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浙江省嘉兴市高三数学教学测试试题(一)(嘉兴一模)理 新人教A版

2013 年高三教学测试(一)

理科数学试题卷

注意事项:

1. 本科考试分试題卷和答題卷,考生须在答題卷上作答.答题前,请在答題卷的密 封线内

填写学校、班级、学号、姓名;

2. 本试題卷分为第 1 卷(选择題)和第π 卷(非选择題)两部分,共 6 页,全卷满 分 150

分,考试时间 120 分钟.

参考公式:

如果事件 A , B 互斥,那么

棱柱的体积公式

P? A ? B? ? P? A? ? P?B?

V ? Sh

如果事件 A , B 相互独立,那么 的高

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱

P? A? B? ? P? A? ? P?B?

棱锥的体积公式

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 高

V ? 1 Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的

Pn ?k ? ? Cnk pk ?1 ? k ?n?k ,?k ? 0,1, 2, , n?

棱台的体积公式

球的表面积公式 S ? 4? R2
V ? 4? R3
球的体积公式 3 积,
其中 R 表示球的半径

? ? 1

V

?h 3

S1 ?

S1S2 ? S2

其中 S1, S2 分别表示棱台的上底、下底面

h 表示棱台的高

第 I 卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有 一项是符合题目要求的.
1? i 1. 若 i 为虚数单位,则复数 1 ? i =

A. i B. -i C. 2i

D.- 2i

f (x) ? sin(x ? ? ).cosx

2. 函数

2

的最小正周期是

? A. 2

B. π C. 2π D. 4π

3. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 A. O B. -1

?3 ?7 C. 2 D. 4

4. 已知 α,β 是空间中两个不同平面,m , n 是空间中两条不 同直线,则下列命题中错误的



A. 若 m//n B. 若 m//α

m 丄 α,
α ?β ,

则n 丄α 则 m//n

C. 若 m 丄 α , m 丄β ,
D. 若 m 丄 α, m ? β

则 α//β 则 α 丄β

5.

已知函数

? ? ?

f1(x), x f2 (x), x

? ?

0 0

下列命题正确的是

A. 若 f1 (x) 是增函数, f 2 (x) 是减函数,则 f (x) 存在最大值

B. 若 f (x) 存在最大值,则 f1 (x) 是增函数, f 2 (x) 是减函数

C. 若 f1 (x) , f 2 (x) 均为减函数,则 f (x) 是减函数

D. 若 f (x) 是减函数,则 f1 (x) , f 2 (x) 均为减函数

a ? b ? ab

6. 已知 a,b∈R,a.b≠O,则“a>0,b>0” 是“ 2

”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0)

7. 已知双曲线 c: a 2 b 2

,以右焦点 F 为圆心,|OF|为半径的圆交双曲线

两渐近线于点 M、N (异于原点 O),若|MN|= 2 3a ,则双曲线 C 的离心率 是

A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 ? 1

0? x? ?

8. 已知

2 ,则下列命题正确的是

x? 1

x? 1

A.若

sin x 则. sin x

x? 1

x? 1

B.若

sin x ,则 sin x

x? 1

x? 1

C. 若 sin x ,则

sin x

x? 1

x? 1

D 若 sin x ,则

sin x

9. 如图,给定由 10 个点(任意相邻两点距离为 1)组成的 正三角形点阵,在

其中任意取三个点,以这三个点为顶 点构成的正三角形的个数是 A. 13 B. 14 C. 15 D. 17
10. 已知函数 f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合 A = {x 丨 f(x)=0}, B = {x|f(f(x)))= 0},若 A? B ? 且存
在 x0∈B,x0∈A 则实数 b 的取值范围是
A b ? 0 B b<0 或 b ? 4
C 0 ? b ? 4 D b ? 4或b ? 4
非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 已知奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)= log2(x+ 3), 则 f(-1)=__▲__
?x ? y ? 2 ??x ? y ? 2 12. 已知实数 x,y 满足 ??? 1 ? x ? 2 则 z = 2x+y 的最小值是__▲__
13. —个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__▲__

14. 设(x-2)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,则 a0+a1+a2+…+a6 的值为__▲__ 15. 一盒中有 6 个小球,其中 4 个白球,2 个黑球?从盒中一次任取 3 个球,若为黑球则放 回 盒中,若为白球则涂黑后再放回盒中.此时盒中黑球个数 X 的均值 E(X) =__▲__.

16.

若 a, b 是两个非零向量,且| a |?| b |?

? | a ? b |, ? ?[

3 3

,1] ,则 b 与 a ? b 的夹角的



值范围是__▲__.

?AFB ? ?

17. 己知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,若点 A, B 是该抛物线上的点,

2 ,线段 AB 的中

| MN | 点 M 在抛物线的准线上的射影为 N,则 | AB | 的最大值为__▲__.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟? 18. (本题满分 14 分)
1 在Δ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a= 2 c + bcosC .

