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高三理科数学第8次周测【含答案】


林伟华中学高三第一学期第八次周测数学测试题
(满分 100 分,时间 40 分钟) 2012.11.24 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1. 设集合 M={-1,0,1},N={x|x2 ≤x},则 M∩N= (A).{0} (B).{0,1} (C).{-1,1} (D).{-1,0,0} 【答案】B 【解析】 2. 复数

N ? ?0,1? M={-1,0,1} ? M∩N={0,1}.

2-i = 2+i 3 4 (A). - i 5 5
【答案】A

(B).
2

3 4 + i 5 5

(C).1-

4 i 5

( D). 1+ i

3 5

? 2-i ? = 3-4i = 3 - 4 i 2-i = 【解析】 ,故选 A. 2+i ? 2+i ?? 2-i ? 5 5 5
3.. 设 a>0 且 a≠1 ,则“函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数 ”是“函数 g(x)=(2-a) x 在 R 上是 增函数”的 (A). 充分不必要条件 (B). 必要不充分条件 (C). 充分必要条件 (D). 既不充分也不必要条件 【答案】A
3

姓名

座号

【解析】p: “函数 f(x)= a 在 R 上是减函数 ”等价于 0 ? a ? 1 ;q: “函数 g(x)=(2-a) x 在 R 上是增函数”等价于 2 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 2, 且 a≠1,故 p 是 q 成立的充分不必要条件.
x
3

答案选 A。 4. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则( ) (A). l 与 C 相交 (B). l 与 C 相切 C (C). l 与 相离 (D).以上三个选项均有可能 【答案】A 【解析】点 P(3, 0) 在圆内,则 l 必与 C 相交,故选 A 5. 函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是( )

班级

【答案】C 【解析】采用排除法. 函数 y ? a ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0) ,选项只有 C 符合,故选 C. 6. 在△ABC 中,内角 A , B ,C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 8b =5c ,C =2 B ,则 cos C=
x

(A)

7 25

(B) ?

7 25

(C) ?

7 25

(D)

24 25

【答案】A =5sin 2 B ,所 【解析】∵ 8b =5c ,由正弦定理得 8sin B =5sin C ,又∵ C =2 B ,∴ 8sin B

4 7 , cos C = cos 2B=2cos2 B ? 1 = . 25 5 7. 已知 ?an ? 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( ) ( A) 7 ( B) 5 (C ) ?? ( D ) ??
以 8sin B =10sin B cos B , 易知 sin B ? 0 , ∴c o s = B 【答案】D 【解析】 a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4 ∴ a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 ∴ a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 8. 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( )

( A)

2

( B) 2 2

(C ) ?

(D) ?

【答案】C 【解析】设 C : x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 交 y 2 ? 16x 的准线 l : x ? ?4 于

A(?4, 2 3) B(?4, ?2 3) , 得: a2 ? (?4)2 ? (2 3)2 ? 4 ? a ? 2 ? 2a ? 4
二 、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分 ,共 30 分,把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上.) 9. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高 中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取________名学生. 【答案】 15. 【解析】分层抽 样又称分类抽样或类型抽样。 将总体划分为若干个同质层,再 在各层 内随机抽样或 机械抽样,分层抽样的特点 是将科学分组法与抽样法结合在 一起,分组 减小了各抽样 层变异性的影响,抽样保证了所 抽取的样本具有足够的代表性 。因此, 由 50 ?

3 =15 知 应从高二年级抽取 15 名学生。 3?3? 4

10. 计算定积分 【答案】

?

1

?1

( x2 ? sin x)dx ? ___________.

2 . 3

【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用.

? x3 ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 1 1 2 2 ( x ? sin x ) dx ? ? cos x ? ? |?1 ? ? ? cos1 ? ? ? ? cos1 ? ? ? ? . ??1 ?3 ? ? 3 ? 3 3 3 ? 3 ?
1

11. 设数列{an },{bn }都是等差数列,若 a1 +b1=7,a3 +b3 =21,则 a5 +b5 =___________. 【答案】 35 【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 (解法一)因为数列 {an },{bn } 都是等差数列,所以数列 ?an ? bn ? 也是等差数列. 故由等差中项的性质,得 ? a5 ? b5 ? ? ? a1 ? b1 ? ? 2 ? a3 ? b3 ? ,即 ? a5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 21 ,解得

a5 ? b5 ? 35 .
(解法二)设数列 {an },{bn } 的公差分别为 d1 , d 2 , 因为 a3 ? b3 ? (a1 ? 2d1 ) ? (b1 ? 2d2 ) ? (a1 ? b1 ) ? 2(d1 ? d2 ) ? 7 ? 2(d1 ? d2 ) ? 21, 所以 d1 ? d2 ? 7 . 所以 a5 ? b5 ? (a3 ? b3 ) ? 2(d1 ? d2 ) ? 35 .

