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四直角三角形的射影定理_图文

第一讲

相似三角形的判定及有关性质



直角三角形的射影定理

第一讲

相似三角形的判定及有关性质

1.射影的有关概念 (1)从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线 正射影 . 上的_______ (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段,叫做这 正射影 . 条线段在直线上的 _______ 射影 . (3)点和线段的正射影简称为 _____ 2.直角三角形的射影定理 两直角边 在斜边上射 (1)文字语言: 直角三角形斜边上的高是_________ 斜边 上射影与 _____ 斜边 影的比例中项;两直角边分别是它们在 _____ 的比例中项. (2)图形语言:如图,

射影定理与勾股定理

在 Rt△ABC 中, CD⊥AB 于点 D,那么 AD· BD ; CD2=_______ AD· AB ; BC2=_______. BD· AB AC2=_______

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第一讲

相似三角形的判定及有关性质

利用射影定理解决求值问题
例1

如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD 是 AB 边上的 高,已知 BD=4,AB=29,试求 BC,AC 和 CD 的长度.

【解】 ∵BD=4,AB=29, ∴AD=25. 由射影定理得 CD2=AD· BD=25×4=100, ∴CD=10. BC2=BD· BA=4×29,∴BC=2 29. AC2=AD· AB=25×29,∴AC=5 29. 条件标图
【名师点评】 运用射影定理时,要注意其成立的条件,要 结合图形去记忆定理,本题关键是线段之间的相互代换.
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变式训练

第一讲

相似三角形的判定及有关性质

1.△ABC 中,∠A=90° ,AD⊥BC 于点 D,AD=6,BD=12, 则 CD=________,AC=________,AB2∶AC2=________.

解析:如图,AB2=AD2+BD2,AB=6 5,由射影定理可得, 2 AB AB2=BD· BC,BC= BD =15. ∴CD=BC-BD=15-12=3.由射影定理可得, AC2=CD· BC,AC= 3×15=3 5. AB2 BD· BC BD 12 = = = =4. 条件标图 AC2 CD· BC CD 3

答案:3 3

5 4∶1
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第一讲

相似三角形的判定及有关性质

利用射影定理解决证明问题
如图所示,CD 垂直平分 AB,点 E 在 CD 上,DF⊥AC, DG⊥BE,F、G 分别为垂足. 求证:AF· AC=BG· BE. 【证明】 因为 CD 垂直平分 AB, 所以△ACD 和△BDE 均为直角三角形, 并且 AD=BD. 又因为 DF⊥AC,DG⊥BE, 所以 AF· AC=AD2, BG· BE=DB2. 因为 AD2=DB2, 条件标图 所以 AF· AC=BG· BE. 【名师点评】 将原图分成两部分来看,分别在两个三角形 中运用射影定理,实现了沟通两个比例式的目的,在求解此

例2

类问题时,一定要注意对图形进行剖析.

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第一讲

相似三角形的判定及有关性质

变式训练 2.如图所示,Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,DE ⊥AC 于 E,DF⊥BC 于 F,求证:AE· BF· AB=CD3.

证明:因为在 Rt△ ABC 中,∠ ACB= 90° , CD⊥ AB, 所以 CD2= AD· BD,所以 CD4= AD2· BD2. 又因为在 Rt△ ADC 中, DE⊥ AC, 在 Rt△ BDC 中, DF⊥ BC, 所以 AD2= AE· AC, BD2= BF· BC. 所以 CD4= AE· BF· AC· BC. 又因为 AC· BC= AB· CD, 所以 CD4= AE· BF· AB· CD . 所以 AE· BF· AB= CD3.

条件标图
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第一讲

相似三角形的判定及有关性质

方法感悟
1.点的射影由点到直线的垂线段的垂足确定;线段的射影由 线段的两个端点的射影确定;“线段的射影”简记为:平行 长不变,倾斜长缩短,垂直成一点. 2.运用射影定理时,要注意其成立的条件,要结合图形去记 忆定理.当所给条件中具备定理的条件时,可直接运用定理, 有时也可通过作垂线使之满足定理的条件,再运用定理.

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