当前位置:首页 >> 数学 >>

高中函数定义域,值域,解析式求法大全

抽象函数定义域的类型及求法
函数概念及其定义域 函数的概念: 设是 A, B 非空数集, 如果按某个确定的对应关系 f , 使对于集合 A 中的任意一个 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的函数,记 作: y ? f ( x), x ? A 。其中 x 叫自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值. 复合函数的定义 一 般 地 : 若 y ? f (u ) , 又 u ? g (x) , 且 g (x) 值 域 与 f (u ) 定 义 域 的 交 集 不 空 , 则 函 数 y ? f [ g ( x)] 叫 x 的复合函数,其中 y ? f (u ) 叫外层函数,u ? g (x) 叫内层函数,简言之:复合函 数就是:把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例 如 : f ( x) ? 3x ? 5, g ( x) ? x 2 ?1 ; 复合 函数 f ( g ( x)) 即 把 f ( x ) 里 面的 x 换 成 g ( x) ,

f ( g ( x)) ? 3g ( x) ? 5 ? 3( x2 ?1) ? 5 ? 3x2 ? 8 问:函数 f ( x ) 和函数 f ( x ? 5) 所表示的定义域是否相同?为什么?(不相同;原因:定义域是 求 x 的取值范围,这里 x 和 x ? 5 所属范围相同,导致它们定义域的范围就不同了。 f ? g ( x)? f ( x)
一、已知 的定义域,求 的定义域 其解法是:若 f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ,则在 f ? g ( x)? 中, a ≤ g ( x) ≤ b ,从中解得 x 的 取值范围即为 f ? g ( x)? 的定义域. 例1 已知函数 f ( x) 的定义域为 ??15? ,求 f (3x ? 5) 的定义域. , 分析:该函数是由 u ? 3x ? 5 和 f (u ) 构成的复合函数,其中 x 是自变量,u 是中间变量,由于 f ( x) 与 f (u ) 是同一个函数,因此这里是已知 ?1 ≤ u ≤ 5 ,即 ?1 ≤ 3 x ? 5 ≤ 5 ,求 x 的取值范围. 解:? f ( x) 的定义域为 ??15? ,??1 ≤ 3 x ? 5 ≤ 5 ? ,

4 10 ≤ x ≤ .故函数 f (3x ? 5) 的定义域为 3 3

? 4 10 ? ? 3, ? . ? 3? ? 1 7? ? ? 2 3] 练习 2.已知 f (x) 的定义域为 (0, ,求 f ( x ? 2 x) 定义域。 ?? 3,?2? ? ?0,1?
练习 1.已知 f ( x ) 的定义域为 ?3, 5? ,求函数 f (3x ? 2) 的定义域; ? ? , ? 3 3

?

二、已知

f ? g ( x)?

的定义域,求 f ( x) 的定义域

其解法是: f ? g ( x)? 的定义域为 m ≤ x ≤ n , 若 则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为 f ( x) 的 定义域. 例 1.已知函数 f ( x ? 2 x ? 2) 的定义域为 ?0, ,求函数 f ( x) 的定义域. 3?
2
2 分析:令 u ? x ? 2 x ? 2 ,则 f (x ? 2x ? 2) ? f (u) ,由于 f (u ) 与 f ( x) 是同一函数,因此 u 的取

2

值范围即为 f ( x) 的定义域.

解 : 由 0 ≤ x ≤ 3 , 得 1≤ x 2 ? 2x ? 2≤ 5. 令 u ? x2 ? 2 x ? 2 , 则 f ( x2 ? 2 x ? 2) ? f (u ) ,

1≤ u ≤ 5 .
故 f ( x) 的定义域为 ?1 5? . , 练习 1 若函数 f ?3 ? 2 x ? 的定义域为 ?? 1,2? ,求函数 f ?x ? 的定义域 ? ?4,11? 例 2.已知 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2, ,求 f ?x ? 2? 的定义域。 3) 解 由 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2, 得 ? 2 ? x ? 3 ,故 ? 1 ? x ? 1 ? 4 即得 f ?x ? 定义域为 [?1 4) ,从 3) , 而得到 ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,所以 1 ? x ? 6 故得函数 f ?x ? 2? 的定义域为 ?1,6? 三、运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域, 其解法是: 先求出各个函数的定义域, 然后再求交集.

