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2.5.1等比数列前n项和(1)_图文

2.5等比数列前n项和公式(1)
临澧四中 陈宏林

复习:
等差数列 等比数列

定义

an?1 ? an ? d an?1 ? an ? d
an ? am ? (n ? m)d

通项公式

an?1 ? an q
an ? am q
n?m

an ?1 ?q an

性质

am ? an ? ar ? as
Sn

m?n ? r ? s

(m, n, r, s ? N * )

n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

am an ? ar as

引入新课


1 2 22 23 24

263

这一格放 的麦粒可 一对成一 座山!!!

263

引入新课
分析:由于每格的麦粒数都是前一格的2倍, 共有64格每格所放的麦粒数依次为:

1, 2, 2 , 2 ,?, 2 .
它是以1为首项公比是2的等比数列, 麦粒的总数为:

2

3

63

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 .
2 3 63

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 的方法,就 . (1) 2 3 63 是错位相 2S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ). 减法! 2 3 63 64 (2) 即2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 .
2 3

这种求和 63

2S ? 64 ? S64 ? (2 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 那么这些麦粒的总质量就是
2 3 4

2 3 4 63 如果1000粒麦粒重为40克,64

)

?(1 ? 27300多亿吨。根据统计资料显) ? 2 ? 2 ? 2 ? …? 2
63

?S64 ? 2

64

?1 ?

? 1.84 ?10

示,全世界小麦的年产量约为 6亿吨,就是说全世界都要 18446744073709551615 1000多年才能生产这么多小麦, 19 国王无论如何是不能实现发明 者的要求的。

2 30

-1 =

10 73 74 18 23

请同学们考虑如何求出这个和?

等差数列求和方法回顾:(倒序相加)

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

+ Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1
2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ?? (an ? a1 )
n个相 同的数

n(a1 ? an ) Sn ? 2

如何求等比数列的Sn:
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

错位相减法
n ?2 n?1

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q
2
2 3

? a1q


n

qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q

n?1

? a1q ②
n

①—② ,得

(1 ? q)Sn ? a1 ? 0 ??? 0 ? a1q
(1 ? q)Sn ? a1 ? a1q
n

注意:

? na1 (q ? 1) ? n S n ? ? a1 ? a1q (q ? 1) ? 1? q ? n a1 ? an q a1 ? a1q ? q ? 1时 : S n ? 1? q 1? q

1.使用公式求和时,需注意对 q 的情况加以讨论;

? 1和 q ? 1

2.推导公式的方法:错位相减法。

等比数列前n项和公式的推导欣赏 (一) 用等比性质推导 因为 所以

当 q = 1 时 Sn = n a1

(二)借助和式的代数特征进行恒等变形

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1 ) ? a1 ? q(S n ? an )
a1 ? a n q 当q≠1时, S n ? 1 ? q

当q=1时, S n ? na1

公式应用:

1 1 1 例1:求等比数列 , , , ? 的前8项的和。 2 4 8

例2 已知等比数列 ?an ? , a1 ? 27, a9 ? 求前8项的和.

1 243

.

1. 根据下列条件,求相应的等比数列?an ?的 S n

1 (1) a1 ? 8, q ? , n ? 5; 2 1 ( 2)a1 ? 2.7, q ? ? , n ? 6. 3 a3 ? ?1? a1 ? 2 , S3 ? 14.则q ?

? 2? a1 ? ?1, a4 ? 216 则 q ?

, S4 ?

已知{an }中,an?1 ? 2an , a2 ? 3, 求S6 .

2.求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和.

3 3 3 , ,? 3.求等比数列 , 从第3项到第7项的和. 2 4 8

例3.某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今 起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保 留到个位)? 分析:第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台 第3年产量为 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第n年产量为 5000?1.1 则n年内的总产量为:
2

……

? 5000 ?1.1 台
2

n?1


n ?1

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.1 ? ? ? 5 ?1.1

例4.等比数列 ?an ? 的前n项和为 Sn,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列, (1)求?an ? 的公比 q (2)若 a1 ? a3 ? 3 ,求 Sn

例5.求和

(1)a ? a ? a ? ??? ? a ?a 1 1 1 2 n (2).( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ??? ? ( x ? n ) y y y ( x ? 0, x ? 1, y ? 1)
2 3

n ?1

n

分析:

反思推导求和公式的方法——错位相减法, 可以求形如?xn ? yn ?的数列的和,其中 等差数列,yn ?为等比数列. ?

?xn ?为

思考:
1 2 3 4 n S ??? n 求和: n ? ? ? ? 2 4 8 16 2
n 1 an ? n ? n ? n 设 (提示: 2 2

,其中?n?为等差数列, ,利用错位相减法求和.)

1 ?1? ? n ? 为等比数列,公比为 2 ?2 ?

练习: 1.求和: n ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ??? nxn ( x ? 0) S
2 an 2 , n ? 1,2,? 2.已知数列?an ? 的首项 a1 ? , an ?1 ? 3 an ? 1

?1 ? (1)证明:数列 ? ?1?是等比数列 ? an ? ?n? (2)求数列 ? ? 的前n项和Sn ? an ?

1.已知数列前n项和sn=2n-1,则此数列的奇数项的前n 项的和是 . 2.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列, a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3 分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10。
3.设{an}为等比数列,Tn=na1+(n一1)a2+…+2an-1+an, 已知T1=1,T2=4. (1)求数列{an}的首项和公比; (2)求数列{Tn}的通项公式.