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椭圆及其标准方程1_图文

椭圆的定义
?

?

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常 数(大于F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两个焦 点间的距离叫做椭圆的焦距。

你能根据椭圆的定义画一个椭圆吗?

设椭圆的两个焦点为F1,F2,它们之间的距离为2c,

椭圆上任意一点与F1、F2的距离之和等于2a(2a>2c)
以F1、F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴

建立直角坐标系xoy,
则焦点坐标为F1(-C,0)、F2(C,0) 设P(x, y)为椭圆上任意一点, 由椭圆定义得: PF1 ? PF2 ? 2a
你会化简吗? 动手试试

? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

y

思考:如果焦点在y轴上呢?
焦点则变成 F1 (0,?c), F2 (0, c)
F2

P

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
王新敞
奎屯 新疆

2

2

o
F1

x

标准方程的特点:焦点在坐标轴上,两焦点的中点为坐 标原点; y2 x2 x2 y2 ? 2 ?1 椭圆的标准方程 2 ? 2 ? 1 2 a b a b

(a ? b ? 0)

牛刀小试:
x 2 y2 (6,0) + = 1 表示到焦点F1(-6,0) 和F2 ________ ①方程 45 9

6 5 的椭圆; 的距离和为常数_____
②求满足下列条件的椭圆的标准方程

(1)a ? 5, F1 (?3,0), F2 (3,0)
(2)a ? 5, c ? 3

x 2 y2 ? ?1 25 16 y2 x 2 ? ?1 25 16

x 2 y2 ? ?1 25 16

例3.如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式
x ? ? y ? 3? ? x ? ? y ? 3? ? 10,
2 2 2 2

点M的轨迹是什么曲线? 由题意得:点M(x,y)到点F1(0,-3)与点 解: F2(0,3)的距离之和为常数10 由椭圆的定义得: 点M的轨迹是以F1(0,-3)和F2(0,3)

y2 x 2 其标准方程是 + = 1 25 16

为焦点,2a为10的椭圆

焦点在x轴上

焦点在y轴上
y
F2

不 同 点
F1

y B

P
P

a c

b
o

F2

x

b

B

a
F1

o

c

x

F1 (?c,0), F2 (c,0)

F1 (0, ?c), F2 (0, c)

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

相 同 点

定义 参数

PF1 ? PF2 ? 2a

a 2 ? b2 ? c 2 .

a ?b?0

a?c?0

练习与作业
? ?

P26练习: 1、2、3 P26习题:1、2、*3


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