, 例 1. 若 f ( x) 的定义域为 ? ?3 5? ,求 ? ( x) ? f (? x) ? f (2 x ? 5) 的定义域.
解:由 f ( x) 的定义域为 ? ?3 5? ,则 ? ( x) 必有 ? , 所以函数 ? ( x) 的定义域为 ? ?4,? 0

??3 ≤ ? x ≤ 5, 解得 ?4 ≤ x ≤ 0 . ??3 ≤ 2 x ? 5 ≤ 5,

例 2 已知函数 f ?x ? 定义域为是 [ a, b] ,且 a ? b ? 0 ,求函数 h?x ? ? f ?x ? m? ? f ?x ? m? ?m ? 0? 的 定义域

?a ? x ? m ? b ?a ? m ? x ? b ? m , ? m ? 0,? a ? m ? a ? m b ? m ? b ? m , 又 ?? ? ?a ? x ? m ? b ?a ? m ? x ? b ? m a?m?b?m b?a 要使函数 h?x ? 的定义域为非空集合,必须且只需 a ? m ? b ? m ,即 0 ? m ? ,这时函数 2 h?x ? 的定义域为 [a ? m, b ? m]
解: 总结解题模板 1.已知 f (x) 的定义域,求复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义 域之中, 因此可得其方法为: f (x) 的定义域为 x ? ?a, b ? , 若 求出 f [ g ( x)] 中 a ? g ( x) ? b 的解 x 的 范围,即为 f [ g ( x)] 的定义域。 2.已知复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域,求 f (x) 的定义域 方法是:若 f [ g ?x ?] 的定义域为 x ? ?a, b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g (x) 的范围即为 f (x) 的定义 域。 3.已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域,求 f [h( x)] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由 f [ g ?x ?] 定义域求得

f ?x ? 的定义域,再由 f ?x ? 的定义域求得 f [h?x?] 的定义域。

4.已知 f ( x ) 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即 先求出各个函数的定义域,再求交集。

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、

待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。

例 1 设 f (x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f (x) 解:设 f ( x) ? ax ? b

(a ? 0) ,则

f [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? a(ax ? b) ? b ? a 2 x ? ab ? b

? a2 ? 4 ?? ?ab ? b ? 3
二、

?a ? 2 ?a ? ?2 ? f ( x) ? 2 x ? 1  或   ( x) ? ?2 x ? 3 f  或   ?? ? ? b?3 ?b ? 1

配凑法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,求 f ( x ) 的解析式, f [ g ( x)] 的表达式容易配成

g ( x) 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x) 的定义域不是原复合函数的定义域,而
是 g ( x) 的值域。

1 1 ) ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式 x x 1 1 2 1 解:? f ( x ? ) ? ( x ? ) ? 2 , x ? ? 2 ? f ( x) ? x 2 ? 2 x x x
例 2 已知 f ( x ?

( x ? 2)

三、换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x ) 的解析式。与配凑法一 样,要注意所换元的定义域的变化。 例 3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) 解:令 t ?

x ? 1 ,则 t ? 1 , x ? (t ? 1) 2 ? f ( x ? 1) ? x ? 2 x f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1, ? f ( x) ? x 2 ? 1
( x ? 1)

?

? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ( x ? 0)
四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。 例 4 已知:函数 y ? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g (x) 的解析式
2

解:设 M ( x, y ) 为 y ? g (x) 上任一点,且 M ?( x?, y ?) 为 M ( x, y ) 关于点 (?2,3) 的对称点

? x? ? x ? 2 ? ?2 ? x? ? ? x ? 4 2 则? ,解得: ? ,? 点 M ?( x?, y ?) 在 y ? g (x) 上 ? y ? ? x? ? x? y? ? y ? y? ? 6 ? y ? ?3 ? 2
把?

? x? ? ? x ? 4 2 代入得: 6 ? y ? (? x ? 4) ? (? x ? 4) ?? 6? y ?y

整理得 y ? ? x ? 7 x ? 6
2

? g ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 6

五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组, 通过解方程组求得函数解析式。 例 5 设 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f (x) 解 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x

1 x

1 x

① 显然 x ? 0, 将 x 换成

1 1 1 ,得 f ( ) ? 2 f ( x) ? x x x



解① ②联立的方程组,得 f ( x) ? ?

x 2 ? 3 3x

例 6 设 f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数,又 f ( x) ? g ( x) ?

