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【2015届备考】2015全国名校数学试题分类解析汇编(1月第一期):L单元 算法初步与复数


L 单元 目录

算法初步与复数

L 单元 算法初步与复数 ............................................................................................................... 1 L1 算法与程序框图 ...................................................................................................................... 1 L2 基本算法语句 .......................................................................................................................... 7 L3 算法案例 .................................................................................................................................. 7 L4 复数的基本概念与运算 .......................................................................................................... 8 L5 单元综合 .................................................................................................................................. 12

L1

算法与程序框图

【数学理卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】7.执行如图的程序,则 输出的结果等于 A.

99 50

B.

200 1 C. 101 4950

D.

1 5050

【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1 【答案】 【解析】A 解析:根据框图中的循环结构知,此程序是求下式的值:

1 1 1 T ? 1? ? ? ? 3 6 10

?

1 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 4950 2 6 12 20

?

2 9900

1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

?

1 ? ? 1 1 1 1 1 ? ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? 99 ?100 ? ? 2 2 3 3 4

?

1 1 ? ? ? 99 100 ?

1 ? 99 ? ,故选 A. ? 2 ?1 ? ?? ? 100 ? 50
【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】6.运行如 图所示的程序,若结束时输出的结果不小于 3,则 t 的取值范围为

A.t≥

B.t≥

c.t≤

D.t≤

【知识点】算法与程序框图 L1 【答案】B 【解析】第一次执行循环结构:n←0+2,x←2×t,a←2-1∵n=2<4,∴继续执行循环结构. 第二次执行循环结构:n←2+2,x←2×2t,a←4-1;∵n=4=4,∴继续执行循环结构, 第三次执行循环结构:n←4+2,x←2×4t,a←6-3; ∵n=6>4,∴应终止循环结构,并输出 38t.由于结束时输出的结果不小于 3, 故 38t≥3,即 8t≥1,解得 t≥

1 . 8

【思路点拨】第一次执行循环结构:n←0+2,第二次执行循环结构:n←2+2,第三次执行 循环结构:n←4+2,此时应终止循环结构.求出相应的 x、a 即可得出结果.

【数学理卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】11.某程序框图如 图 3 所示,该程序运行后,输出的 x 值为 31 ,则 a 等于______. 开始
n ? 1, x ? a

n ? n ?1

.

n?3

是 x ? 2x ?1

否 输出 x 结束 图3

【知识点】流程图 L1 【答案】 【解析】3解析:经过第一次循环得到: x ? 2a ? 1, n ? 2 ;因为 2 ? 3 ,所以继续 循 环 得 到 : x ? 2 ? 2a ? 1? ? 1 ? 4a ? 3, n ? 3 ; 因 为 3 ? 3 , 所 以 继 续 循 环 得 到 :

3 1 , x ? 2 ? 4a ? 3? ?1 ? 8a ? 7, n ? 4 , 因为 4 ? 3 不成立, 所以输出 x , 即 8a ?7 ?
,故答案为3.

得a ? 3

【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程 序的作用是利用循环计算并输出 x 值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各 变量的值进行分析,不难得到最终的输出结果.

【数学理卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】3.如图,若 N=5 时,则输出的数等于 A.

5 4

B.

4 5

C.

6 5

D.

5 6

【知识点】算法与程序框图 L1 【答案】

5 6

【解析】模拟程序框图的运行过程,如下;

1 1 = ; 1? 2 1? 2 1 1 k<N,是,k=2,S= + ; 1? 2 2 ? 3 1 1 1 k<N,是,k=3,S= + + ; 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 1 1 1 1 k<N,是,k=4,S= + + + ; 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 1 1 1 1 1 k<N,是,k=5,S= + + + + , 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 1 1 1 1 1 k<N,否,输出 S= + + + + 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 =(1)+( - )+( - )+( )+( )= . 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
输入 N=5,k=1,S=0,S=0+ 【思路点拨】根据题意,模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的结果是什么.

