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北京市门头沟区2013届高三3月抽样测试数学[理]试题


门头沟区 2013 年高三年级抽样测试
2013.3

数学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 l 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分. 考试时间 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效. 考 试结束后,将本试卷和答题卡一并回交.

第Ⅰ卷

(选择题 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? R,集合 A ? x x ? 4 ,B ? x x ? 1 ,则集合 A ?
2

?

?

?

?

B 等于

(A)

? x x ? ?2?

(B)

? x 1 ? x ? 2?

(C)

? x x ? 1?

(D) R

2. “ a

? 1 ”是“函数 f ( x) ? a x ? 2 (a ? 0且a ? 1) 在区间 (0, ??) 上存在零点”的
(B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

(A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件

3.下列直线中,平行于极轴且与圆 ? ? 2 cos ? 相切的是 (A) ? cos ? ? 1 (B) ? sin ? ? 1 (C) ? cos ? ? 2 (D) ? sin ? ? 2

4.有 4 名优秀学生 A、B、C、D 全部被保送到甲、乙、丙 3 所学校,每所学校至少去一名, 且 A 生不去甲校,则不同的保送方案有 (A) 24 种 (B) 30 种 (C) 36 种 (D) 48 种

5.如图:圆 O 的割线 PAB 经过圆心 O,C 是圆上一点,PA=AC= 确 的是 . (A) CB=CP (C)PC 是圆 O 的切线 (B) PCAC=PABC (D) BC=BABP

1 C AB,则以下结论不正 .. 2

P

A

O

B

6.已知 P ( x, y ) 是中心在原点,焦距为 10 的双曲线上一点,且 则该双曲线方程是

y x

的取值范围为 ( ?

3 3 , ), 4 4

第 1 页 共 12 页

(A)

x2 9 x2 16

?

y2 16 y2 9

?1

(B)

y2 9 y2 16

?

x2 16 x2 9

?1

(C)

?

?1

(D)

?

?1

1 1 主视图 1 俯视图 7.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 左视图

1 2 5 (C) 6
(A)

(B) (D)

1 3

8.定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 是减函数,且函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于点 ( ?2, 0) 成中 心对称,若 s, t 满足不等式组 ? 围是 (A) [3, 4] (B) [3, 9] (C) [4, 6] (D) [4, 9]

? f (t ) ? f ( s ? 2) ? 0 ,则当 2 ? s ? 3 时, 2s ? t 的取值范 ? f (t ? s ) ? 0

第 2 页 共 12 页

第Ⅱ卷

(非选择题 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数 z ?

1? i ,则 z ? 1? i

. . .
开始

10.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a4 ? 2 ,则 a4 ? a7 ? ? ? a3n ?1 等于 11.在 ? ABC 中,若 a ? 2 , c ? 3 , tan B ? ? 15 ,则 b ? 12.执行如右图所示的程序框图,输出 的 S 值为



i ?1, s ? 2
i?5
否 是

s ? 1-

1 s

输出 S 结束

i ? i ?1
??? ? ??? ?

13. 在边长为 1 的正方形 ABCD 中, E、 F 分别为 BC、 DC 的中点, 则向量 AE ? AF ?



14. 定义在 ( ??, 0) ? (0, ?? ) 上的函数 f ( x ) , 如果对于任意给定的等比数列 {an } , { f (an )} 仍是等比数列,则称 f ( x ) 为“等比函数” 。现有定义在 ( ??, 0) ? (0, ?? ) 上的如下函数:①

f ( x) ? 2 x ;② f ( x) ? log 2 x ;③ f ( x) ? x 2 ;④ f ( x) ? ln 2 x ,则其中是“等比函数”的
f ( x ) 的序号为


第 3 页 共 12 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知:函数 f ( x ) ? sin 2 x ? 3 cos x cos( (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的对称轴方程; (Ⅱ)当 x ? [0,

π ? x) . 2

7π ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值. 12

16. (本小题满分 14 分) 在等腰梯形 ABCD 中, AD / / BC , AD ?

1 2

C? BC , ?ABC ? 60? ,N 是 BC 的中点.将

. 梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90? ,得到梯形 ABC ?D ? (如图) (Ⅰ)求证: AC ? 平面 ABC ? ; (Ⅱ)求证: C ?N / / 平面 ADD? ; (Ⅲ)求二面角 A ? C ?N ? C 的余弦值. 17. (本小题满分 13 分) B A

D?

