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2012级数学导学案——1[1].1.6


---------------------------------------日照实验高中 2012 级数学导学案--------------------------------------------------

第一章 第 六节
【预习导航】

课题 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

圆柱的侧面积公式 S= _____________________ 圆锥的侧面积公式 S=______________________ 结论:圆柱、 圆锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和 4、球的表面积: 设球的半径为 R,那么它的表面积为 S球 【典例精析】 例 1、 已知正四棱锥底面正方形的边长为 4cm,高与斜高的夹角为 45 。(如图) ,求正四棱锥的侧 面积及全面积。 ,是以 R 为自变量的函数。

1、通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2、了解棱柱、棱锥、棱台的表面积计算公式;能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关 实际问题. 3、培养学生空间想象能力和思维能力。 【点击要点】 1、直棱柱和正棱锥的表面积

直棱柱的侧面积公式 S = 用语言可叙述为 正棱锥的侧面积公式 S = 的周长, h 为棱锥的斜高。 用语言可叙述为


,其中 c 为底面多边形的周长,h 为棱柱的高。 ; = ,其中底面边长为 a , c 为底面多边形



结论:棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和 2、正棱台的表面积 设棱台下底面边长为 a 、周长为 c ,上地面边长为 a 、周长为 c ,斜高为 h ,可以得出正棱 台的侧面积公式: = ;
、 、 、

例 2、如图所示是一个容器的盖子,它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的,球的半径为 R.正四 棱台的两底面边长分别为 3R 和 2.5R,斜高为 0.6R: (1) 求这个容器盖子的表面积(用 R 表示,焊接处对面积的影响忽略不计) ; (2) 若 R=2cm,为盖子涂色时所用的涂料每 0.4kg 可以涂 1m ,计算为100个这样的盖子涂色 约需涂料多少千克(精确到0.1kg)


结论:棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和 3、圆柱、圆锥的表面积

认真细致不放弃

精益求精不糊弄

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3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为 a,该三棱锥的全面积是( 例 3、在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π cm 和 400π cm ,求球的表面 积.
2 2



(A)

3? 3 2 a 4

(B)

3 2 a 4

(C)

3? 3 2 a 2

(D) ( ?

3 2

3 2 )a 4

【变式练习】 1. 课本28页 B 组 2 题 2. 课本28页 B 组 3 题 3. 已知正方体的全面积为 24,求(1)其外接球的表面积 (2) 其内切球的表面积

4. 球内接正方体的表面积与球的表面积的比为( ) (A)2:π (B)3:π (C)4:π (D)6:π 填空题: 5. 已知正六棱台的上、下底面边长分别是 2 和 4,高是 2,则这个棱台的侧面积等于 。 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,将该正方体沿对角面 BB1D1D 切成两块,拼接成一个不是正方 体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为 。 7.四面体 ABCD 的四个面的重心分别为 E、F、G、H,则四面体 ABCD 的表面积与四面体 EFGH 的表 面积的比值是 . 解答题: 8、直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为 Q1,Q2,求:直平 行六面体的侧面积.

9、 正四棱锥底面正方形长为 4cm,高与斜高的夹角为 30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.(单 2 位:cm )

【巩固深化】 选择题: 1 将一个边长为 a 的正方体,切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了( ) 2 2 2 2 (A)6a (B)12a (C)18a (D)24a 2. 在正方体的八个顶点中,有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与此正四面体的表 面积的比值为( ) (A) 2 (B) 3 认真细致不放弃 (C)

10. 用两平行平面去截半径为 R 的球面,两个截面半径为 r1=24cm,r2=15cm,两截面间的距离为 d=27cm,求球的表面积.

6 2

(D)

3 3
精益求精不糊弄
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参考答案

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例一. 见课本 27 页例 1 例二. 见课本 27 页例 2 2 2 例 3、在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π cm 和 400π cm ,求球的表面 积. 【探究】可画出球的轴截面,利用球的截面性质,求球的半径; 【研析】如图为球的轴截面,由球的截面性质知,AO1//BO2,且 O1、O2 分别为两截面圆的圆心,则 OO1⊥AO1,OO2⊥BO2,设球的半径为 R,

18 7 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,将该正方体沿对角面 BB1D1D 切成两块,拼接成一个不是正方 体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为 (4+2 2 )a
2



7.四面体 ABCD 的四个面的重心分别为 E、F、G、H,则四面体 ABCD 的表面积与四面体 EFGH 的表 面积的比值是 1:9 . 8、直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为 Q1,Q2,求直平行 六面体的侧面积. 【探究】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征,直平行六面 体是侧棱与底面垂直的平行六面体,它的两个对角面是矩形. 【研析】如图所示,设底面边长为 a,侧棱长为 l,两条底面对角线的长分 别为 c,d,即 AC=c,BD=d,则

【反思·领悟】 求球的表面积的关键是把球的半径求出来,而这就是要充分利用截面的性质进行求解 【变式练习】 1. 课本28页 B 组 2 题 2. 课本28页 B 组 3 题 3. (12 ? ,4 ? )

1 将一个边长为 a 的正方体,切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了( B ) 2 2 2 2 (A)6a (B)12a (C)18a (D)24a 2. 在正方体的八个顶点中,有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与此正四面体的表 面积的比值为( B ) (A) 2 (B) 3 (C)

6 2

(D)

3 3


3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为 a,该三棱锥的全面积是( A (A)

3? 3 2 a 4

(B)

3 2 a 4

(C)

3? 3 2 a 2

(D) ( ?

3 2

3 2 )a 4

【反思·领悟】 (1)此题需大胆设元,为列方程方便,可以将对角线设出,但设而不解; (2)需大胆消元,整体代入三个方程四个未知数不能将其一一解出,也没有必要,这里需要将 a 与 l 的乘积看作一个整体进行计算. 9、 正四棱锥底面正方形长为 4cm,高与斜高的夹角为 30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.(单 2 位:cm ) 【探究】利用正棱锥的高,斜高,底面边心距 OE 组成 Rt△求解,然后代入公式. 【研析】正棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成直角三角形.

4. 球内接正方体的表面积与球的表面积的比为( A ) (A)2:π (B)3:π (C)4:π (D)6:π 5. 已知正六棱台的上、下底面边长分别是 2 和 4,高是 2,则这个棱台的侧面积等于 认真细致不放弃 精益求精不糊弄


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【反思·领悟】 求正棱锥的表面积,就要先求出其侧面积和底面积,然后相加,而要求侧面积就要设法把斜高 求出来,而这可通过解直角三角形求得; 10. 用两平行平面去截半径为 R 的球面,两个截面半径为 r1=24cm,r2=15cm,两截面间的距离为 d=27cm,求球的表面积. S=2500π cm2. 小结:对球的表面积公式只要求了解会用即可! 对于面积的计算有时要用表示数字的字母进行计 算。有时可以保留准确值及表示圆周率的字母,要对含字母式子的变形加强训练。

认真细致不放弃

精益求精不糊弄

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