1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的解析式 x ?1 1 x ?1

解 ? f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数,? f (? x) ? f ( x), g (? x) ? ? g ( x) 又 f ( x ) ? g ( x ) ? ① ,

1 1 即 f ( x) ? g ( x) ? ? ② x ?1 x ?1 1 1 g ( x) ? 2 解① ②联立的方程组,得 f ( x ) ? 2 , x ?1 x ?x
用 ? x 替换 x 得: f (? x) ? g (? x) ? ? 六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量 进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例 7 已知: f (0) ? 1 , 对于任意实数 x、 等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立, f (x) y, 求 解 ? 对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,不妨令 x ? 0 ,则有

f (? y) ? f (0) ? y(? y ? 1) ? 1 ? y( y ? 1) ? y 2 ? y ? 1
析式为: f ( x) ? x ? x ? 1
2

再令 ? y ? x 得函数解

七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭 乘或者迭代等运算求得函数解析式。 例 8 设 f (x) 是 定 义 在 N ? 上 的 函 数 , 满 足 f (1) ? 1 , 对 任 意 的 自 然 数 a, b 都有

f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab ,求 f (x)
解 ?

f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab,a, b ? N ? , ? 不 妨 令 a ? x, b ? 1 , 得 :
f ( x) ? f (1) ? f ( x ? 1) ? x ,

又 f (1) ? 1, 故f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1


f ( 2? f ) ?1 ) ( (? 2 ) ? n) 1 2 , 3, 上 述 各 式 相 加 得 : 将 ,

2 分 别 令 ① 式 中 的 x ? 1 , ?n ?

1 得 : f ( 3 ?) f

?? f (n ) f n(? ?

? f (n) ? f (1) ? 2 ? 3 ? ?n , f (n) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ?

n(n ? 1) 2

? f ( x) ?

1 2 1 x ? x, x ? N ? 2. 2 2

1. M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函 数关系的有( A、 0个 y 2 1
O

) B、 1个 y 2 1

C、 2个 y 3 2 1

D、3 y 2 1 1 2 x
O

1

2

x

O

1

2 x

O

1 2

x

2.求下列函数的定义域: (1) y ?

x2 ? 1 x

(2) y ? x

4

(4) y=ax(a>0,a≠1)

(5) y=x

0

3. 设函数 f ( x ) ? ?

? x ? 3,( x ? 10) ,则 f (5) = ? f ( x ? 5),( x ? 10)



4.求下列函数的解析式:
2

(1)已知 f(x+1)=x -3x+2,求 f(x). (2)已知 f(x)+2f(

1 )=3x,求 f(x)的解析式 x

反馈型题组
5..(08 年,全国Ⅰ高考题)函数 y ? A. x | x ≥ 0

x( x ?1) ? x 的定义域为(
B. x | x ≥ 1



?

?

?

? ?

C. x | x ≥ 1 ? ?0?

?

?

D. x | 0 ≤ x ≤ 1

?

6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看 作时间 t 的函数,其图像可能是 s s s s

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

7.(08 年德州)对任意整数 x,y,函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy? 1 f ( x ) =1,那么 ,若

f ( ?8) 等于
A. -1

(

) B. 1 C. 19 D 43

8.已知 f(x)是一次函数,且 2f(x)+f(-x)=3x+1 对 x R 恒成立,则 f(x)=__________.

函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 解:∵x ? 0
1 ?0 ∴x y? 1 x 的值域。

显然函数的值域是:(??,0) ? (0,??) 例2. 求函数y ? 3 ? 解:∵ x ? 0
?? x ? 0,3 ? x ? 3
x 的值域。

故函数的值域是:[??,3] 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 2 例3. 求函数y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。 2 解:将函数配方得:y ? (x ? 1) ? 4 ∵x ? [?1,2] 由二次函数的性质可知:当x=1 时,y min ? 4 ,当x ? ?1时,y max 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法 例4. 求函数 的值域。 解:原函数化为关于x 的一元二次方程
( y ? 1)x 2 ? ( y ? 1)x ? 0
y? 1 ? x ? x2 1 ? x2

?8

(1)当y ? 1 时,x? R

? ? (?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0

1 3 ?y? 2 解得: 2
?1 3? 1? ? , ? (2)当y=1 时,x ? 0 ,而 ? 2 2 ? ?1 3? ?2 , 2? 故函数的值域为? ?

例5. 求函数y ? x ? x(2 ? x) 的值域。 2 2 解:两边平方整理得:2x ? 2(y ? 1)x ? y ? 0 (1) ∵x? R 2 ∴? ? 4(y ? 1) ? 8y ? 0 解得:1 ? 2 ? y ? 1 ? 2 但此时的函数的定义域由x(2 ? x) ? 0 ,得0 ? x ? 2 2 2 由? ? 0 ,仅保证关于 x 的方程:2x ? 2(y ? 1)x ? y ? 0 在实数集 R 有实根,而 不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 ? ? 0 求出的
?1 3? ? , ? 范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为? 2 2 ? 。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0 ? x ? 2
? y ? x ? x(2 ? x) ? 0

? y min ? 0, y ? 1 ? 2 代入方程(1)

解得:

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2

?[0,2]

即当 时, 原函数的值域为:[0,1 ? 2 ] 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应 综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值 域。 例6.
3x ? 4 求函数 5x ? 6 值域。

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2

解:由原函数式可得: 则其反函数为:
y?

x?

4 ? 6y 5y ? 3

4 ? 6y 3 x? 5x ? 3 ,其定义域为: 5

3? ? ? ? ?, ? 5? 故所求函数的值域为:?

5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定 函数的值域。 例7. 求函数
y? ex ?1 e x ? 1 的值域。 ex ? y ?1 y ?1

解:由原函数式可得: ∵e x ? 0
y ?1 ?0 ∴y ?1

解得:? 1 ? y ? 1 故所求函数的值域为(?1,1)
c x os 例8. 求函数 sin x ? 3 的值域。 解:由原函数式可得:y sin x ? cos x ? 3y ,可化为: y?
y 2 ? 1 sin x ( x ? ?) ? 3y
y ?1 即 ∵x? R ∴sin x(x ? ?) ?[?1,1]
2

sin x (x ? ?) ?

3y

?1?

3y y2 ? 1
?

?1

即 解得:

2 2 ?y? 4 4

? 2 2? , ?? ? ? 4 4 ? ? 故函数的值域为?

6. 函数单调性法

例9. 求函数y ? 2 ? log3 x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。 x ?5 解:令y1 ? 2 , y 2 ? log3 x ? 1 则y1 , y 2 在[2,10]上都是增函数 所以y ? y1 ? y 2 在[2,10]上是增函数 当x=2 时, 5 当x=10 时,y max ? 2 ? log3
3

x ?5

y min ? 2 ?3 ? log

2 ?1 ?
9 ? 33

1 8

?1 ? ? ,33? 故所求函数的值域为:? 8 ?

例10. 求函数y ?

x ? 1 ? x ? 1 的值域。
y? 2

x ?1 ? x ?1 解:原函数可化为: 令y1 ? x ? 1, y 2 ? x ? 1 ,显然y1 , y 2 在[1,??] 上为无上界的增函数 所以y ? y1 ,y 2 在[1,??] 上也为无上界的增函数

2

所以当x=1 时,y ? y1 ? y 2 有最小值 2 ,原函数有最大值 显然y ? 0 ,故原函数的值域为(0, 2 ]

? 2

2

7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根 式或三角函数公式模型, 换元法是数学方法中几种最主要方法之一, 在求函数的 值域中同样发挥作用。 例11. 求函数y ? x ? x ? 1 的值域。 解:令x ? 1 ? t ,(t ? 0) 则x ? t 2 ? 1
1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? 2 4 ∵

又t ? 0 ,由二次函数的性质可知 当t ? 0 时,y min ? 1 当t ? 0 时,y ? ?? 故函数的值域为[1,??) 例12. 求函数y ? x ? 2 ?
1 ? (x ? 1) 2

的值域。

解:因1 ? (x ? 1) ? 0 2 即(x ? 1) ? 1 故可令x ? 1 ? cos ?, ? ?[0, ?]
2

∴y ? cos ? ? 1 ?

1 ? cos 2 ? ? sin ? ? cos ? ? 1

? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4



0 ? ? ? ?,0 ? ? ?

? 5 ? ? 4 4

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4 ? ? 0 ? 2 sin(? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 4 ??

故所求函数的值域为[0,1 ?
y?

2]

例13. 求函数

x3 ? x x 4 ? 2 x 2 ? 1 的值域。

解:原函数可变形为:

y?

1 2x 1 ? x2 ? ? 2 1? x2 1 ? x2

2x 1? x2 ? sin 2?, ? cos 2 ? 2 x ? tg? ,则有1 ? x 2 1? x 可令

1 1 ? y ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin 4? 2 4



??

k? ? 1 ? y max ? 4 2 8 时,

k? ? 1 ? y min ? ? 4 当 2 8 时, 而此时tan ? 有意义。 ??
? 1 1? ?? , ? 故所求函数的值域为? 4 4 ? ? ? ?? x ? ?? , ? 求函数y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1) , ? 12 2 ? 的值域。
x ? 1)c x ? 1) ( os

例14. 解:y ? (sin

? sin x cos x ? sin x ? cos x ? 1

1 sin x c x ? (t 2 ? 1) os 2 令sin x ? cos x ? t ,则

1 1 y ? (t 2 ? 1) ? t ? 1 ? (t ? 1) 2 2 2

由t ? sin x ? cos x ?
? ? ?? x ? ?? , ? 且 ? 12 2 ?

2 sin(x ? ? / 4)

可得: ∴当t ?