D

N

C

交通指数是交通拥堵指数的简称, 是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值, 交通 指数取值范围为 0~10, 分为五个级别, 0~2 畅 通; 2~4 基本畅通; 4~6 轻度拥堵; 6~ 8 中度拥堵;8~10 严重拥堵. 早高峰时段,从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的 50 个交通路段,依据其交 通指数数据绘制的直方图如右图. (Ⅰ)这 50 个路段为中度拥堵的有 多少个? (Ⅱ)据此估计,早高峰四环以内的 0.24 0.2 频率 组距

三个路段至少有一个是严重拥堵的 0.16 概率是多少? (III)某人上班路上所用时间若畅通 时为 20 分钟,基本畅通为 30 分钟, 轻度拥堵为 36 分钟;中度拥堵为 42 3 4 5 6 7 8 9 交通指数 0.1

分钟;严重拥堵为 60 分钟,求此人所用时间的数学期望.

第 4 页 共 12 页

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? x ? a . ex

(Ⅰ)函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (Ⅱ)当 x ? [0, 2] 时, f ( x ) ?

1 恒成立,求 a 的取值范围. e2

19. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到直线 l : x ? 2 的距离是到点 F (1, 0) 的距离的 2 倍. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 FP 与(Ⅰ)中曲线交于点 Q ,与交于点 A ,分别过点 P 和 Q 作的垂线,垂 问: 是否存在点 P 使得 ?APM 的面积是 ?AQN 面积的 9 倍?若存在, 求出点 P 足为 M , N , 的坐标;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 对于集合 M ,定义函数 f M ( x) ? ?

??1, x ? M ,对于两个集合 M , N ,定义集合 ? 1, x ? M

M ? N ? x f M ( x ) ? f N ( x) ? ?1 .已知 A ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6? , B ? ?1, 3,9, 27,81? .
(Ⅰ)写出 f A (2) 与 f B (2) 的值,并用列举法写出集合 A ? B ; (Ⅱ)用 Card ( M ) 表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的 最小值; (III)有多少个集合对 ( P, Q) ,满足 P, Q ? A ? B ,且 ( P ? A) ? (Q ? B ) ? A ? B .

?

?

第 5 页 共 12 页

门头沟区 2013 年高三年级抽样测试数学试卷(理工类) 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 A 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 C 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9

10

11

12

13

14

n(5 ? n) 2

4

?1

③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题满分 13 分) 已知:函数 f ( x ) ? sin 2 x ? 3 cos x cos( (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的对称轴方程; (Ⅱ)当 x ? [0,

π ? x) . 2

7π ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值. 12

解: (Ⅰ) f ( x ) ? sin 2 x ? 3 cos x sin x

?


1 ? cos 2 x 3 sin 2 x ? 2 2

…………………………… 5

?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2
…………………………… 7

π 1 ? sin(2 x ? ) ? 6 2
分 函数关于直线

2x ?

π π ? ? kπ ( k ? Z ) 对称 6 2
第 6 页 共 12 页

所以 对称轴方程为 9分 (Ⅱ)当 x ? [0,

x?

π kπ ? 3 2

(k ? Z )

……………………………

7π π π ] 时, 2 x ? ? [ ? , π] 12 6 6 π 1 由函数图象可知,sin(2 x ? ) 的最大值为 1, 最小值为 ? …………………………… 6 2
3 2

12 分 所以函数 f ( x ) 的最大值为 13 分 16. (本小题满分 14 分) 在等腰梯形 ABCD 中, AD / / BC , AD ? ,最小值为 0 ……………………………

1 2

C? BC , ?ABC ? 60? ,N 是 BC 的中点.将

. 梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90? ,得到梯形 ABC ?D ? (如图) (Ⅰ)求证: AC ? 平面 ABC ? ; (Ⅱ)求证: C ?N / / 平面 ADD ? ; (Ⅲ)求二面角 A ? C ?N ? C 的余弦值. (Ⅰ)证明:因为 AD ? B A

D?

D

N

C

1 BC ,N 是 BC 的中点 2

所以 AD ? NC ,又 AD / / BC 所以四边形 ANCD 是平行四边形,所以 AN ? DC 又因为等腰梯形, ?ABC ? 60? , 所以 AB ? BN ? AD ,所以四边形 ANCD 是菱形,所以 z

?ACB ?

1 ?DCB ? 30? 2
所以 ?BAC ? 90? ,即 AC ? AB 由已知可知 平面 C ?BA ? 平面 ABC , B

C?

A

D?

