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惠州市2011届高三第一次调研考试文科数学试题答案ok


惠州市 2011 届高三第一次调研考试 数学(文科)评分标准
小题, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 选择题( 题号 答案 1. 【解析】Q 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 B 7 C 8 C 9 C 10 A

1+ i = 1? i 故选 D. i 2. 【解析】A= { x 1 ? x > 0} = { x x < 1} ,B= { y y ≥ 0} ,故选 B
3. 【解析】Q 2 p = 4 ? p = 2,∴

p = 1 ,∴ 抛物线 y 2 = 4 x 的焦点是 (1, 0 ) ,故选 C; 2
o

4. 【解析】设 b = ( x, y ) ,则 a b cos180 = x ? 2 y , ∴ 5 ? 3 5 ? ( ?1) = x ? 2 y 又 x + y =3 5
2 2

r

r r

(1)

(2) 由(1) , (2)可解得 x=-3,y=6 故选 A;

5. 【解析】结合题意知该几何体是四棱锥,棱锥的的底面是边长为 8 和 6 的长方形, 棱锥的高是 5, ∴由棱锥的体积公式得 V = 6. 【解析】 | OP |=

1 × 8 × 6 × 5 = 80 ,故选 B 3 2 2 5 = ,∴选 B. 5 5

5 ,由三角函数的定义得 sin α =

7. 【解析】作出可行区域可得,当 x = 0, y = 1 时,z 取得最小值-1 当 x = 2, y = 0 时,z 取得最大值 2,故选 C 8. 【解析】若 p ∧ q 为假命题,则只需 p, q 至少有一个为假命题即可。 故选 C 9. 【解析】由于 f (1) > 0, f (3) < 0 ,所以 x0 ∈ (1, 3) . 在 (1,3) 上 g ( x ) = ( ) 是减函数, φ ( x ) = log 3 x 是增函数,
x

1 5

所以 f ( x ) = ( ) ? log 3 x 在 (1,3) 上是减函数,所以 f ( x ) > f ( x0 ) = 0 ,故选 C.
x

1 5

10. 【解析】Q

8n ? 4 8n ? 2 8n 8n + 2

= (8n ? 4)(8n + 2) ? (8n ? 2)(8n) = ?8

数列共有 251 项,∴ 结果为 ( ?8) ? 251 = ?2008 ,故选 A.
数学试题(文科)答案 第 1 页 共 5 页

小题, 选做题, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 填空题( ~ 题是选做题 只需选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分. 只需选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分. ) 11、760 12、4 13、9910 14、 1:1 15、 80
0

95 x = ,得 x = 760 . 200 1600 1 1 1 12. 【解析】 + + > 0.8 ,因此输出 n = 4. 2 4 8
11. 【解析】由 13. 【解析】设第一日读的字数为 a ,由“每日添增一倍多”得此数列是以 a 为首项,公比

a (1 ? 23 ) 为 2 的等比数列,可求得三日共读的字数为 =7 a =34685,解得 a =4955,则 1? 2
2 a =9910,即该君第二日读的字数为 9910. 14.【解析】∵直线 θ =

π
4

( ρ ∈ R) 过圆ρ=4 的圆心,∴直线把圆分成
A

O

B

两部分的面积之比是 1:1 15. 【解析】连接 BC ,Q AB 是
o

O 的直径∴∠ACB = 90o ,
o o

E

C (第 15 题图)

P

又 ∠ACE = 40 ,∴∠PCB = ∠PBC = 50 ,∴ ∠P = 80

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题( ) 16、解: (1) f ( x ) = 2 + sin 2 x + cos 2 x = 2 + 2 sin(2 x +

π
4

)

……4 分

∴当 2x +

π
4

= 2 kπ +

π
2

,即 x = kπ +

π
8

(k ∈ Z ) 时, f ( x ) 取得最大值 2 + 2 . ? ?

因此, f ( x ) 取得最大值的自变量 x 的集合是 ? x x = kπ + (2) f ( x ) = 2 + 2 sin(2 x + 由题意得 2kπ ?

π

? , k ∈ Z ? .……8 分 8 ?

π
4

) 4
≤ 2k π +

π
2

≤ 2x +

π

π

3 π (k ∈ Z ) ,即 kπ ? π ≤ x ≤ kπ + (k ∈ Z ) . 2 8 8
…………12 分

因此, f ( x ) 的单调增区间是 ? kπ ? 17. (本小题满分 12 分)

? ?

3π π? , kπ + ? ( k ∈ Z ) . 8 8?

数学试题(文科)答案

第 2 页 共 5 页

解: (1) ( a, b ) 共有 (1, ?1) , (1,1) , (1, 2 ) , (1,3) , (1, 4 ) , ( 2, ?1) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 2,3) , ( 2, 4 ) ,

( 3 ? 1) , ( 3,1) , ( 3, 2 ) , ( 3,3) , ( 3, 4 ) ,15 种情况
2

…………4 分

函数 y = f ( x ) 有零点,? = b ? 4a ≥ 0 , (1, 2 ) , (1,3) , (1, 4 ) , ( 2,3 ) , ( 2, 4 ) , ( 3, 4 ) 共 有 6 种情况满足条件 所以函数 y = f ( x ) 有零点的概率为 (2)函数 y = f ( x ) 的对称轴为 x = ………6 分

