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广州市第二中学2012年高二上中段考理科数学试题

广州市第二中学 2012 学年第一学期期中考试

高二数学(理科)
命题:刘 敏 审校:田立新 2012.11.7 本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.给出命题: “已知 a 、 b 、 c 、 d 是实数,若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d ” ,对其原 命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知椭圆的一个焦点为 F (1,0) ,离心率 e ?

1 ,则椭圆的标准方程为 2
2





A.

x2 ? y2 ? 1 2

B. x ?

y2 ?1 2

x2 y2 ? ?1 C. 4 3
3.点 (2,0,3) 在空间直角坐标系中的位置是在 A.坐标平面 xOy 上 C.坐标平面 yOz 上

x2 y2 ? ?1 D. 3 4
( B.坐标平面 xOz 上 D. y 轴上 )

4.下列双曲线中,离心率为

6 的是 2
B.





A.

x2 y2 ? ?1 2 4 x2 y2 ? ?1 4 6

x2 y2 ? ?1 4 2 x2 y2 ? ?1 4 10
( )

C.

D.

5.若 a ? (2x,1,3) , b ? (1,?2 y,9) ,如果 a 与 b 为共线向量,则 A. x ? 1 , y ? 1 C. x ?

1 3 ,y?? 6 2

1 1 ,y?? 2 2 1 3 D. x ? ? , y ? 6 2
B. x ?

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6.方程 x 2 ? xy ? 0 所表示的曲线是 A.一个点 C.一个点和一条直线 7. ? ? B.一条直线 D.两条直线





? 是 cos? ? cos ? 的
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件





A.充分不必要条件 C.充要条件

8.设抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,过点 M ( 3,0) 的直线与抛物线相交于 A 、 B 两点,与 抛物线的准线相交于点 C , BF ? 2 ,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比为 A. ( )

4 5

B.

2 3

C.

4 7

D.

1 2

二、填空題:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是_______________.
2

10.点 P(3,4,5) 关于坐标平面 xOy 的对称点的坐标为_______________. 11.对称轴是 x 轴,且经过点 (4,?2) 的抛物线的标准方程是_______________. .. 12.空间直角坐标系中,球心为 (a, b, c) ,半径为 r 的球面方程为_______________.

13.椭圆

x2 y2 2 5 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为_______________. 5 m 5
x2 ? y 2 ? 1 的 左 、 右 焦 点 , 点 P( x0 , y0 ) 在 椭 圆 上 . 若 3

14 . 设 F1 、 F2 分 别 为 椭 圆

PF1 ? 5 PF2 ,则点 P 的横坐标是_______________.
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 设向量 a ? (10,?6,8) , b ? (3,5,?4) . (1)求 a 与 b 所成角的余弦值; (2)若 a ? ? b 与 z 轴垂直,求实数 ? 的值.

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16. (本小题满分 12 分) 动圆恒经过点 M (1,0) ,且与直线 x ? ?1 相切,求动圆圆心 P 的轨迹方程.

17. (本小题满分 14 分)
2 2 已知命题 p : ?x ? [1,2], x ? a ? 0 ” “ ,命题 q : ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ” “ ,

若命题“ p 且 q ”是真命题,求实数 a 的取值范围.

P
18. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩 形,PA ? 平面 ABCD ,M 为 PD 中点,E 为 BD 中 点, AB ? 2 , AD ? AP ? 4 . (1)求证:平面 ABM ? 平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成角的正弦值; (3)求点 E 到平面 ABM 的距离.

M

A E B C

D

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19. (本小题满分 14 分)
2 求证关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根的必要条件是 a ? 1 .

20. (本小题满分 14 分) 设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A 、 B ,点 P 在椭圆上且异于 A 、 a2 b2
1 ,求椭圆的离心率; 2

B 两点, O 为坐标原点.
(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

(2)若 AP ? OA ,证明:直线 OP 的斜率 k 满足 k ?

3.

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高二数学(理科) 参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A

二、填空題:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
2 9. ?x0 ? R , x0 ? 2x0 ? 2 ? 0

10. (3,4,?5) 12. ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? ( z ? c) 2 ? r 2 14. 2

11. y 2 ? x 13.1 或 25

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 解: (1) cos ? a, b ??

a ?b ab

?

10 ? 3 ? (?6) ? 5 ? 8 ? (?4) 102 ? (?6) 2 ? 8 2 32 ? 5 2 ? (?4) 2

??

