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选修2-2--2.2.1综合法与分析法_图文

有哪些方法?

a+b ? 不等式: 2

ab

(a>0,b>0)的证明. 考思 交 流



a+b ? 证明: 2
证明:

ab (a>0,b>0).

思考交流

1.条件与结论的位置 a?b 2.推证的方向 证明 : ? ? 2 3.推证的书写格式

ab

P ∵ ( a ? b )2 ? 0

P1 ∴ a + b ? 2 ab ? 0 条件
P2 ∴ a + b ? 2 ab a+b Q ∴ ? ab 成立 2

a ? b ? 2 ab ? 2 2 ( a ? b) ? ?0 2 a?b ? ? ab 2

结论

精讲点拨 一、综合法 (由因导果,顺推法)

1.定义:
从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待 证结论.

2.逻辑关系: (P表示已知条件,Q表示要证明的结论)

P (已知) ?P (结论) 1 ?P 2 ? ???P n ?Q
寻找必要条件.

3.思维特点:
从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,即“由 因导果”.

1 2 3 ? ? ?2 例1.求证: log5 19 log3 19 log 2 19
【解题准备】:
1 1. log a b ? 2. loga bn ? n loga b 3.loga M ? loga N ? loga MN logb a

1 证明:因为 log a b ? logb a

所以 左式=log195+2log193+3log192

=log19(5×32×23)=log19360. 因为log19360<log19361=2,
1 2 3 所以 log5 19 ? log3 19 ? log 2 19 ? 2

跟进练习

在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、 c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证: △ABC为等边三角形.
【解题准备】: 1.将A,B,C成等差数列,转化为符号语言就是2B=A+C; 2. a,b,c成等比数列转化为符号语言就是b2=ac; 3.隐含条件A,B,C为△ABC的内角,A+B+C=180°.

边和角统一起来, 用余弦定理进行证明.

证明:由A,B,C成等差数列,有
综 合

2B=A+C. ① ∵A,B,C为△ABC的内角, ∴A+B+C=180°.②

由a,b,c成等比数列,有 b = ac. 法 由余弦定理 b2 = a2 + c2 - 2accosB = a2 + c2 由 2 2 ac = a + c - ac 因 2 导 即 (a - c) = 0. ∴ a=c. 果 ?

π 由① ②,得 B = . 3

2

- ac.

3 所以△ABC为等边三角形.

? A? B?C ?

不等式

a+b : 2 ?

ab

(a>0,b>0)的证明.

结论

证法1:综合法
2 ( a ? b ) ?0 ∵

a+b ? ab 证法2:要证 2 思考交流 只要证 a + b ? 2 ab

2 ab ? 0 1.? 条件与结论的位置 ∴a+b
2.推证的方向 2 ab ∴a+b 3.? 推证的书写格式

只需证 a + b ? 2 ab ? 0 即证
( a ? b )2 ? 0

a+b ? ab 成立 ∴ 2

( a ? b )2 ? 0 显然成立

a+b ? 所以 2 条件

ab成立

精讲点拨 一、分析法(执果索因,逆推法)

1.定义:
从待证结论出发,逐步寻求结论成立的充分条件,最 后达到题设的已知条件或已被证明的事实.

2.逻辑关系: (P表示已知条件,Q表示要证明的结论)
Q (结论) ? Pn ??? ? P2 ? P 1 ? P(已知或明显成立的条件 )

寻找充分条件.

3.思维特点:
只需证:...... 4.分析法的书写格式: 只要证:...... 即证......显然成立 所以,结论成立

从“未知”看“需知”,逐步靠拢已知,即“执果索 要证:...... 因”.

分析法的适用范围
①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接; ②证明中需要用哪些知识不太具体明确; ③特别是含有根号、绝对值的等式或不等式的证 明,常考虑用分析法.

例2. 求证:

3 + 7 < 2 5.

跟进练习 求证: 8 ? 5 ? 10 ? 7.

求证 : 3 ? 7 ? 2 5
证明: 因为 3 ? 7和2 5都是正数

分 析 法

所以要证 3 ? 7 ? 2 5 只需证( 3 ? 7 )2 ? (2 5)2 展开得10 ? 2 21 ? 20

证明: ? 21 ? 25 ? 21 ? 5
? 2 21 ? 10
?10 ? 2 21 ? 20
? ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2

只需证 21 ? 5 只需证21 ? 25 因为21 ? 25显然成立.
所以 3 ? 7 ? 2 5

综 合 法

? 3? 7 ?2 5

如果我们从“21<25 ”出发,逐步倒推回去,就可以用综合法证出 结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手,所以用综合法比较困 难. “两者是互逆的过程,分析法起到了探路的作用”

跟进练习 证明: 8 ? 5 ? 10 ? 7. 证明: 要证 8 ? 5 ? 10 ? 7. 只要证 8 ? 7 ? 5 ? 10, 只需证 ( 8 ? 7 )2 ? ( 5 ? 10)2 . 即证 8 ? 7 ? 2 56 ? 5 ? 10 ? 2 50.

只需证 2 56 ? 2 50,
.

只要证

56 ? 50

显然成立

故不等式 8 ? 5 ? 10 ? 7 成立.

课堂小结:
综合法、分析法 1.证明的方法: 2.两种方法的比较
综合法 特点 逻辑关系 格式 由因导果,顺推法 寻找必要条件 P→Q1→Q2→...→Qn→Q 分析法 执果索因,逆推法 寻找充分条件 Q←P1←P2←...←Pn←P

分析法与综合法是互逆的过程,对复杂问题,先从结论进行分析, 相互联系 寻求解题思路,再运用综合法证明,或在证明时交叉使用

条件P→ P1 →P2 ... → Pn→Qm ← …Q2 ← Q1 ← Q结论 3.失误防范:分析法的证明格式 格式要规范,一般为“要证…,只需证…,只要证…,即证…显然成 立(或已知,已证…),所以原结论成立 逆向思维的应用 4.解题思想方法: