当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修12_图文

第二章

推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理

[学习目标] 1.了解合情推理的含义,能利用归纳推 理和类比推理等进行简单的推理 ( 重点 ).2. 了解合情推理 在数学发现中的作用(难点).

1.归纳推理和类比推理
类别 归纳推理 由某类事物的部分对象具 有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特 定义 征的推理,或者由个别事实 概括出一般结论的推理,称 为归纳推理(简称归纳) 类比推理 由两类对象具有某些 类似特征和其中一类 对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具 有这些特征的推理,称 为类比推理(简称类比)

归纳推理是由部分到 特征 整体,由个别到一般 的推理

类比推理是由特殊 到特殊的推理

温馨提示 根据部分对象归纳得出的结论不一定正 确,类比得出的结论也不一定正确,其正确与否还要进一 步判断.

2.合情推理 (1)含义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然 后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理. (2)合情推理的过程: 从具体问 观察、分析 → → 归纳、类比 → 提出猜想 题出发 比较、联想

温馨提示 合情推理得出的结论不一定是唯一的, 侧 重点不同,结论也会不同.

1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计 总体,这种估计属于归纳推理. ( ) ) )

(2)类比推理得到的结论可以作为定理使用.( (3)归纳推理是由个别得到一般的推理.(

解析:(1)对,用样本估计总体,是由个别得到一般, 所以,这种估计属于归纳推理.(2)错,类比推理的结论 不一定正确.(3)对,由归纳推理的概念知说法正确. 答案:(1)√ (2)× (3)√

2.数列 5,9,17,33,x,…中的 x 等于( A.47 B.65 C.63

) D.128

解析:5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1, 归纳可得:x=26+1=65. 答案:B

3.已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面 底×高 积公式 S= ,可推知扇形面积等于( 2 r2 A. 2 lr C. 2 l2 B. 2 l+ r D. 2 )

解析:三角形的高对应扇形的半径,三角形的底对应 1 lr 扇形的弧长,所以可猜测为 S= rl= . 2 2 答案:C

4 . 等 差 数 列 {an} 中 有 2an = an - 1 + an + 1(n≥2 且 n∈N*),类比以上结论,在等比数列{bn}中类似的结论是 ________.
* 答案:b2 = b · b ( n ≥ 2 ,且 n ∈ N ) - + n n 1 n 1

5.在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,则猜想 an =________. 解析:因为 a1=0=21-2,an+1=2an+2, 所以 a2=2a1+2=2=22-2, a3=2a2+2=4+2=6=23-2, a4=2a3+2=12+2=14=24-2, … 猜想 an=2n-2. 答案:2n-2

类型 1 数、式中的归纳推理(自主研析) [典例 1] (1)观察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 … 照此规律,第 n 个等式可为________.

(2)已知数列{an}对一切的 n∈N*,an>0,设前 n 项和 为 Sn,且 2 Sn=an+1,则通过前几项猜想出数列的通项 公式为 an=________. [自主解答](1)左边为 n 项的乘积;等号右边为两部 分: 一部分为 2n,另一部分为 n 个连续奇数的乘积.

∴第 n 个等式为 (n + 1)· (n + 2)· (n + 3)· …· (n + n) = 2n·1·3·5·…·(2n-1). (2)因为 2 Sn=an+1,所以 2 S1=a1+1,即 2 a1= a1+1,所以 a1=1. 又 2 S2=a2+1,所以 2 a1+a2=a2+1,所以 a2 2- 2a2-3=0.

因为对一切的 n∈N*,an>0,所以 a2=3. 同理可求得 a3=5,a4=7, 猜测出 an=2n-1(n∈N*). 答案: (1)(n+1)· (n+2)…(n+n)=2n· 1· 3· 5· …· (2n -1) (2)2n-1.

归纳升华 1.归纳推理具有从特殊到一般,由具体到抽象的认 知功能,在数列问题中,常用归纳推理猜测求解数列的通 项公式或前 n 项和公式,其具体步骤是:(1)通过条件求 得数列中的前几项;(2)观察数列的前几项寻求项的规律, 猜测数列的通项公式并加以证明.

2.由已知数、式进行归纳推理的基本方法: (1)分析所给几个等式 (或不等式 )中项数和次数等方 面的变化规律或结构形式的特征. (2)提炼出等式(或不等式)的综合特点. (3)运用归纳推理得出一般结论.

[变式训练] (1)由下列各式: 13=12, 13+23=32, 13+23+33=62, 13+23+33+43=102, … 请你归纳出一般结论. an (2)已知数列{an}的第 1 项 a1=1,且 an+1= (n= 1+an 1,2,3,…),试归纳出这个数列的通项公式.

解:(1)由左、右两边各项幂的底数之间的关系: 1=1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 可得一般结论:13+23+33+…+n3=(1+2+3+… +n)2, 则 1 +2 +3 +…+n
3 3 3 3

?n(n+1)? ? ?2 =? . ? 2 ? ?

(2)当 n=1 时,a1=1; 1 1 当 n=2 时,a2= = ; 1+1 2 1 当 n=3 时,a3= = ; 1 3 1+ 2 1 当 n=4 时,a4= = . 1 4 1+ 3 1 3 1 2

通过观察可得,数列的前 4 项都等于相应序号的倒 1 数,由此归纳出 an=n.

类型 2 几何图形中的归纳推理 [典例 2] 有两种花色的正六边形地面砖,按如图的 规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六 边形的个数是( )

A.26

B.31

C.32

D.36

解析:法一:有菱形纹的正六边形个数如表:

图案 1 2

3 …

个数 6 11 16 …

由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成 一个以 6 为首项, 以 5 为公差的等差数列, 所以第六个图 案中有菱形纹的正六边形的个数是 6+5×(6-1)=31.

法二:由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边 形需 6 个有纹正六边形围绕(图案 1)外,每增加一块无纹 正六边形,只需增加 5 块菱形纹正六边形(每两块相邻的 无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形), 故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为:6+ 5×(6-1)=31.

答案:B

[变式训练] 如图所示,由若干个点组成形如三角 形的图形,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N*)个 点,每个图形总的点数记为an,则a6=________,an= ________(n>1,n∈N*).

解析:依据图形特点,可知第 5 个图形中三角形各 边上各有 6 个点,因此 a6=3×6-3=15.

由 n=2,3,4,5,6 的图形特点归纳得 an=3n-3(n >1,n∈N*). 答案:15 3n-3

类型 3 类比推理及其应用(互动探究) [典例 3] 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°.设 a, b,c 分别表示三条边的长度,由勾股定理,得 c2=a2+ b2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四 面体性质的猜想.

解:类比直角三角形的勾股定理,在四面体 DPEF 中,DP、DE、DF 两两垂直,即∠PDF=∠PDE=∠EDF =90°.

设 S1,S2,S3 和 S 分别表示△PDF,△PDE,△EDF 和△PEF 的面积,

相应于直角三角形的两条直角边 a,b 和 1 条斜边 c, 图中的四面体有 3 个“直角面”S1,S2,S3 和 1 个“斜 面”S.
2 于是,类比勾股定理的结构,我们猜想 S2=S2 + S 1 2+

S2 3成立.

[迁移探究 1] (变换条件)把题设条件“由勾股定理, 得 c2=a2+b2”换成“cos2A+cos2B=1”,则在空间中, 给出四面体性质的猜想. 解:如图,在 Rt△ABC 中,cos A+cos
2 2

?b? ?a? 2 B=?c ? +?c ?2 ? ? ? ?

a2+b2 = 2 =1. c

于是把结论类比到四面体 PA′B′C′中,我们猜想,三 棱锥 PA′B′C′中,若三个侧面 PA′B′,PB′C′,PC′A′两两 互相垂直,且分别与底面所成的角为 α,β,γ,则 cos2

α+cos2β+cos2γ=1.

