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高中数学 第1章三角函数的图象与性质 第1课时正弦、余弦函数的图象与性质课件 苏教版必修4_图文


第1章

三角函数

1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质 第 1 课时 正弦、余弦函数的图象 与性质

[情景导入] 前面我们学习了三角函数的诱导公式, 我们是借助于单位圆推导出来的. 思考: 我们能否借助三角函数的图象来推导或直接得 出三角函数的一些性质呢?

[学习目标] 1.掌握三角函数图象的作法,会用“五 点法”作出正弦函数、余弦函数的图象. 2.掌握正弦函 数、余弦函数的图象和性质.

1.正弦函数、余弦函数的图象.

函数 图象 图象 画法

y=sin x

y=cos x

“五点法”

“五点法”

π π ( ,1) ( ,0) , 2 (0,0),________ ,(0,1),_______ 2
关键 (π,0), 五点 3π ( ,-1) 2 _________ , (2π,0) (π,-1),

3π ( ,0) , _________ 2
(2π,1)

2.作正弦函数的图象可分两步:一是画出 y=sin_x, x∈[0,2π]的图象,二是把这一图象向左右连续平行移动 (每次平移 2π 个单位长度). 3.正弦函数、余弦函数的定义域为实数集 R,值域 为[-1,1],两个函数都是周期函数,且周期是 2π. 4.正弦曲线关于原点对称;正弦函数是奇函数;余 弦曲线关于 y 轴对称,余弦函数是偶函数.

? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 2 2? 5 .正弦函数在每一个闭区间?___________________

上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间
? π 3 ? ?2kπ+ ,2kπ+ π?(k∈Z) 2 2 ? ? _____________________________ 上都是减函数,其值从

1 减小到-1.

6.余弦函数在每一个闭区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上 都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间[2kπ, 2kπ+π](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. π 2kπ+ (k∈Z) 时取得最 7.正弦函数当且仅当 x=______________ 2 π 2kπ- (k∈Z) 时取得最小值-1. 大值 1,当且仅当 x=______________ 2 8. 余弦函数当且仅当 x=2kπ(k∈Z)时取得最大值 1, 当且仅当 x=2kπ+π(k∈Z)时取得最小值-1.

一、五点法画图 函数 y=sin x 在 x∈[0,2π]的图象上,起着关键作用 的点只有以下五个:
?π ? ?3π ? (0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0). ? ? ? ?

事实上, 描出这五个点后, 函数 y=sin x 在 x∈[0, 2π] 的图象的形状就基本上确定了.因此,在精确度要求不 太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲 线将它们连接起来,就可得到正弦函数的简图.今后, 我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.

同样,在函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,起着 关键作用的点是以下五个:
?π ? ?3π ? (0,1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1). ? ? ? ?

与画函数 y=sin x,x∈[0,2π]的简图类似,通过这 五个点,可以画出函数 y=cos x 在 x∈[0,2π]的简图.

二、正弦函数、余弦函数的性质 1.正弦函数、余弦函数的奇偶性: (1)正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,反映在 图象上,正弦曲线关于原点 O 对称,余弦曲线关于 y 轴 对称. (2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对 称图象.

? π ? π 2.正弦函数在?-2+2kπ,2+2kπ?(k∈Z)上都是增 ? ?

函数,其值从-1 增大到 1;在每一个区间
?π ? 3π ? +2kπ, +2kπ?(k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小 2 ?2 ?

到-1;类似地,余弦函数在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上 都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每个区间[2kπ,2kπ +π](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1.

π 3.正弦函数在区间(0, )上是增函数,但不能说正 2 π π 弦函数在第一象限内是增函数.例如 x1= +2π,x2= , 6 3 1 3 都是第一象限角, 而 sin x1= , sin x2= , 从而有 x1>x2, 2 2 sin x1<sin x2,这不符合增函数的定义.所以正弦函数、 余弦函数的单调性,只能针对区间而言,不能针对象限 而言.

