果一条直线和一个平面平行,经过这条 直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和 平行。 交线平行。

a / /α , a ? β,

β

a b

α ∩β =b

a // b
α
2、简记 线面平行 、简记:线面 线面平行

注意: 、定理三个条件缺一不可。 注意: 1、定理三个条件缺一不可。
线线平行。 线线平行。 平行

已知: 面α,β,γ ,α // β , α ∩ γ = a 平 β ∩ γ = b求证:a // b 证明: 证明 α ∩ γ = a
β ∩γ = b



α // β

a ?α b?β

a, b没有公共点 a, b都在平面γ内

a // b

平面和平面平行的性质 性质定理 二、平面和平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相 那么它们的交线平行. 交,那么它们的交线平行.

α // β ? 即: α Iγ = a? ?a //b ? ? β Iγ = b?
简记:面面平行 简记 面面平行 线线平行

相互转化: 相互转化:

线线平行

线面平行

面面平行

求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 例3. 求证 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等 已知:平面 平面 已知 平面α //平面 β ,AB和DC为夹在α 、 和 为夹在 β D α A 间的平行线段。求证: 间的平行线段。求证:AB=DC. 证明: 证明:

AB // DC ?过 AB , CD 可作平面 γ

γ I α = AD ? γ I β = BC

β

B

γ

C

α // β

BC // AD

AB // CD

ABCD为平行四边形 ?

AB = CD

1)α、β、γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条 为三个不重合的平面,a,b,c为三条
不同直线,则有一下列命题, 不同直线,则有一下列命题,不正确的是

a∥c


a∥γ a∥b ② a∥b b∥γ α∥γ α∥β ④ α∥β β∥γ α∥γ α∥a ⑥ a∥α a∥γ

b∥c α∥c


β∥c α∥c


a∥c

面面平行的性质
1、若两个平面互相平行,则其中一个平面 、若两个平面互相平行, 中的直线必平行于另一个平面; 中的直线必平行于另一个平面; 2、平行于同一平面的两平面平行; 、平行于同一平面的两平面平行; 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个 、 平面平行; 平面平行;

例3、已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD 已知ABCD是平行四边形, ABCD是平行四边形 是平面ABCD 外一点, PC的中点, DM上取一点 上取一点G 外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G, 的中点 过G和AP的平面交平面于GH,求证AP//GH AP的平面交平面于GH,求证AP//GH 的平面交平面于GH
P M
G

D H A
O

C

B

证明: 作直线AH//DF, G ∈ β , H ∈ α . 证明 过A作直线 作直线 连结AD,GE,HF(如图 如图). 连结 如图 Q α // β // γ ,
∴ BG // CH , AD // GE // HF . AB AG AG DE ∴ = , = . BC GH GH EF AB DE ∴ = . BC EF

1.已知 : 三个平行平面 α , β , γ与两条直线 l, m 分别相并于点A, B , C 和点D , E , F . AB DE = . 求证 : P63习题 习题3 习题 BC EF

G

H

l

m

1.已知 : 三个平行平面 α , β , γ与两条直线 l, m 分别相并于点A, B , C 和点D , E , F . AB DE = . 求证 : BC EF

G

l

m

【例1】如图,设平面 ∥平面 ,AB、CD是两异面 】如图,设平面α∥平面β, 、 是两异面 直线, 、 分别是 分别是AB、 的中点 的中点, 直线,M、N分别是 、CD的中点,且A、C∈α,B、 、 ∈ , 、 D∈β. 求证:MN∥α. ∈ 求证: ∥ 证明:连接BC,取BC的中点E, 证明 分别连接ME、NE, α 则ME∥AC,∴ ME∥平面α, 又 NE∥BD, ∴ NE∥β, M 又ME∩NE=E,∴平面MEN∥ 平面α, ∵ MN平面MEN,∴MN∥α.
β B A C

E

N D

已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N 分别是AB、PC的中点,平面PAD ∩ 平面PBC = l 1 ( )求证:l // BC (2)MN与面PAD平行吗?
P

l
N D

C

A

M

B

小结
面面平行判定定理 面面平行判定定理: 线面平行 判定定理:
面面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面,那么这两个平面平行。 另一个平面,那么这两个平面平行。

推论: 推论:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行 另一个平面内的两条直线, 线面平行 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线平行。 那么它们的交线平行。

面面平行性质定理 面面平行性质定理: 面面平行 性质定理:

练习: 练习: 在平面VAC内,画出过点 作一个截面 点P在平面 在平面 内 画出过点P作一个截面 平行于直线VB和 。 平行于直线 和AC。 V
F P G B H A E C

例4 如图:a∥α,A是α另一侧的点,B、C、D 如图:a∥α, 另一侧的点, 是α上的点 ,线段AB、AC、AD交于E、F、G 线段AB AC、AD交于 AB、 交于E BD=4,CF=4,AF=5, 点,若BD=4,CF=4,AF=5,求EG.
B C D

a

α

E

F

G

A

课外作业: 课外作业: 1、已知α∥β,AB交α、β于A、B,CD交 已知α∥β AB交 α∥β, CD交 α、β于C、D,AB∩CD=S,AS=8,BS=9, AB∩CD=S,AS=8,BS=9,
S

CD=34, SC。 CD=34,求SC。
A C
S

α

A

C

α

β

D

B

β

B

D

2、已知P、Q是边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 已知P 是边长为1的正方体ABCD ABCD的面AA 的面AA1DD1 、面ABCD的中心 ABCD的中心 (1)求证:PQ// 平面DD1C1C 平面DD A 求证: (2)求线段的PQ长 求线段的PQ PQ长
1

D1

C1 B1

P
D C

A

Q

B

是长方形ABCD所在平面外的一点,AB、 所在平面外的一点, 、 例2 P是长方形 是长方形 所在平面外的一点 PD两点 、N满足 两点M、 满足 满足AM:MB=ND:NP。 两点 : : 。 求证: 求证:MN∥平面 ∥平面PBC。 。
N D E A M B C P


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