D

因为 平面 C ?BA ? 平面 ABC ? AB 所以 AC ? 平面 ABC ? x ……………………………4 分

N

C

y

(Ⅱ)证明:因为 AD / / BC , AD? / / BC ? ,

AD ? AD? ? A, BC ? BC ? ? B
所以平面 ADD? / / 平面 BCC ? 又因为 C ?N ? 平面 BCC ? ,
第 7 页 共 12 页

所以 C ?N / / 平面 ADD ? (Ⅲ)因为 AC ? 平面 ABC ? 同理 AC ? ? 平面 ABC ,建立如图如示坐标系 设 AB ? 1 , 则 B (1, 0, 0) , C (0, 3, 0) , C ?(0, 0, 3) , N ( , 9分 则 BC ? ? ( ?1, 0, 3) , CC ? ? (0, ? 3, 3)

…………………………8 分

1 3 , 0) , …………………………… 2 2

???? ?

???? ?

设平面 C ?NC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,有 BC ? ? n ? 0 , C ?C ? n ? 0 , 得 n ? ( 3,1,1) 因为 AC ? ? 平面 ABC ,所以平面 C ?AN ? 平面 ABC 又 BD ? AN ,平面 C ?AN ? 平面 ABC ? AN 所以 BD ? 平面 C ?AN

?

???? ? ?

???? ? ?

?

……………………………11 分

1 3 BD 与 AN 交于点 O,O 则为 AN 的中点,O ( , , 0) 4 4
所以平面 C ?AN 的法向量 OB ? ( , ?

??? ?

3 4

3 , 0) 4

……………………………12 分

? ??? ? n ? OB 5 所以 cos ? ? ? ??? ? ? 5 n ? OB
由图形可知二面角 A ? C ?N ? C 为钝角 所以二面角 A ? C ?N ? C 的余弦值为 ? 分 17. (本小题满分 13 分)

……………………………13 分

5 . 5

……………………………14

交通指数是交通拥堵指数的简称, 是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值, 交通 指数取值范围为 0~10, 分为五个级别, 0~2 畅 通; 2~4 基本畅通; 4~6 轻度拥堵; 6~ 8 中度拥堵;8~10 严重拥堵.

第 8 页 共 12 页

早高峰时段,从北京市交通指挥中心随机 选取了四环以内的 50 个交通路段,依据其交 通指数数据绘制的直方图如右图. 0.24 0.2 0.16

频率 组距

0.1 (Ⅰ)这 50 个路段为中度拥堵的有多少个? (Ⅱ)据此估计,早高峰四环以内的三个路段 至少有一个是严重拥堵的概率是多少? 3 4 5 6 7 8 9 交通指数 (III)某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟, 基本畅通为 30 分钟, 轻度拥堵为 36 分钟; 中度拥堵为 42 分钟; 严重拥堵为 60 分钟, 求此人所用时间的数学期望. 解: (Ⅰ) (0.2 ? 0.16) ? 1? 50 ? 18 这 50 路段为中度拥堵的有 18 个. (Ⅱ)设事件 A “一个路段严重拥堵” ,则 P ( A) ? 0.1 事件 B “至少一个路段严重拥堵” ,则 P ( B ) ? (1 ? P ( A))3 ? 0.729 ……………………………3 分

P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? 0.271
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是 0.271 ……………………………8 分 (III)分布列如下表:

X P EX ? 39.96

30 0.1

36 0.44

42 0.36

60 0.1

此人经过该路段所用时间的数学期望是 39.96 分钟.……………………………13 分 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? x ? a . ex

(Ⅰ)函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (Ⅱ)当 x ? [0, 2] 时, f ( x ) ? 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 恒成立,求 a 的取值范围 e2
……………………………2 分

? ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ex

f ?(0) ? 1 ? a ,

……………………………3 分

因为函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行
第 9 页 共 12 页

所以 1 ? a ? ?2 , a ? 3 (Ⅱ) f ?( x) ?

……………………………5 分

? ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ?(ax ? 1 ? a )( x ? 1) ? ex ex

令 f ?( x ) ? 0 当 a ? 0 时, x ? 1 ,在 (0,1) 上,有 f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 增;在 (1, 2) 上,有 f ?( x ) ? 0 , 函 数 f ( x ) 减 , f (0) ? 0, f (2) ? 立.………………………6 分 当 a ? 0 时, x1 ? 1, x2 ? 1 ? 7分 结论不成立 若 a ? 0 , f (0) ? a ? 0 , 9分 若 0 ? a ? 1 ,则 1 ? ……………………………

2 e2

函 数 f ( x) 的 最 小 值 为 0 , 结 论 不 成

1 a

……………………………

1 ? 0 ,在 (0,1) 上,有 f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 增; a
在 (1, 2) 上,有 f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 减,