8 25

(2) a ? ? b ? (10 ? 3? ,?6 ? 5? ,8 ? 4? ) , z 轴的一个方向向量为 (0,0,1)

? a ? ? b 与 z 轴垂直,故 (10 ? 3? ,?6 ? 5? ,8 ? 4? ) ? (0,0,1) ? 8 ? 4? ? 0
?? ? 2

16. (本小题满分 12 分) 解:设 P( x, y) 为所求轨迹上任一点,依题意有

PM ? x ? (?1)
即 化简,得

( x ? 1) 2 ? y 2 ? x ? 1

y 2 ? 4 x ,此为动圆圆心 P 的轨迹方程.

注:用抛物线的定义直接写出圆心 P 的轨迹方程亦可,但必须有适当说明.

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17. (本小题满分 14 分)
2 解: 若 p 为真命题,则 a ? x ( x ? [1,2]) ,故 a ? 1

若 q 为真命题,则 ? ? (2a) 2 ? 4(2 ? a) ? 4a 2 ? 4a ? 8 ? 0 ,故 a ? ?2 或者 a ? 1 由题意,命题“ p 且 q ”是真命题,故 p 、 q 均为真命题 从而 a ? ?2 或者 a ? 1 .

P
18. (本小题满分 14 分)

M
(1)证明:由题意知,

PD ? AM

? ? PD ? AB ? ? PD ? 面 ABM AM ? AB ? B ? ?
PD ? 面 PCD ,故平面 ABM ? 平面 PCD (2)易知 PD ? 面 ABM ,设 ? 为直线 PC 与平面 ABM 所成角
则? ?

A E B C

D

?
2

? ?CPD ,故 sin ? ? cos?CPD ?

PD 4 2 2 2 ? ? PC 6 3

注:亦可取 PC 的中点 N ,则 ?PNM 为直线 PC 与平面 ABM 所成角 (3)由 VE ? ABM ? VM ? ABE ,有

1 1 ? S ?ABM ? hE ? ABM ? ? S ?ABE ? hM ? ABE 3 3 1 1 1 1 即 ? ? 2 ? 2 2 ? hE ? ABM ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ,故 hE ?ABM ? 2 3 2 3 2
下面建立空间直角坐标系,用空间向量的方法解决(2)(3)问 、 以 AB 为 x 轴、 AD 为 y 轴、 AP 为 Z 轴建立空间直角坐标系,易知相关点的坐标分别 为 A(0,0,0) , C (2,4,0) , D(0,4,0) , P(0,0,4) , E (1,2,0) ,由(1)知 PD ? (0,4,?4) 为平 面 ABM 的一个法向量 (2)设 ? 为直线 PC 与平面 ABM 所成角, 则 sin ? ? cos ? PC, PD ??

(2,4,?4) ? (0,4,?4) 6?4 3
? 8 4 2

?

2 2 3

(3) hE ? ABM ?

AE ? PD PD

?

(1,2,0) ? (0,4,?4) 4 2

? 2

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19. (本小题满分 14 分) 证明:关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根,故
2 2 (1) a ? 0 时,由韦达定量知,方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有一正根、一负根,满足

(2) a ? 0 时, x ? ?

1 ,满足 2

2 (3) a ? 0 时,由韦达定量知,方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 的两根 x1 、 x2 满足

2 ? ? x1 ? x 2 ? ? a ? ,要使其至少有一个负根,必须同时为两个负根,故 ? ?x x ? 1 ? 1 2 a ?

? ?? ? 4 ? 4a ? 0 ? 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? 1 ? ? x1 x 2 ? a ? 0 ?

? 0 ? a ?1

综合(1)(2)(3) 、 、 ,故关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根的必要条件是
2

a ? 1 ,即原命题成立.

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由题意,有
2 x0 ) 2 2 2 2 y0 y0 y0 a 2 ? ? b ? ? a ? c ? ?1 ? e 2 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2 x0 ? a x0 ? a x0 ? a 2 2 x0 ? a 2 a2 a2

k AP ? k BP
2 2

b 2 (1 ?

故e ?

(2)显然直线 OP 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ,设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 )

? y 0 ? kx0 a 2b 2 ? 2 2 故 ? x2 ,消去 y0 ,得 x0 ? 2 2 y0 0 k a ? b2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 2 由 AP ? OA ,有 ( x0 ? a) 2 ? y0 ? a 2 ,即 ( x0 ? a) 2 ? k 2 x0 ? a 2

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? x0 ? 0 ,故 x0 ? ?
即 (k ? 1) ? 4k ?
2 2 2

2a 2a 2 a 2b 2 ) ? 2 2 ,从而 (? 2 k 2 ?1 k ?1 k a ? b2

a2 ? 4 ,而 a ? b ,故 (k 2 ? 1) 2 ? 4k 2 ? 1 ? 4 2 b

即 k 4 ? 2k 2 ? 3 ? (k 2 ? 1)(k 2 ? 3) ? 0 ,从而 k ?

3.

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