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2012-2013高三数学一轮复习基础-集合


1.1 集合
【考纲要求】 1、集合的含义与表示 ① 了解集合的含义、元素与集合的属于关系。 ② 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。[来 源:Z#xx#k.Com] 2、集合间的基本关系 ① 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 ② 在具体情境中,了解全集与空集的含义。 3、集合的基本运算 ① 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。[来源:学+ 科+网] ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。[来源:学科网] ③ 能使用韦恩(Venn)图 表达集合的关系及运算。 【基础知识】

一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个总体,这个总体就叫 集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合中元素的三个特性: 确定性、互异性、无序性。 (1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或 者不是这个给定的集合的元素,这叫集合元素的确定性。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象 归 入一个集合时,仅算一个元素,这叫集合元素的互异性。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否 一样, 仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样,这叫集合元素的 无序性。 3、元素与集合之间只能用“ ? ”或“ ? ”符号连接。 4、集合的表示:常见的有四种方法。 (1)自然语言描述法:用自然的文字语言描述。如:英才中学的所有团员 组成一个集合。 (2)列举法:把集合中的元素一一列举出来,元素之间用逗号隔开,然后 用一个花括号全部括上。如: {0,1, 2,3} (3)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号内表示集 合的方法。它的一般格式为 {x | P( x)} ,“|”前是集合元素的一般形式,“|” 后是集合元素的公共属性。如 {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} 、 {x | y ? x2 ? 2 x ? 3} 、

{ y | y ? x2 ? 2 x ? 3} 、 {( x, y) | y ? x2 ? 2 x ? 3} 。
(4)Venn 图法:如:
3 1 7 5

5、常见的特殊集合:(1)非负整数集(即自然数集)N(包括零)(2) 正整数集 N*或 N ? (3)整数集 Z (包括负整数、零和正整数) (4)有理数集 Q

(5)实数集 R 6、集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合。(2)无限集: 含有无限个元素的集合。(3)空集 :不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1、子集 对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 我们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A,也说集合 A 是集合 B 的子集。记为 A ? B 或 B ? A 。 2、真子集 对于两个集合 A 与 B,如果 A ? B ,且集合 B 中至少有一个元素不属于 集合 A,则称集合 A 是集合 B 的真子集。记为 A ? B 。 3、空集 不含任何元素的集合叫做空集, 记为 Φ 。 规定: 空集是任何集合的子集, 空 集是任何非空集合的真子集。 4、集合之间只能用“ ? ”“ ? ”“=”等连接,不能用“ ? ”或“ ? ”符号 连接。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合叫做 A、B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}。 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的 集合,叫做 A、B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}。 3、交集与并集的性质: A∩A = A A∩Φ = Φ A∩B = B∩A,A∪A = A A∪Φ = A A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)全集:如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合 就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 (2)补集:设 U 是一个集合,A 是 U 的 一个子集,由 U 中所有不属于 A 的 元素组成的集合,叫做 U 中子集 A 的补集。 记作: CU A ? {x | x ?U 且x ? A} 四、温馨提示 1、集合的问题,一般按照读懂→化简→解答的步骤解答。如:{x | y ? f ( x)} 表示函数 y ? f (x) 的定义域,而 { y | y ? f ( x)}表示函数的值域,

如果是点集, 要知道是什么 {( x, y) | f ( x, y) ? 0} 表示方程 f ( x, y) ? 0 对应的曲线。 样的点组成的集合,如果是数集,要知道是什么样的数组成的集合。 2、涉及集合(子集、真子集和相等)关系和(交、并、补)运算,不要遗 忘了空集这个特殊的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 3、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴,一般情况下,有限集的运算 用维恩图分析,无限集的运算用数轴,这实际上是数形结合的思想的具体运用。 4、集合的运算注意端点的取等问题。最好是直接代入原题检验。 5、 n 个元素的集合的子集个数为 2n 个。 n 个元素的集合的真子集个数 为 2 n ? 1 个。减去的“1”是集合本身,不是减去的空集。 6、集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征,尤其是确定 性和互异性。在解题中,要注意把握与运用,例如在解答含有参数问题时, 千万别忘 了检验,否则很可 能会因为不满足“互异性”而导致结论错误。
7、集合在高考中涉及的综合性解答题不多,因此不 宜要求过高。

【例题精讲】

例 1 设集合 S ? x | x ? 2 ? 3 , T ? ?x | a ? x ? a ? 8? S ? T ? R ,求实数 a 的取值范 ,

?

?