【数学文卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】20. (本小题满分 14 分)根据如图所示的程序框图,将输出 a , b 的值依次分别记为

a1,a2, ?,an, ?,a2008;b1,b2, ?,bn, ?,b2008.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)写出 b1,b2,b3,b4 ,由此猜想 {bn } 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅲ) 在 ak 与 ak ?1 中插入 bk+1 个 3 得到一个新数列 {cn } , 设数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn , 问是否存在这样的正整数 m,使数列 {cn } 的前 m 项的和 Sm ? 2008 ,如果存在,求出 m 的 值,如果不存在,请说明理由. 【知识点】程序框图,等差数列,等比数列 L1 D2 D3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) an=n (Ⅱ) bn ? 3n ?1 ? 1 (Ⅲ) m ? 667 (Ⅱ) b1=0,b2=2,b3= 8,b4=26 , 猜想 bn ? 3n ?1 ? 1 .证明如下: bn+1= 3bn+2,bn+1+= 1 ( 3 bn+) 1 , 解析: (Ⅰ) a1=, 1 an+1=an+ 1 ,??an ? 是公差为 1 的等差数列.? an=n .3 分

?{bn+ 1} 是公比为 3 的等比数列.∴ bn ? 1 ? (b1 ? 1)3n?1 ? 3n?1 .则 bn ? 3n?1 ? 1 .7 分
(Ⅲ)数列 {cn } 中, ak 项(含 ak )前的所有项的和是
1 2 k ?1

k ? k ? 1? 3k ? 3 ? , (1 ? 2 ? ? k ) ? (3 ? 3 ? ? 3 ) ? 2 2 37 ? 3 ? 1120 ? 2008 ,当 k ? 8 时,其和是 估算知,当 k ? 7 时,其和是 28 ? 2 38 ? 3 36 ? ? 3315 ? 2008 ,又因为 2008 ? 1120 ? 888 ? 296 ? 3 ,是 3 的倍数, 2
故存在这样的 m ,使得 Sm ? 2008 ,此时 m ? 7 ? (1 ? 3 ? 32 ?

? 35 ) ? 296 ? 667 .14 分

【思路点拨】 (Ⅰ)由程序框图可得 a1=, 1 an+1=an+ 1 ,可求得 an=n ; (Ⅱ)猜想 bn ? 3n ?1 ? 1 , bn+1= 3bn+2,bn+1+= 1 ( 3 bn+) 1 ,?{bn+ 1} 是公比为 3 的等比数 列,可求数列 bn ? 3n ?1 ? 1 . (Ⅲ)数列 {cn } 中, ak 项(含 ak )前的所有项的和是

(1 ? 2 ?
28 ?

? k ) ? (31 ? 32 ?

? 3k ?1 ) ?

k ? k ? 1? 3k ? 3 ? , k ? 7 其和 2 2

37 ? 3 ? 1120 ? 2008 ,当 k ? 8 时,其和 ? 2008 , 2 又因为 2008 ? 1120 ? 888 ? 296 ? 3 , 是 3 的倍数, 故存在这样的 m , 使得 Sm ? 2008 .

【数学文卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】6.下列算法中, 含有条件分支结构的是( A.求两个数的积 ) B.求点到直线的距离

C.解一元二次不等式

D.已知梯形两底和高求面积

【知识点】条件结构 L1 【答案】 【解析】C 解析:A、B、D 不含条件分支,解一元二次不等式要用到条件分支, 故选 C. 【思路点拨】理解条件结构的适用条件.

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】5、如果执行如图的程序 框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于( ) A.720 B.360 C.240 D.120

【知识点】程序框图.L1 【答案】 【解析】B 解析:执行程序框图,有 n=6,m=4,k=1,ρ=1 第一次执行循环体,ρ=3 满足条件 k<m,第 2 次执行循环体,有 k=2,ρ=12 满足条件 k<m,第 3 次执行循环体,有 k=3,ρ=60 满足条件 k<m,第 4 次执行循环体,有 k=4,ρ=360 不满足条件 k<m,输出 p 的值为 360. 故选:B. 【思路点拨】执行程序框图,写出每次循环得到的 k,ρ 的值,当有 k=4,ρ=360 时不满足 条件 k<m,输出 p 的值为 360.