4.正弦、余弦函数都不是单调函数,但是它们有无 数个单调区间,利用其单调性,可以比较同一个单调区 间内两个角的同名三角函数值的大小. 5.研究形如 y=Asin(ωx+φ)的性质,常利用“整体 代换”,令 ωx+φ=z,将函数 y=Asin(ωx+φ)转化为 y =Asin z,进一步研究函数的性质.

题型 1 正弦函数、余弦函数的图象 [典例 1] 用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y=-sin x;
? π? (2)y=sin?x-3?. ? ?

解:(1)列表:
π 2 1 3π π 2π 2 0 -1 0 1 0

x sin x

0 0

-sin x 0 -1 0

描点画图,然后由周期性得整个图象,如图所示:

(2)列表:

x π x- 3
? π? y=sin?x-3? ? ?

π 5π 4π 11π 7π 3 6 3 6 3 π 0 2 0 1 π 3π 2π 2

0 -1 0

描点、连线得

? π? y=sin?x-3?在一个周期内的图象,然 ? ?

后由周期性得整个图象,如图所示:

规律方法 画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的 特点,再采用列表、描点的方法进行画图.根据与其有关 的已知曲线的特点列出关键的五个点,再描点连线即 可.用“五点法”作图要注意画出一个周期的图象后,再 利用周期性作平移才能得到整个函数的图象.

[变式训练] 作函数 y= 1-sin2x的简图. 解:因为 y= 1-sin2x=|cos x|,
? ? π π ? 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z?, ?cos x? 2 2 ? ? 所以 y=? ? ? ?-cos x?π+2kπ<x<3π+2kπ,k∈Z?. 2 ? ?2 ?

函数 y 的图象如图所示.

题型 2 三角函数奇偶性的判断 [典例 2] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=
? 5 ? 2sin?2x+2π?; ? ?

(2)f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x). 解:(1)函数定义域为 R, 且 f(x)=
? 5 ? 2sin?2x+2π?= ? ? ? π? 2sin?2x+2?= ? ?

2cos 2x,

显然有 f(-x)=f(x)恒成立. 所以函数 f(x)=
? 5 ? 2sin?2x+2π?为偶函数. ? ?

(2)函数定义域为 R. f(-x)=lg(-sin x+ 1+sin2x)=
2 lg =- lg(sin x + 1 + sin x)=-f(x), 2 sin x+ 1+sin x

1

所以函数 f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x)为奇函数.

规律方法 1.判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关 于原点对称的区间. 如果是, 再验证 f(-x)是否等于-f(x) 或 f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数为 非奇非偶函数.

2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公 式先将函数式化简后再判断.

[变式训练] (1)下列函数中为偶函数的是( A.y=x2sin x C.y=|ln x| B.y=x2cos x D.y=2
-x

)

(2)判断函数 f(x)= 1-sin x+ sin x-1的奇偶性.
(1)解析:因为 y=x2 是偶函数,y=sin x 是奇函数,y =cos x 是偶函数,所以 A 选项为奇函数,B 选项为偶函 数;

C 选项中函数图象是把对数函数 y=ln x 的图象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方,其余部分的图象保持不变,
?1?x 故为非奇非偶函数;D 选项为指数函数 y=?2? ,是非奇非 ? ?

偶函数. 答案:B

? ?1-sin x≥0, (2)解:由? 得 sin x=1, ? ?sin x-1≥0,
? ? π 所以函数的定义域为?x?x=2kπ+2 ? ? ? ? ,k∈Z. ?

所以函数 f(x)的定义域关于原点不对称. 所以函数 f(x)为非奇非偶函数.

题型 3 求正弦、余弦型函数的单调区间 [典例 3] 求下列函数的单调增区间: (1)y=cos 2x;
?π ? (2)y=2sin?4-x?. ? ?

解:(1)函数 y=cos 2x 的单调递增区间由下面的不等 式确定: 2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z), π 所以 kπ- ≤x≤kπ(k∈Z), 2
? ? π 所以函数 y=cos 2x 的单调递增区间为?kπ-2,kπ? ? ?

(k∈Z).

?π ? ? π? (2)y=2sin?4-x?=-2sin?x-4?, ? ? ? ?