围。 解题思路分析:作为集合的问题,首先必须要化简集合,再根据已知条件结合数轴分 析参数 a 要满足的条件。 解: S ? x | x ? 2 ? 3 ? x x ? ?1或x ? 5 , T ? ?x | a ? x ? a ? 8? , S ? T ? R

?

? ?

?

所以 ? 例2

?a ? ?1 ,从而得 ? 3 ? a ? ?1 ?a ? 8 ? 5

集合 A ? x x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x x ? 2(a ? 1) x ? (a ? 5) ? 0
2 2 2

?

?

?

?

(1)若 A ? B ? ?2?,求实数 a 的值; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围。 解题思路分析:解答集合的问题首先要化简集合,再根据集合的交、并、补的关系分 析出集合的特征解答。 解:因为 A ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ? ? ,2?, 1
2

?

?

(1)由 A ? B ? ?2?知, 2 ? B ,从而得 2 ? 4(a ? 1) ? (a ? 5) ? 0 ,即
2 2

a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?3
2 当 a ? ?1 时, B ? x x ? 4 ? 0 ? ?2,?2? ,满足条件; 2 当 a ? ?3 时, B ? x x ? 4x ? 4 ? 0 ? ?2?,满足条件;所以 a ? ?1 或 a ? ?3

?

?

?

?

(2)对于集合 B ,由 ? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 5) ? 8(a ? 3) 因为 A ? B ? A ,所以 B ? A ①当 ? ? 0 ,即 a ? ?3 时, B ? ? ,满足条件; ②当 ? ? 0 ,即 a ? ?3 时, B ? ?2? ,满足条件; ③当 ? ? 0 ,即 a ? ?3 时, B ? A ? ? ,2?才能满足条件, 1

5 ? ?1 ? 2 ? ?2(a ? 1) ?a ? ? 由根与系数的关系得 ? ?? 2 ,矛盾 2 2 ?1 ? 2 ? a ? 5 ?a ? 7 ?
故实数 a 的取值范围是 a ? ?3

1.1 集合强化训练
【基础精练】 1.下列四个集合中,为空集的是( A. {x | x ? 3 ? 3} )

B.{( x, y) | y 2 ? ?x2 , x, y ? R} D.{x | x2 ? x ? 1 ? 0, x ? R}
) 6


C.{x | x2 ? 0}

2.已知 {a, b} ? A ? {a, b, c, d , e}, ,则满足条件的集合 A 的个数为( A. 8 B. 7 C. 9 D.
2 3.若集合 A= x | x ? 1,x ? R , B= y | y ? x ,x ? R ,则 A ? B ? (

?

?

?

?

A. C.

?x | ?1 ? x ? 1? ?x | 0 ? x ? 1?
B.

B.

?x | x ? 0?
)

D. ?

4.已知全集 U ? {1,2,3,4,5}, 集合 A ? {x ? Z || x ? 3 |? 2}, 则集合 CU A =( A. {x | 1 ? x ? 4}
{1,2,3,4}

C. {1,5}

D . {5}

5.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} 和 N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2,? 的关 } 系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( A. 3 个 C. 1 个 B. 2 个 D. 无穷多个 )

6.设 P, Q 为两个非空实数集合,定义集合 P ? Q = {a ? b | a ? P, b ? Q} ,若
P ? {0, 2,5}, Q ? {1, 2,6} ,则 P ? Q 中元素的个数是(



A. 9个

B. 8个

C. 7个

D. 6个


7.若 A ? {x | y ? x2 ? 2x ?1}, B ? { y | y ? x2 ? 2x ?1} ,则 A ? B ?
A? B ?



8.若 A ? {( x, y) | y ? x2 ? 2x ?1}, B ? {( x, y) | y ? 3x ? 1}, 则
A? B ?


? ? ? ? 1? ? ? ,则 ?R A ? 2? ?

9.若集合 A ? ? x log 1 x ?
2



10.设集合 A ? {1, 2,a}, B ? {1 a 2 ? a} ,若 A ? B ,求实数 a 的值。 ,

11.已知集合 A ? {x || x ? a |? 1}, B ? {x | x2 ? 5x ? 4 ? 0} , A ? B ? ? , 若 求实数 a 的 取值范围。

12.设集合 A ? {x ? R || x ? a |? 2} , B ? {x | 值范围。

2x ?1 ? 1} ,若 A ? B ,求实数 a 的取 x?2

【拓展提高】

1.已知 A ? {x ? R | x2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0} , B ? {x | x是正实数} ,若 A ? B ? ? , 求实数 m 的取值范围。

2.已知集合 A ? {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0}, B ? {x | mx ? 1 ? 0}, 且 A ? B ? A, 求实数 m 的 值组成的集合。

【基础精练参考答案】 1.D【解析】先化简每个集合 {x | x ? 3 ? 3} = {0}

{( x, y) || y 2 ? ? x2 , x, y ? R} ? {(0,0)} {x | x2 ? 0} ? {0}方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的判别式
? ? 1 ? 4 ? ?3 ? 0 ,所以方程没有实数解,所以 {x | x2 ? x ? 1 ? 0} ? ? ,所以选 D.