【数学文卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】3.如图,若 N=5 时,则输出的数等于 A.

5 4

B.

4 5

C.

6 5

D.

5 6

【知识点】算法与程序框图 L1 【答案】D 【解析】模拟程序框图的运行过程,如下;

1 1 = ; 1? 2 1? 2 1 1 k<N,是,k=2,S= + ; 1? 2 2 ? 3 1 1 1 k<N,是,k=3,S= + + ; 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 1 1 1 1 k<N,是,k=4,S= + + + ; 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 1 1 1 1 1 k<N,是,k=5,S= + + + + , 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 1 1 1 1 1 k<N,否,输出 S= + + + + 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 =(1)+( - )+( - )+( )+( )= . 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
输入 N=5,k=1,S=0,S=0+ 【思路点拨】根据题意,模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的结果是什么.

L2

基本算法语句

L3

算法案例

L4

复数的基本概念与运算

【数学(文)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 5.复数 z ?

5i ( i 是虚数单位)的共轭复数为( (2 ? i)(2 ? i)



(A) ? i 【知识点】复数运算 L4 【答案】 【解析】C 解析: z ?

5 3

(B) i

5 3

(C) ? i

(D) i

5i 5i 5i ? ? ? i ,? z ? ?i , 故选 C. 2 5 (2 ? i)(2 ? i) 4 ? i

【思路点拨】化简得 z ? i ,从而可求 z ? ?i .

【数学理卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) 】2.已知 f ? x ? ? x , i 是虚数
2

单位,则在复平面中复数

f ?1 ? i ? 对应的点在( 3?i

) D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 【知识点】复数的代数运算 L4 【答案】【解析】A 解析:因为

C.第三象限

f ?1 ? i ? 2i 1 3 ? ? ? i ,所以选 A. 3?i 3?i 5 5

【思路点拨】判断复数对应的点所在的象限,只需先利用复数的代数运算求出该复数即可.

【数学理卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】2.已知 i 为虚数单位, 复数 z1 ? 3 ? ai, z2 ? 1 ? 2i ,若

z1 复平面内对应的点在第四象限,则实数 a 的取值范围为 z2 3? 3? ? ? C. ? a | a ? ? 2? 2? ?
L4 D. ?a | a ? ?6或a ?

A.

?a | a ? ?6?

B. ?a | ?6 ? a ?

? ?

? ?

3? ? 2?

【知识点】复数的运算;复数的几何意义. 【答案】 【解析】B 解析:

z1 3 ? ai ? 3 ? ai ??1 ? 2i ? 3 ? 2a 6 ? a z ? ? ? ? i ,因为 1 复 z2 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? z2 5 5

平面内对应的点在第四象限,所以 ?

?3 ? 2a ? 0 3 ? ?6 ? a ? ,故选 B. 2 ?6 ? a ? 0

【思路点拨】先把复数 z 化为最简形式,在利用复数的几何意义求解.

【数学理卷· 2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试 (201412) word 版】 2. 已知 的共轭复数,复数 A. B. 【知识点】复数的基本概念与运算. c.1 L4 D.2

【答案】 【解析】 A 解析: ∵z ?

3 ? i 1 ?3 i 3 ?i 2 3 2? i 3 1 ? ? ?? ? i, ?8 4 4 ?2 ? 2 3 i ?21 ?3 1 i 3? i

?

?

?? ??

?

?

2 ? 3? ?1? 1 3 1 ∴z ?? ? i ,∴ z ? z ? ? ? ? . ?? 4 ? ? ?? 4 4 4 ? ? ?4?