(I )求角 B 的大小
(II)若 S?ABC ? 3 ,求 b 的最小值.
19. (本题满分 14 分) 已知等差数列{an}的公差不为零,且 a3 =5, a1 , a2.a5 成等比数列 (I)求数列{an}的通项公式:
3n ?1 (II)若数列{bn}满足 b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an 且数列{bn}的前 n 项和 Tn 试比较 Tn 与 n ? 1
的大小
20. (本题满分 15 分)
如图,直角梯形 ABCD 中,AB//CD,?BCD = 90°, BC = CD = 2 ,AD = BD:EC 丄底面 ABCD,
FD 丄底面 ABCD 且有 EC=FD=2. (I )求证:AD 丄 BF : (II )若线段 EC 上一点 M 在平面 BDF 上的射影恰好是 BF 的中点 N,试求二面角 B-MF-C 的余弦 值.

21 (本题满分 15 分)

x2 ? y2 ?1

已知椭圆 C: 2

的左、右焦点分别为 F1,F2, O 为原点.

(I)如图①,点 M 为椭圆 C 上的一点,N 是 MF1 的中点,且 NF2 丄 MF1,求点 M 到 y 轴的距 离; (II)如图②,直线 l: :y=k + m 与椭圆 C 上相交于 P,G 两点,若在椭圆 C 上存 在点 R,使 OPRQ 为平行四边形,求 m 的取值范围.

22. (本题满分 14 分)

f (x) ? 1 x2 ? (2a ? 2)x ? (2a ?1) ln x

已知函数

2

(I )求 f(x)的单调区间;

(II)对任意的

a

?

[

3 2

,

5 2

],

x1

,

x2

? [1,2]

|

,恒有

f

(x1 ) |

?f

(x2 )

?

?

|

1 x1

?

1 x2

| ,求正实数 ?



取值范围.

三、解答题(本大题共 5 小题,第 18-20 题各 14 分,第 21、22 题各 15 分,共 72 分)

sin A ? 1 sinC ? sinB cos C

18.解:(Ⅰ)由正弦定理可得:

2



…2 分

又因为 A ? ? ? (B ? C) ,所以 sin A ? sin(B ? C),

…4 分

sinB cos C ? cos B sinC ? 1 sinC ? sinB cos C

可得

2



cos B ? 1

B??



2 .所以 3

(Ⅱ) 因为 S ?ABC ?

3

,所以

1 ac sin? ?

2

3

3

,所以 ac ? 4

…6 分 …7 分 …10 分

由余弦定理可知: b2 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac

…12 分

所以 b2 ? 4 ,即 b ? 2 ,所以 b 的最小值为 2.

…14 分

19.解:(Ⅰ)在等差数列中,设公差为 d(d ? 0) ,

???a1a5 ? a2 2

???a1 (a1 ? 4d ) ? (a1 ? d )2

由题 ?? a3 ? 5 ,? ??

a1 ? 2d ? 5



解得:

???ad1

?1 ?2

.

?an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1.

(Ⅱ) b1 ? 2b2 ? 4b3 ? ? ? 2n?1 bn ? an



…3 分
…4 分 …5 分

20.解:(Ⅰ)证明:∵ BC ? DC ,且 BC ? CD ? 2 ,

∴ BD ? 2 且 ?CBD ? ?BDC ? 45? ;

…1 分

又由 AB // DC ,可知 ?DBA ? ?CBD ? 45?

∵ AD ? 2 ,∴ ?ADB是等腰三角形,且 ?DAB ? ?DBA ? 45? ,

∴ ?ADB ? 90? ,即 AD ? DB;

…3 分

∵ FD ? 底面 ABCD 于 D, AD ? 平面 ABCD,∴ AD ? DF ,

…4 分

∴ AD ? 平面 DBF.又∵ BF ? 平面 DBF,∴可得 AD ? BF .

…6 分

(Ⅱ)解:如图,以点 C 为原点,直线 CD、CB、CE 方向为 x、y、z 轴建系.

可得 D( 2,0,0), B(0, 2,0), F ( 2,0,2), A(2 2, 2,0) ,

…8 分

N ( 2 , 2 ,1) 又∵ N 恰好为 BF 的中点,∴ 2 2 .

22

设 M(0,0, z0 ) ,∴ MN ? (

2

,

2

,1 ? z0 ) .

??MN ? BD ? 0 ? 又∵ ??MN ? DF ? 0 ,∴可得 z0 ? 1.

故 M 为线段 CE 的中点.

…11 分

A

z

…9 分

M

E

M N

D x

C

20 题解答 y B

设平面 BMF 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

且 BF ? ( 2,? 2,?2) ,

?? BF ?

