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2014届高三不等式复习专题(2013-6-19)

2014 届不等式复习专题 2013/6/19
【基础知识】 不等式的基本性质: (1)实数的有序性是___________________________________________. (证明不等式、比较数式大小的通性通法,还有那些方法?) (2)不等式的性质: ①__________________________________________________________(对称性) ②__________________________________________________________(传递性) ③__________________________________________________________(可加性) ④__________________________________________________________推轮 ⑤__________________________________________________________(可乘性) ⑥__________________________________________________________推论 ⑦__________________________________________________________(乘方性) ⑧__________________________________________________________(开方) ⑨__________________________________________________________(绝对值不等式) ⑩__________________________________________________________推论 (3)基本不等式__________________________________________(三元推广) 用于求解函数最值,可延伸到三角、数列、解析几何综合题中的代数手段求最值。 (4)向量不等式:______________________________________________. (5)柯西不等式(二维代数、向量、等号取得的条件) : 定理 1:___________________________________________二维形式的柯西不等式 定理 2:___________________________________________柯西不等式的向量形式 定理 3:___________________________________________二维形式的三角不等式。 定理 4:_____________________________________________一般形式。 【基本问题】 考点一:利用不等式性质、比较大小

例 1.对于实数 a, b, c 中,给出下列命题: ① 若a ? b, 则ac2 ? bc2 ; ③ 若a ? b ? 0, 则a 2 ? ab ? b 2 ; ⑤ 若a ? b ? 0, 则 ② 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ; 1 1 ④ 若a ? b ? 0, 则 ? ; a b

b a ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ; a b a b 1 1 ? ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ; ⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。 c?a c?b a b 其中正确的命题是______ (答:②③⑥⑦⑧) ; 不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式) ; 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性;

7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法
【深度解析】 例 2.已知 e ? e
x ?x

。 ? ax, x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围( a ? 2 )

例 3. (21)2013(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ln(x ? m)
x

(Ι)设 x ? 0 是 f (x ) 的极值点,求 m ,并讨论 f (x ) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 中间步骤 例 4.21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) 满足 f ( x) ? f ?(1)e
x ?1

? f (0) x ?

1 2 x 。 2

(1)求 f (x) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2

中间步骤 考点二:利用性质基本不等式求最值范围(函数/线性规划、数形结合、不等式)

例 1(1)已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______ (答: 1 ? 3x ? y ? 7 ) ; c (2)已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则 的取值范围是______ a 1? ? (答: ? ?2, ? ? ) 2? ? 例 2(1)下列命题中正确的是 1 x2 ? 3 A、 y ? x ? 的最小值是 2 B、 y ? 的最小值是 2 x x2 ? 2 4 C、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 x (答:C) ; x y (2)若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______ (答: 2 2 ) ; (3)正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为______(答: 3 ? 2 2 ) ; x y
33 2 ) 2

y (4)已知 logx ? ?2, 则 x ? y 的最小值是______(

(5)已知 x 2 ? 2 y 2 ? 1则 x 2 y 4 ? 1 的最大值是______( ? (6)求函数 y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2x 的最大值。 (7)已知 x ? 2 y ? 1 ,求 x 2 ? y 2 的最小值。 (8)求函数 y ? 3sin x ? 4 1 ? cos2x 的最大值。 (9)已知 x ? 2 y ? 3z ? 1,求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值; 4.常用不等式有:

26 ) 27

2 2 (1) a ? b ? a ? b ? ab ? 2 (根据目标不等式左右的运算结构选用) ; 2 2 1?1 a b a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号) (2)a、b、c ? R, ; b b?m (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? (糖水的浓度问题) 。 a a?m

? lg x , 0<x ? 10, ? (11)已知函数 f ? x ? ? ? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? , ? x ? 6, x>10 ? ? 2
则 abc 的取值范围是 (A) ?1,10? (B) ? 5, 6 ? (C) ?10,12? (D) ? 20, 24?

如如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________ (答: ?9, ?? ? ) 例3 (1) △ABC 在内角 A、 C 的对边分别为 a , c, B、 b, 已知 a ? b ? 2c 则 B 最大值为_____; (答:
(2)已知椭圆 E:

? ) 3

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,且过点 Q(1, ) , 2 a b 2 2

(1)求椭圆的方程; (

x2 ? y2 ? 1) 2

(2)直线过点 M(2,0)交椭圆于 A,B 两点,点 P 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,且 (答 OA ? OB ? t OP ,求 t 的最大值。 2- 6 ) 考点三: 证明不等式 比较法、 分析法、 综合法和放缩法(比较法的步骤是: 作差 (商)

后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小,然后作出 结论。). 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2? ? ? 常用的放缩技巧有: ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n

1 1 1 ? ? ? k ? k ?1 k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k 例: (1)已知 a ? b ? c ,求证: a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc2 ? ca 2 ; (2) 已知 a, b, c ? R ,求证: a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc(a ? b ? c) ; 1 1 x y ? (3)已知 a, b, x, y ? R? ,且 ? , x ? y ,求证: ; a b x?a y ?b (4)若 a、b、c 是不全相等的正数,求证: a?b b?c c?a lg ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c ; 2 2 2 (5)已知 a, b, c ? R ,求证: a2b2 ? b2c2 ?c2a2 ? abc(a ? b ? c) ; k ?1 ? k ?
(6)若 n ? N * ,求证: (n ? 1) 2 ? 1 ? (n ? 1) ? n2 ?1 ? n ; |a|?|b| |a|?|b| ? (7)已知 | a |?| b | ,求证: ; | a ?b| | a?b| 1 1 1 (8)求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 。 2 3 n (9) 已知 ? ? 0, x ? a ? ? , y ? b ? ? ,求证: 2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? 5? ;
(10)设 a, b ? R* , a ? b ? 1 ,求证:

1 1 ? ? 4. a b
2 2 2 2

1. 4 2 2 2 9 ? ? ? (12) a, b, c, d 互不相等的正数,求证: a?b c?b a?c a?b?c
(11)设 a, b, c, d ? R* , a ? b ? c ? d ? 1,求证: a ? b ? c ? d ? 【深度解析】 例 3. (21)2013(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ln(x ? m)
x

(Ι)设 x ? 0 是 f (x ) 的极值点,求 m ,并讨论 f (x ) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 2013(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) a ? b ? c ?
2 2 2

1 1 ;(高考) ab ? bc ? ca ? 3 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ?1 b c a

题型四:绝对值不等式的解法及其恒成立问题

例 (1) 1 若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立, 则实数 a 的取值范围为______。

4 (答: { } ) 3 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围_____ (2)不等式 (答: a ? 1 ) ; (3)已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取 值范围____。 (答: a ? 1 ) 2 例 2 设 f ( x) ? x ? x ? 13 ,实数 a 满足 | x ? a |? 1 ,求证: | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1)
08(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 8 | ? | x ? 4 | . (Ⅰ)作出函数 y ? f (x) 的图像; (Ⅱ)解不等式|x-8|-|x-4|>2. 09(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如力,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点。设 x 表示 C 与原点的距离, y 表示 C 到 A 距离的 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和。 (I)将 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?

10(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 设函数 f (x ) = 2x ? 4 ? 1 (Ⅰ)画出函数 f (x ) 的图像; (Ⅱ)若不等式 f (x ) ≤ax 的解集非空,求 a 的取值范围. 1124. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (I)当 a=1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集. (II)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为{x| x ? ?1} ,求 a 的值. 1224. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (Ⅰ)当 a=-3 时,求不等式 f (x )

? 3 的解集;

(2)若 f (x ) ≤ x ? 4 的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。


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