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1.4.1 正弦函数、余弦函数的定义


1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像

一、正余弦函数的定义:
唯一确定

实 数

一 一对应


一 对 多

正 弦 值

定义:任意给定的一个实数x,有唯一确定的值 sinx与之对应。由这个法则所确定的函数 y=sinx叫做正弦函数,y=cosx叫做余弦函数, 二者定义域为 R。

二、正余弦函数的图像

观察:
? 遇到一个新的函数,画出它的图象,通过观察 图象获得对它性质的直观认识, 是研究函数 的基本方法. ? 为了获得正弦函数和余弦函数的图象, 我们 通过简谐运动实验, 对正弦曲线余弦曲 线有了初步印象.

正弦、余弦函数的图象

简谐运动实验和图象

思考:

想一想?

? 通过上述实验我们对正弦函数和余弦函 数图象有了直观印象.但如何画出精确图 象呢? ? 我们可以用单位圆中的三角函数线来刻 画三角函数,是否可以用它来帮助我们作 出三角函数的图象呢?

想一想?

请同学生们回忆一 下什么是正弦线? 什么是余弦线?

y P ?
-1 T

O

M

A(1,0)

x

注意:三角 函数线是有 向线段!

sin? cos?

正弦线MP

余弦线OM

学习探究: 函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ?图象的几何作法 图中各条正弦线分别是哪些角的正弦线?
y

1P 1
?

/ p1

6

o1

M -1 1

A

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

-

-

y=sinx x?[0,2?] 的图象得到 如何由 学习探究: 由部分到整 y=sinx x?R 的图象 体
y

1
? ? 2

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

y
1

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

y=sinx x?[0,2?]

sin(x+2k?)=sinx, k?Z
利用图象平移

y=sinx x?R

正弦曲线

合作探究

你能根据诱导公式,以y=sinx的图象为基础,通过 适当的图形变换得到y=cosx的图象吗? 由未知向已知转 y 化
1

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

?

形状完全一样 只是位置不同

正弦曲 线

余弦函数的图象

y
1

余弦曲 线
?

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

2?

3?

4?

5?

6?

x

y

五点作图法
1-

图象的最高点 ( 2
?
6

?

,1)

o
-1 -

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

2?

(0,0) (? ,0) (2? ,0)
? 图象的最低点 ( 3 2,

x

与x轴的交点

简图作法 (五点作图法) (1) y 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) 图象的最高点 (0,1) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
1-

-

-

? 1)

与x轴的交点 (2? ,1)
3? ( (? , 0 ) 2 ,0) 2
x

o
-1 -

?
3
?
2

?
6

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

2?

图象的最低点 (? ,?1)

典型例题
例1.画出下列函数的简图
(1)y=sinx+1, x∈[0,2π]
(2)y=-cosx , x∈[0,2π] (2) 解:( 1)列表
x
sin cosx x sin x ?x 1 ? cos
0
? ? 2 2

五点法作图

(1)列表
(2)描点 (3)连线 描点作图
? 0 -1 11
3 ? 3 ? 2 2

2 2? ?

y y
1 1-?1 ? 1

10 1 -1

01 02

0 ?1 00

1 0 1 -1

2-

y ? 1 ? sin x, x ?[0,2? ] y ? cos x, x ?[0,2? ]
? 2

oo

思考:能否从图象变换的角度出 发得到(1)(2)的图象?

? 2

??

3? 3? 2

2

2? 2?

xx

y ? sin x, x ?[0,2? ]

y ? ? cos x, x ?[0,2? ]

1.用五点法画出y=sinx+2,x∈[0, ]的简图

.

. 2
1 o -1

y

y=sinx+2, x∈[0, ]

.

.
2?

.
π 2

?

3π 2

x

y ? sinx, x ?[0,2π]

2.用五点法画出y=sinx-1,x∈[0, ]的简图 2 y 1 o -1.
y ? sinx, x ?[0,2π]

. π
2

?

.

3π 2

.

2?

x

y=sinx-1, x∈[0, ]

.

3.用五点法画出y=2sinx,x∈[0, ]的简图

解:(1)列表
(2)描点作图 Y 2 1 0

x y=2sinx

0

0

? 2 ? 2 0

3? 2

2?

-2

0

y=2sinx y=sinx

?

2?

X

4.函数y=1-cosx, x∈[0,2π] 的大致图象为(
y 2
1
?

D



y 2
1
? 2

? 2

o 1 y 2 1

?

A
?

3? 2

2?

x ??

o 1 y 2 1

2

? 2

?

B
o
? 2

3? 2

2?

x

?

? 2

o 1

? 2

3? 2

2?

x ??

2

?

C

1

D

3? 2

2?

x

例2.解不等式:
y

-1

O

x
A(1,0)

y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

?
2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

几何作图法(三角函数线)

1. 正弦曲线、余弦曲线作法 描点法(五点法)
y 1
? ? 2

图象变换法
y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

2.正弦曲线和余弦曲线之间的区别与联系; 3.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系; 4.巩固图象变换的规律:对自变量x“左加右减”, 对函数值f(x) “上加下减”.


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