2.B【解析】集合 A 中必定含有元素 a, b ,集合 {c, d , e} 的 真子集有 2 3 ? 1 ? 7 个, 所以满足条件的集合 A 有 7 个,所以选 B.
3.C【解析】 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? { y | y ? 0},解得 A ? B={x|0 ? x ? 1} 。注意集合 A 表示的是绝对值不等式的解集,集合 B 表示的函数的值域。也不能选 D 空集,两个集合都 是数集,只是元素的一般形式不同,一个是 x, 一个是 y ,但是它们代表的是实数。所以选 C.

4.C【解析】集合 A ? {x ? Z || x ? 3 |? 2} ? {2,3,4} ,所以选 C.注意集合 A 中的
x ? Z .[来源:学科网 ZXXK]

1 5.B【解析】由 M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} 得 ? 1 ? x ? 3 ,则 M ? N ? ? ,3? ,有 2 个,所以选
B。.

6.B【解析】直接利用列举法,
0 ? 1 ? 1,0 ? 2 ? 2,0 ? 6 ? 6,2 ? 1 ? 3,2 ? 2 ? 4,2 ? 6 ? 8,5 ? 1 ? 6,5 ? 2 ? 7

5 ? 6 ? 11 ,但是根据集合元素的互异性,元素 6 在写入集合时,只能写一个, 所以元素的个数是 8 个,所以选 B.[来源:学科网 ZXXK]

7. [?2,??), R 【解析】先化简集合, A ? R,

B ? {y | y ? x2 ? 2x ?1} ? { y | y ? ( x ? 1)2 ? 2} ? [?2, ??) ,所以
A ? B ? [?2,??), A ? B ? R .

? y ? x 2 ? 2x ? 1 8. {(2,7), (?1,?2)}【解析】 A ? B ? ?( x, y) | ? } ? {( 2,7), (?1,?2)} ? y ? 3x ? 1
?x ? 0 2 2 (??,0] ? [ ,??) 【解析】由题得 ? 1 9. ? 2 1 2 2 ?0 ? x ? 2 . ?x ? ( ) ? 2 2 ?
? ?R A ?
(??,0] ? [ 2 ,??) 2 。

10.【解析】 当 a 2 ? a ? 2 时,解之得 a ? 2或a ? ?1,但是 a ? 2 时,集合 A 中两个元素为 2,与集合元素的互异性矛盾,所以 a ? 2 舍去。所以 a ? ?1. 当 a 2 ? a ? a 时,解之得 a ? 0或a ? 2, a ? 2 同理舍去,所以 a=0.
综合得 a ? ?1或a ? 0.

11.【解析】 由题得?| x ? a |? 1
? ?1 ? x ? a ? 1 ? a ? 1 ? x ? a ? 1

? A ? [a ? 1, a ? 1] [来源:Z|xx|k.Com]

? x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ? ( x ? 1)(x ? 4) ? 0 ? x ? 4或x ? 1

? B ? (??,1] ? [4,??)

?a ? 1 ? 1 ? A ? B ? ? ?画数轴观察得 ?2 ? a ? 3 ? ?a ? 1 ? 4
2 ? a ? 3. 12.【解析】

? 实数 a 的取值范围是

?| x ? a |? 2 ??2 ? x ? a ? 2 ??2 ? a ? x ? 2 ? a ? A ? (a ? 2, a ? 2) ? 2x ?1 2x ?1 2x ?1 ? x ? 2 x ?3 ?1 ? ?1 ? 0 ? ?0 ? ?0 x?2 x?2 x?2 x?2 ? ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ??2 ? x ? 3 ? B ? (?2,3)

?a ? 2 ? ?2 ? A ? B ?? ?0 ? a ? 1 ?a ? 2 ? 3
【拓展提高参考答案】

1.【解析】 ? A ? B=? ? 方程x2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0没有实数解或方程只有非正实数解。

?? =(m+2)2 ? 4 ? 0 ?? =(m+2)2 ? 4 ? 0或 ? ? x1 ? x2 ? ?(m ? 2) ? 0 ??4 ? m ? 0或m ? 0 ? m ? ?4 ? 实数m的取值范围为m ? ?4.


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