6 2 = 15 5

………8 分

b b , 在区间 [1, +∞ ) 上是增函数则有 ≤1, 2a 2a

(1, ?1) , (1,1) , (1, 2 ) , ( 2, ?1) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 2,3) , ( 2, 4 ) , ( 3 ? 1) , ( 3,1) , ( 3, 2 ) , ( 3,3) , ( 3, 4 ) , 共 13 种情况满足条件
所以函数 y = f ( x ) 在区间 [1, +∞ ) 上是增函数的概率为 18. (本小题满分 14 分) 解: (1)证明:连结 AC ,则 F 是 AC 的中点, E 为 PC 的中点 故在△ CPA 中, EF / / PA , 且 PA ? 平面 PAD, EF ? 平面 PAD,∴ EF ∥平面 PAD (2)取 AD 的中点 M,连结 PM ,Q PA = PD ,∴ PM ⊥ AD 又平面 PAD ⊥平面 ABCD , 平面 PAD ∩平面 ABCD = AD , …………3 分 …………6 分 …………8 分 ……10 分

13 15

………12 分

∴ PM ⊥ 平面ABCD ,

……………10 分

1 1 1 1 a3 ∴VC ? PBD = VP ? BCD = S ?BCD ? PM = ? a ? a ? a = 3 3 2 2 12

……………14 分

19 解: (1)设切线的斜率为 k,则 k = f ′( x) = 2 x 2 ? 4 x + 3 = 2( x ? 1) 2 + 1 又 f (1) =

………2 分

5 5 ,所以所求切线的方程为: y ? = x ? 1 3 3

…………5 分 …………6 分

即 3 x ? 3 y + 2 = 0.

(2) f ′( x) = 2 x 2 ? 4ax + 3 , 要使 y = f ( x) 为单调增函数,必须满足 f ′( x) ≥ 0

数学试题(文科)答案

第 3 页 共 5 页

即对任意的 x ∈ (0, +∞), 恒有f ′( x) ≥ 0

…………8 分

f ′( x) = 2 x 2 ? 4ax + 3 ≥ 0 ∴a ≤ 2x2 + 3 x 3 = + 4x 2 4x
…………11 分



x 3 6 6 6 + ≥ ,当且仅当 x = 时,等号成立, 所以 a ≤ 2 4x 2 2 2
…………………………………14 分

所求满足条件的 a 值为 1

20.解析: (1)依题意,圆 M 的半径等于圆心 M ( ?1, 0) 到直线 x ? 3 y ? 3 = 0 的距离, 即r =

| ?1 ? 3 | = 2. 1+ 3

…………………4 分

∴圆 M 的方程为 ( x + 1) 2 + y 2 = 4 . (2)设 P ( x,y ) ,由 | PA | ? | PB |=| PO |2 , 得 ( x + 2) + y ? ( x ? 2) + y = x + y ,
2 2 2 2 2 2

…………………6 分

即x ? y =2.
2 2

……………………………………9 分 ……11 分

uuu uuu r r PA PB = (?2 ? x, y ) (2 ? x, y ) = y 2 + x 2 ? 4 = 2( y 2 ? 1) ? ?

∵点在圆 M 内,∴ ( x + 1) 2 + y 2 < 4 ? 0 ≤ y 2 < 4 ? ?1 ≤ y 2 ? 1 < 3 , ∴的取值范围为 [ ?2, 6) . ……………………………………………14 分 21.解: (1)由题意 f ( an ) = 4 + 2( n ? 1) = 2n + 2, ∴ an = m ∴
2 n+ 2

即 log m an = 2n + 2, ………………2 分

an +1 m 2( n +1) + 2 = = m2 an m2 n + 2
4 2

∵m>0 且 m ≠ 1 ,∴m 为非零常数,
2

∴数列{an}是以 m 为首项,m 为公比的等比数列 (2)由题意 bn = an f ( an ) = m
2n+2

…………4 分

log m m 2 n + 2 = (2n + 2) ? m 2 n + 2 ,
第 4 页 共 5 页

数学试题(文科)答案

当m =

2时,bn = (2n + 2) ? 2n +1 = (n + 1) ? 2n + 2
3 4 5 n+2

∴ S n = 2 ? 2 + 3 ? 2 + 4 ? 2 + L + ( n + 1) ? 2
4 5 6


n+2

…………6 分

①式乘以 2,得 2 S n = 2 ? 2 + 3 ? 2 + 4 ? 2 + L + n ? 2 ②-①并整理,得 S n = ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? L ? 2
3 4 5 6

+ (n + 1) ? 2n + 3 + (n + 1) ? 2n +3

② …7 分

n+2

= ?23 ? [23 + 2 4 + 25 + L + 2n + 2 ] + (n + 1) ? 2n +3 23 [1 ? 2n ] = ?2 ? + (n + 1) ? 2n +3 = ?23 + 23 (1 ? 2 n ) + (n + 1) ? 2n + 3 1? 2
3

= 2 n +3 ? n
(3)由题意 cn = an lg an = (2n + 2) ? m
2n+2

………… 10 分

lg m ,要使 cn ?1 < cn 对一切 n ≥ 2 成立,

即 n lg m < ( n + 1) ? m 2 ? lg m 对一切 n ≥ 2 成立, ①当 m>1 时, n < (n + 1) m 2 对n ≥ 2 成立; ②当 0<m<1 时, n > ( n + 1) m 2 ∴n > …………12 分

m2 m2 对一切 n ≥ 2 成立,只需 <2, 1 ? m2 1 ? m2

解得 ?

6 6 <m< , 考虑到 0<m<1, 3 3

∴0<m<

6 . 3

综上,当 0<m<

6 或 m>1 时,数列 {cn } 中每一项恒小于它后面的项…………14 分 3

数学试题(文科)答案

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