?

n1

?

0

?? ?

2 x1 ?

2 y1 ? 2z1 ? 0

BM ? (0,? 2,1) ,由 ??BM ? n1 ? 0 可得 ??? 2 y1 ? z1 ? 0



? ?

x1

?

3

? y1 ? 1

?

取 ?z1 ? 2 得 n1 ? (3,1, 2 ) .

又∵平面 MFC 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0) ,

cos ? n1 , n2 ? ? n1 ? n2 ?



n1 n2

3
6 .

3 故所求二面角 B-MF-C 的余弦值为 6 .

…13 分 …14 分
…15 分

21.解(Ⅰ) F1 (?1, 0) ,

…1 分



M( x0 ,

y0 ) ,则

MF1

的中点为

N(

x0 ? 2

1 ,

y0 2

) ,



MF1

?

NF2 ,∴ MF1

?

NF2

?

0 ,即 ( x0

? 1,

y0

)

?

(

x0

? 2

3

,

y0 2

)?0 ,

∴ x02 ? 2x0 ? 3 ? y02 ? 0

(1)

…4 分

又有

x02 2

?

y02

?1 ,

(2)

…2 分 …3 分

由(1)、(2)解得 x0 ? 2 ? 2 2 ( x0 ? 2 ? 2 2 舍去)

…5 分

所以点 M 到 y 轴的距离为 2 2 ? 2 .

…6 分

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,

∵OPRQ 为平行四边形,∴ x1 ? x2 ? xR , y1 ? y2 ? yR .

…8 分

∵R

点在椭圆上,∴

( x1

? x2 )2 2

? ( y1

?

y2 )2

?1 ,



( x1

? x2 )2 2

? [k( x1

?

x2 ) ? 2m]2

?1 ,

…9 分

化简得, (1 ? 2k2 )( x1 ? x2 )2 ? 8km( x1 ? x2 ) ? 8m2 ? 2 .…(1)

? x2 ?

?

y2

?1

?2

由 ?? y ? kx ? m 得 (1 ? 2k 2 )x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0 .

由 ? ? 0 ,得 2k 2 ? 1 ? m 2 …(2),

4km



x1

?

x2

?

? 1 ? 2k 2



16(1 ? 2k 2 )k 2 m 2 ? 32k 2 m 2 ? 8m 2 ? 2

代入(1)式,得 (1 ? 2k 2 )2

1 ? 2k 2



化简得 4m 2 ? 1 ? 2k 2 ,代入(2)式,得 m ? 0 .

1

1

又 4m 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ,

m?? m?



2或 2.

…10 分
…11 分 …12 分
…14 分 …15 分

f ?( x) ? x ? (2a ? 2) ? 2a ? 1 ( x ? 2a ? 1)( x ? 1)

22.解:(Ⅰ)

x=

x

( x?0)

令 f ?( x) ? 0 , x1 ? 2a ? 1, x2 ? 1



f ?( x) ? ( x ? 1)2

a ? 0 时,

x

?

0 ,所以

f

(x)

增区间是

?0,?

?? ;

…1 分

② a ? 0 时, 2a ? 1 ? 1,所以 f ( x) 增区间是 (0,1) 与 (2a ? 1,??) ,减区间是 (1,2a ? 1)



?

1 2

?

a

?

0

时,0

?

2a

?1

?

1,所以

f

(x)

增区间是 (0,2a

? 1)



(1,? ?)

,减区间是

(2a

?

1,1)



a

?

?

1 2

时,

2a

?

1

?

0 ,所以

f

(x)

增区间是

(1,? ?)

,减区间是

( 0,1)

…5 分

(Ⅰ)因为

a

?[3 2

,

5] 2

,所以 (2a

?

1)

? [4,6] ,由(1)知

f

(x)

在 [1,2]

上为减函数.

…6 分

若 x1 ? x2 ,则原不等式恒成立,∴ ? ?(0, ? ?)

…7 分

1?1 若 x1 ? x2 ,不妨设 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 x2 ,

所以原不等式即为:

f (x1 ) ?

f

(

x

2

)

?

?

(

1 x1

?

1) x2 ,即

f ( x1) ? ?

1 x1

?

f ( x2) ? ?

1 x2

对任意的

35

a

?[

2

,

] 2



x1,

x2

?

[1,2]

恒成立

g(x) ? 令

f (x) ?

? x

35 a?[ , ] ,所以对任意的 2 2 ,

x1, x2 ?[1,2] 有 g( x1 ) ?

g( x2 ) 恒成立,所以

? g( x) ? f ( x) ? x 在闭区间[1,2] 上为增函数

…9 分

所以

g ?(

x)

?

0

对任意的

a

?[

3 2

,

5 2

]



x

? [1,2]

恒成立


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