2

【思路点拨】化简复数 z ,根据共轭复数的定义得 z ,进而求得结论.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】2.已知复 数 1-i= (i 为虚数单位),则 z 等于

A.一 1+3i B.一 1+2i C.1—3i D.1—2i 【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案】A 【解析】由题意得 z=

2 ? 4i (2 ? 4i)(1 ? i) = =-1+3i 1? i (1 ? i)(1 ? i)

【思路点拨】化简求出结果。

【数学理卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】1. 复数 ? 3 ? 4i ? i (其中 i 为虚数单位)的虚部为( A. 3 【知识点】复数的运算 B. 3i L4 ) C. 4 D. 4i

【答案】 【解析】A解析:因为 ? 3 ? 4i ? i ? ?4 ? 3i ,所以虚部为3,故选择A.

【思路点拨】复数的虚部指的是 i ,前面的系数,所以可得.

【数学理卷· 2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考( 201412 ) 】 1 .若复数 z 满足

?1 ? 3i ? z ? 2

3i ( i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内对应的点在(
C.第三象限



A.第一象限 B.第二象限 【知识点】复数的基本概念.L4 【答案】 【解析】A

D.第四象限

解析:由 1 ? 3i z ? 2 3i ,得

?

?

z?

2 3i ? 1 ? 3i 2 3i 3 3 ? ? ? i. 2 2 1 ? 3i 1 ? 3i 1 ? 3i

?

? ??

?

?

∴ z 在复平面内对应的点的坐标为 ?

?3 3? ?2, 2 ? ? ,是第一象限的点.故选:A. ? ?

【思路点拨】由复数的除法运算化简复数 z ,得到对应点的坐标得答案. 【数学理卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】1.如果复数

2 ? bi (其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数, 1 ? 2i
那么 b= A.

2

B.

2 3

C. ?

2 3

D.2

【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案】C 【解析】复数

2 ? bi (2 ? bi )(1 ? 2i ) = =2-2b+(-4-b)i,∵它的实部和虚部互为相反数, 1 ? 2i (1 ? 2i )(1 ? 2i)

2 。 3 2 ? bi 【思路点拨】化简复数 为 2-2b+(-4-b)i,由题意可得 2-2b+(-4-b)=0,解得 b 的 1 ? 2i
∴2-2b+(-4-b)=0,∴b= ? 值.

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】1.复数 等于 A.1+2i B.1—2i C.2+i D.2 一 i 【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案】D

【解析】

3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 4 ? 2i =2-i ? ? 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

【思路点拨】两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再利用虚数单位 i 的幂 运算性质进行准确化简运算.

【数学文卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】1.已知 z ? 1 ? i , 则 ( z) 2 =( ) C. 2i D. ? 2i

A. 2 B. ? 2 【知识点】复数运算 L4

【答案】 【解析】D 解析:因为 z ? 1 ? i ,所以 z ? 1 ? i , ( z)2 ? ?2i ,故选 D. 【思路点拨】有运算性质直接计算即可.

【数学文卷· 2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考( 201412 ) 】 2 、已知复数 z 满足 ,则 A. ( B. ) C. D.2

1 2

【知识点】复数求模.L4 【答案】 【解析】A ∴z= 解析:∵ ,

(1 +i) 1 - 3i = 1 + 3 + 1 - 3 i , 1 +i = 4 1 + 3i 1 + 3i 1 - 3i

(

( )(

)

)

(

)

所以

,故选 A.

【思路点拨】 首先根据所给的等式表示出 z, 是一个复数除法的形式, 进行复数的除法运算, 分子和分母同乘以分母的共轭复数,分子和分母同时进行乘法运算,得到最简形式.

【数学文卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】1.如果复数

2 ? bi (其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数, 1 ? 2i
那么 b= A.

2

B.

2 3

C. ?

2 3

D.2

【知识点】复数的基本概念与运算 L4

【答案】C 【解析】复数

2 ? bi (2 ? bi )(1 ? 2i ) = =2-2b+(-4-b)i,∵它的实部和虚部互为相反数, 1 ? 2i (1 ? 2i )(1 ? 2i)

2 。 3 2 ? bi 【思路点拨】化简复数 为 2-2b+(-4-b)i,由题意可得 2-2b+(-4-b)=0,解得 b 的 1 ? 2i
∴2-2b+(-4-b)=0,∴b= ? 值.

L5 单元综合


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