1 1 ? ? f (0) ? 2 a? 2 ? ? ? ? e e 只需 ? ,得到 ? , ? f (2) ? 1 ?a ? ? 1 ? ? e2 5 ? ?
所 以 ……………………………11 分

1 ? a ?1 e2

1 1 ? f (1 ? ) ? 2 ? 1 1 ? a e 若 a ? 1 , 0 ? 1 ? ? 1 ,函数在 x ? 1 ? 有极小值,只需 ? a a ? f (2) ? 1 ? e2 ?
1 ?1? ? a 1 ?1? ? 2a ? 1 ? e 得到 ? ,因为 2a ? 1 ? 1, e a ? 1 ,所以 a ? 1 1 ?a ? ? 5 ?

………………………13

分 综 上 所 述 ,

第 10 页 共 12 页

a?

1 e2

……………………………14 分

19. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到直线 l : x ? 2 的距离是到点 F (1, 0) 的距离的 2 倍. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 FP 与(Ⅰ)中曲线交于点 Q ,与交于点 A ,分别过点 P 和 Q 作的垂线,垂 问: 是否存在点 P 使得 ?APM 的面积是 ?AQN 面积的 9 倍?若存在, 求出点 P 足为 M , N , 的坐标;若不存在,说明理由. (Ⅰ)解:设点 P 的坐标为 ( x, y ) . 由题意知 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ? x 化简得 ……………………………3 分

x2 ? 2 y 2 ? 2 x2 ? 2 y 2 ? 2
……………………………5 分

所以动点 P 的轨迹方程为

(Ⅱ)设直线 FP 的方程为 x ? ty ? 1 ,点 P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 因为 ?AQN ∽ ?APM ,所以有 PM ? 3QN ,由已知得 PF ? 3QF , 所以有 y1 ? ?3 y2 (1) 由? ……………………………7 分
2 2

? x ? ty ? 1 ?x ? 2 y ? 2
2 2 2

,得 (t ? 2) y ? 2ty ? 1 ? 0 , ? ? 0

2t 1 (2) , y1 ? y2 ? ? 2 (3) ……………………………10 分 t ?2 t ?2 1 1 由(1) (2) (3)得 t ? ?1, y1 ? 1, y2 ? ? 或 t ? 1, y1 ? ?1, y2 ? 3 3 y1 ? y2 ? ?
所以 存在点 P 为 (0, ?1) 13 分 20. (本小题满分 13 分) 对于集合 M ,定义函数 f M ( x) ? ? ……………………………

??1, x ? M , 对于两个集合 M , N ,定义集合 ?1, x ? M .

M ? N ? ? x f M ( x) ? f N ( x) ? ?1? .已知 A ? ?1, 2,3, 4, 5, 6? , B ? ?1, 3,9, 27,81? .
(Ⅰ)写出 f A (2) 与 f B (2) 的值,并用列举法写出集合 A ? B
第 11 页 共 12 页

(Ⅱ) 用 Card ( M ) 表示有限集合 M 所含元素的个数, 求 Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的 最小值; (III)有多少个集合对 ( P, Q ) 满足 P, Q ? A ? B ,且 ( P ? A) ? (Q ? B ) ? A ? B . (Ⅰ) 解: f A (2) ? ?1 , f B (2) ? 1 1分 …………………………

A ? B ? ?2, 4,5, 6,9, 27,81?
…2 分

………………………

(Ⅱ) X ? A ? {x x ? X ? A, x ? X ? A} , X ? B ? {x x ? X ? B, x ? X ? B} 要使 Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的值最小, 1, 3 一定属于集合 X ,X 不能含有 A ? B 以 外的元素,所以当集合 X 为 ?2, 4,5, 6,9, 27,81? 的子集与集合 ?1, 3? 的并集时,

Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的值最小,最小值是
7
……………………………8 分

(Ⅲ)因为 f A? B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x)

f ( A? B ) ?C ( x ) ? f A ( x ) ? f B ( x ) ? f C ( x )
所以 ? 运算具有交换律和结合律 所以 ( P ? A) ? (Q ? B ) ? ( P ? Q ) ? ( A ? B ) 而 ( P ? A) ? (Q ? B ) ? A ? B 所以 P ? Q ? ? ,所以 P ? Q ,而 A ? B ? {1, 2,3, 4,5, 6,9, 27,81} 所以满足条件的集合对 ( P, Q ) 有 29 ? 512 个 13 分 注:不同解法请教师参照评标酌情给分. …………………

第 12 页 共 12 页


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