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 , 若双曲线 则 m 的值为 12. 在平面直角坐标系 xOy 中, m m ?4 【答案】 2.

__ .

【解析】由

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

m ? m2 ? 4 = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 。 m 13. 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[?1, 1] 上, ? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? ?1? ?3? f ( x ) ? ? bx ? 2 其中 a , b ? R .若 f ? ? ? f ? ? , , 0 ≤ x ≤ 1, ?2? ?2? ? ? x ?1
∴ e= =

c a

则 a ? 3b 的值为 【答案】 ? 10 .

___ .

【解析】∵ f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,∴ f ? ?1? ? f ?1? ,即 ?a ? 1=

b?2 ①。 2

1 ?3? ? 1? 又∵ f ? ? ? f ? ? ? = ? a ? 1 , 2 2 2 ? ? ? ?
∴ ? a ? 1=

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, 2 ? ? ?2?

联立①②,解得, a =2. b = ? 4 。∴ a ? 3b = ? 10 。 14. (选做题) 2 2 (1) (坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为___________。 【答案】 ? ? 2 cos ? 【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及转化与化归的数学思想. 由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 ?

1 2

b?4 ②。 3

? 0 ,又 ? ? 0 ,所以 ? ? 2 cos ? .
垂直,则球心到截面 ABC 的距离为 【答案】

? x ? ? cos? , 得 x2 ? y 2 ? 2x ? ? 2 ? 2? cos? y ? ? sin ? , ?

(2)已知正三棱锥 P-ABC ,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两相互 .

3 . 3

【解析】如图所示, O 为球心, O' 为截面 ABC 所在圆的圆心, 设 PA=PB =PC =a , PA,PB,PC 两两相互垂直,

AB=BC =CA= 2a ,所以 CO'=
? 3 ? ? 6 ? a 3 a? ? ? ? 3 ? +? ? ? =3 ? ? ? 3 ?
3 PO' = a 3
2 2

6 3 a , PO'= a, 3 3
解 得



a =2







2 3 3 = , OO'= 3 3

三、解答题(二选一,本小题满分 30 分). 15.已知函数 f ( x) ? 2 cos(? x ? (1)求 ? 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?
6

)(? ? 0, x ? R ) 的最小正周期为10? 5? 6 5? 16 ) ? ? , f (5? ? ) ? ;求 cos(? ? ? ) 的值 3 5 6 17

?
2

] , f (5? ?

【解析】 (1) T ?

2?

5? 6 ? 3 3 4 ) ? ? ? cos(? ? ) ? ? ? sin ? ? , cos ? ? 3 5 2 5 5 5 5? 16 8 15 f(5 ?? )? ? c o? s ? , s? i n? 6 17 17 17 4 8 3 15 13 c o s? (? ? ? ) co ?s c? o?s ? s i n ?? s i n? ? ? ? ? 5 17 5 17 85 2 D?A 16. 设 a ? 1 , 集合 A ? {x ? R | x ? 0} , B ? {x ? R | 2x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0}, (1)求集合 D (用区间表示) (2)求函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(1 ? a) x2 ? 6ax 在 D 内的极值点。
(2) f (5? ? 【解析】 (1)对于方程 2 x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 判别式 ? ? 9(1 ? a)2 ? 48a ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 因为 a ? 1 ,所以 a ? 3 ? 0 ① 当1 ? a ? ② 当a ?

?

? 10? ? ? ?

1 5

B。

1 时, ? ? 0 ,此时 B ? R ,所以 D ? A ; 3

1 时, ? ? 0 ,此时 B ? {x | x ? 1} ,所以 D ? (0,1) (1, ??) ; 3 1 ③ 当 a ? 时, ? ? 0 ,设方程 2 x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 的两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,则 3 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , x2 ? x1 ? 4 4 B ? {x | x ? x1或x ? x2} 1 3 (Ⅰ)当 0 ? a ? 时, x1 ? x2 ? (1 ? a ) ? 0 , x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 3 2 此时, D ? ( x, x1 ) ( x2 , ??)

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) ) ( , ??) 4 4 (Ⅱ)当 a ? 0 时, x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 ? (0, 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , ??) 4 (2) f ?( x) ? 6 x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ?1)( x ? a) , a ? 1 所以函数 f ( x ) 在区间 [a,1] 上为减函数,在区间 ( ??, a ] 和 [1, ??) 上为增函数 1 ① 当 ? a ? 1时, A ? B ? R ? 1 ? A ? B ? D, 所以 x ? 1是极值点 . 3 1 ② 当0 ? a ? 时, a ? A ? B ? D, 所以 x ? a是极值点 . 3 得: a ? 0 时,函数无 f ( x ) 极值点, 1 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 极值点为 a , 3 1 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 极值点为 1 。 3
此时, D ? ( x2 , ??) ? (


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