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数学:第二章《推理与证明复习小结》课件(新人教A版选修1-2)_图文

第二章 推理与证 明复习小结

知识结构

合情推理

归纳推理

推理

类比推理



演绎推理





比较法

证 明

直接证明

综合法

证明

分析法

间接证明

反证法

数学归纳法

一.综合法
例.已知a、b、c 为不相等正数 ,且abc = 1,

证求 :a + b + c < 1 + 1 + 1 . abc
证法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ,且abc = 1,

∴ 1 + 1 + 1 = bc + ca + ab a bc

= bc + ca + ca + ab + ab + bc

2

2

2

> abc2 + a2bc + ab2c = a + b + c.



a+

b+

c

<

1 a

+

1 b

+

1 c

成立.

例.已知a、b、c 为不相等正数 ,且abc = 1,

证求

:a +

b+

c < 1+1+1. abc

证法2:∵a、b、c为不相等正数 ,且abc = 1,

∴ a+ b+ c= 1 + 1 + 1 bc ca ab

1+1 1+1 1+1 <b c+c a+a b

= 1+1+1.

2

2

2 abc



a+

b+

c

<

1 a

+

1 b

+

1 c

成立.

二.分析法
例:已知a > 5,求证 :

a -5 - a -3 < a -2 - a.
? 证明:

? 要证

a-5- a-3 < a-2- a

? 只需证 a - 5 ? a < a - 2 + a - 3

? 只需证 a(a - 5)< (a - 2)(a - 3)

? 只需证 a(a -5)<(a -2)(a -3)

? 只需证 0 < 6

? 因为 0 < 6 成立.

? 所以 a -5 - a -3 < a - 2 - a 成立.

问题一:

三:反证法

求证:两条相交直线有且只有一个交点.

注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法
2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.

问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.

问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且 A、B∈ L1,C、D∈ L2,, 求证;AC,SD也是异面直线.

C

D L1

a L2 B A

五.归纳、类比、猜想、证明

例:在各项为正的数列{a n }中,数列的前n项

和sn满足sn

=

1(a 2

n

+

1 an

)

(1)求a1、a2、a3;

(2)由(1)猜想到数列{an}的通项公式,

并用数学归纳法证明你的猜想。

例:有下列各式: 1> 1,
2 1+ 1 + 1 > 1,
23 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 > 3 ,
234567 2 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 >2
2 3 4 5 6 7 15
你能得到怎样的一般不等式,并加以证明。

例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.
证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2?(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.
另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.

又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同.
从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2.
这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.
根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成 立.
说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.

注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.
练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+___n_-_1____.
练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+___2_k______个区域.

作业:
1:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2个区域.


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