[迁移探究 2] (变换条件)如图,作 CD⊥AB 于 D, 1 1 1 则有 2= 2+ 2.类比该性质,试给出空间中四面体性质 CD a b 的猜想(不证明).

解:如图在四面体 ABCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两互相垂直, 且 AE⊥底面 BCD.

相应于斜边 AB 上的高 CD,AE 是以△BCD 为底面 1 1 1 1 的棱锥的高.于是猜想 2= 2+ 2+ 2. AE AB AC AD

归纳升华 1.类比推理的思维过程大致是:观察、比较→联想、 类推→猜测新的结论. 2.类比推理的一般步骤.

1.对归纳推理的理解: (1)归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判 断,而结论是关于该类事物或现象的普遍性的判断,从而 归纳推理是一种由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)因此, 归纳推理要在观察和试验的基础上进行. 其 基本过程如下:

试验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论

2.类比推理的三个特点: (1)类比推理结论的猜测性,类比推理是从人们已经 掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征, 所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.
(2)类比在数学发现中具有重要作用. (3)类比推理的关键点.由于类比推理的前提是两类 对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征, 所以进行类 比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特 征.

3.归纳与类比推理的结论不一定可靠,还需要经过 逻辑证明和实践检验.但它们是创造性的推理,通过归 纳类比能够发现新事实,获得新结论,是科学发现的重 要手段.


相关文章:
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1....ppt
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修1_2_教学案例/设计_教学研究_教育专区。2.1.1 合情推理 1.了解合情推理...
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1....ppt
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修12_数学_高中教育_教育专区。2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 ...
2017学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证....ppt
2017学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修12_数学_高中教育_教育专区。2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合...
2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与....ppt
2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修1_2_教学案例/设计_教学研究_教育专区。2.1.1 合情推理 1....
...高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1....ppt
2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课件新人教A版选修2_2_高考_高中教育_教育专区。2.1 合情推理与演绎推理 2.1...
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1....ppt
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课件新人教A版选修22_数学_高中教育_教育专区。第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 ...
...情推理与演绎证明2.1.1合情推理教案新人教A版选修.doc
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理教案新人教A版选修_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与...
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理....doc
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理导学案2(无答案)新人教A版选修1_2_数学_高中教育_教育专区。§2.1.1 合情推理(2) 学习...
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理....doc
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理导学案2新人教A版选修1-2讲解_高考_高中教育_教育专区。§2.1.1 合情推理(2)学习目标 1....
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1....ppt
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课件新人教A选修1_2_数学_高中教育_教育专区。第二章 2.1 2.1.1 推理与证明 合情推理 合...
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理(1)课....ppt
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理(1)课件新人教A版选修1_2_...第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 1 自主预习...
2017学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推....ppt
2017学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课件新人教A版选修22_数学_高中教育_教育专区。2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合...
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1....ppt
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课件新人教A版选修2_2_数学_高中教育_教育专区。2.1.1 合情推理 预习课本 P70~77,思考并...
...与演绎证明2.1.1合情推理优化练习新人教A版选修12.doc
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理优化练习新人教A版选修12_数学_高中教育_教育专区。拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 ...
2018年秋高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推....ppt
2018年秋高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理名师课件新人教A版选修_数学_高中教育_教育专区。小编精心整理的教学资料,供大家学习参考...
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1....ppt
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修12_数学_高中教育_教育专区。第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 ...
高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.2演....ppt
高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.2演绎推理课件新人教A版选修12_数学_高中教育_教育专区。第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2...
...二章推理与证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修1_2_....ppt
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修1_2_数学_高中教育_教育专区。合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 预习课本 P22~29,思考并完成...
...推理与演绎证明2.1.1合情推理教案新人教A版选修1_2.doc
安徽省长丰县高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理教案新人教A版选修1_2_数学_高中教育_教育专区。2.1.1合情推理 项目 课题 教学...
...推理与演绎证明2.1.2演绎推理课件新人教A版选修12_....ppt
2017学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.2演绎推理课件新人教A版选修12_数学_高中教育_教育专区。2.1.2 演绎推理 考纲定位 1.理解演绎...