因为 y=sin x(x∈R)的单调递减区间为 π 3 [2kπ+ ,2kπ+ π](k∈Z). 2 2 π π 3 由 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ π(k∈Z), 2 4 2 3 7 得 2kπ+ π≤x≤2kπ+ π(k∈Z), 4 4

?π ? 所以函数 y=2sin?4-x?的单调递增区间为 ? ? ? 3 7 ? ?2kπ+ π,2kπ+ π?(k∈Z). 4 4 ? ?

规律方法 求形如 y = Asin(ωx + φ) 或 y = Acos(ωx + φ)( 其中 A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方 法去解答.列不等式的原则是:(1)把“ωx+φ(ω>0)”视 为一个“整体”;(2)A>0(A<0)时,所列不等式的方向 与 y=sin x(x∈R), y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等

式方向相同(反).

[变式训练]

?π ? 求函数 y=cos?3-2x?的单调递减区间. ? ?

?π ? ? π? 解:y=cos?3-2x?=cos?2x-3?, ? ? ? ?

π 由 2kπ≤2x- ≤2kπ+π,k∈Z 得: 3 π 2 kπ+ ≤x≤kπ+ π,k∈Z, 6 3

?π ? 所以函数 y=cos?3-2x?的单调递减区间是 ? ? ? π 2π? ?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z). 6 3? ?

题型 4 正弦、余弦函数的最值(或值域) [典例 4] 求下列函数的最大值和最小值,并写出取 得最值时的 x 取值集合.
? π? (1)y=3+2sin?2x+3?; ? ?

(2)y=2cos2x+5sin x-4.

? π? 解:(1)因为-1≤sin?2x+3?≤1, ? ? ? π? 所以当 sin?2x+3?=1 时,ymax=5, ? ?

π π π 此时 2x+ = +2kπ(k∈Z),即 x= +kπ(k∈Z), 3 2 12
? ? π ? ? 故 x 的取值集合为 x x=12+kπ ? ? ? ? ,k∈Z. ?

? π? 当 sin?2x+3?=-1 时,ymin=1, ? ?

π π 5π 此时 2x+ =- +2kπ(k∈Z),即 x=- +kπ, 3 2 12
? ? 5π ? ? 故 x 的取值集合为 x x=-12+kπ ? ? ? ? ,k∈Z. ?

(2)y=2cos2x+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-
? 5?2 9 2?sin x-4? + . ? ? 8

因为 sin x∈[-1,1],所以当 sin x=-1, π 即 x=- +2kπ(k∈Z)时,y 有最小值-9, 2
? ? π 此时 x 的取值集合为?x?x=-2+2kπ ? ? ? ?; ,k∈Z ?

π 当 sin x=1,即 x= +2kπ(k∈Z)时,y 有最大值 1, 2
? ? π 此时 x 的取值集合为?x?x=2+2kπ ? ? ? ? ,k∈Z. ?

规律方法 1. 求有关 y=Asin(ωx+φ)+b, x∈R 的最值或值域这 类题目的关键是充分利用好正弦函数 y=sin x 的有界性, 即|sin x|≤1.

2.对求解形如 y=psin2x+qsin x+r(p≠0)形式的三 角函数的最值问题常利用二次函数的思想, 转化成在给定 区间[m,n]上求二次函数最值的问题,解答时依然采用数 形结合的思想加以分析, 必要时要分区间讨论转化成常见 的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题.

[变式训练] 求函数 y=sin 域.

2

? π π? x+cos x?-4≤x≤4?的值 ? ?

? 2 ? π π ? ? 解:设 t=cos x,因为- ≤x≤ ,则 t∈? ,1?, 4 4 ?2 ?

所以 y=sin2x+cos x=1-cos2x+cos
? 2 ? 5 ? ? ,t∈? ,1?. 4 ?2 ?

? 1?2 x=-?t-2? + ? ?

1+ 2 2 π 故当 t= ,即 x=± 时,y 取最大值 ; 2 4 2 当 t=1,即 x=0 时,y 取最小值 1.
? 1+ ? 所以函数的值域为?1, 2 ?

2? ?

?. ?


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