2 ?t? 2 2
2 时,

y max ?

2 3 t? ? 2 2 ,当 2

时,

y?

3 2 ? 4 2

?3 ? 2 3 , ? 2? ? ? ?。 ? ? 故所求函数的值域为? 4 2 2

例15. 求函数y ? x ? 4 ? 5 ? x 的值域。 解:由5 ? x 2 ? 0 ,可得| x |? 5 故可令x ? 5 cos ?, ? ?[0, ?]
2

? y ? 5 cos ? ? 4 ? 5 sin ? ? 10 sin(? ? ) ? 4 4 ∵0 ? ? ? ? ? ? 5? ? ??? ? 4 4 4

当? ? ? / 4 时,y max ? 4 ? 10 当? ? ? 时,y min ? 4 ? 5 故所求函数的值域为:[4 ?

5 ,4 ? 10 ]

8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率 等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例16. 求函数y ?
(x ? 2) 2 ? (x ? 8) 2

的值域。

解:原函数可化简得:y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 | 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(?8) 间的距离之和。 由上图可知,当点P 在线段AB 上时,y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时,y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 故所求函数的值域为:[10,?? ]

例17. 求函数y ? x ? 6x ? 13 ? 解:原函数可变形为:
2

x 2 ? 4x ? 5 的值域。

y ? (x ? 3) 2 ? (0 ? 2) 2 ? (x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2

上式可看成x 轴上的点P(x,0) 到两定点A(3,2), B(?2,?1) 的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,y min ?| AB |? 故所求函数的值域为[ 43,??]
(3 ? 2) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 43 ,

例18. 求函数y ?

x 2 ? 6x ? 13 ? x 2 ? 4x ? 5 的值域。
2 2 2 2

解:将函数变形为:y ? (x ? 3) ? (0 ? 2) ? (x ? 2) ? (0 ? 1) 上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0)的距离与定点B(?2,1) 到点P(x,0) 的 距离之差。 即:y ?| AP | ? | BP | 由图可知:(1)当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P' , 则 构 成 ?A B' P, 根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 , 有
|| AP' | ? | BP' ||?| AB |? (3 ? 2) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 26

即:? 26 ? y ? 26 (2)当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有|| AP | ? | BP ||?| AB |? 综上所述,可知函数的值域为:(? 26, 26 ]

26

注:由例17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B 两点在x 轴的同侧。 如:例 17 的 A,B 两点坐标分别为:(3,2),(?2,?1) ,在 x 轴的同侧;例 18 的A,B 两点坐标分别为(3,2),(2,?1) ,在x 轴的同侧。 9. 不等式法

利用基本不等式a ? b ? 2 ab , a ? b ? c ? 3 abc (a, b, c ? R ) ,求函数的最值,其题 型特征解析式是和式时要求积为定值, 解析式是积时要求和为定值, 不过有时需 要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
3

?

例19. 求函数 解:原函数变形为:
y ? (sin 2 x ? cos 2 x ) ? ? 1 ? ces 2 x ? sec 2 x ? 3 ? tan 2 x ? cot 2 x ? 33 tan 2 x cot 2 x ? 2 ?5

y?( x ? sin

1 2 1 2 ) ? (os x ? c ) ?4 sin x c x os 的值域。

1 1 ? 2 sin x cos 2 x

当且仅当tan x ? cot x
? 4 时(k ? z) ,等号成立 即当 故原函数的值域为:[5,?? ) x ? k? ?

例20. 求函数y ? 2 sin x sin 解:y ? 4 sin x sin x cos x
? 4 sin 2 x cos x

2x 的值域。

y ? 16 sin 4 x cos 2 x ? 8 sin 2 x sin 2 x (2 ? 2 sin 2 x ) ? 8[(sin 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin 2 x ) / 3]3 ? 64 27
2

当且仅当sin 由
y2 ?

x ? 2 ? 2 sin x ,即当
2

sin 2 x ?

2 3 时,等号成立。

8 3 8 3 64 ? ?y? 9 27 可得: 9

? 8 3 8 3? , ?? ? 9 ? ? 9 ? ? 故原函数的值域为:

10. 一一映射法 原理:因为 若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数
y? 1 ? 3x 2x ? 1 的值域。
y? ax ? b (c ? 0) cx ? d 在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中,

1 1? ? ?x | x ? ? 或x ? ? ? 2 2? 解:∵定义域为?

由 故

y?

1? y 1 ? 3x x? 2y ? 3 2x ? 1 得 1? y 1? y 1 1 ?? x? ?? 2y ? 3 2或 2y ? 3 2

x?

3 3 y ? ? 或y ? ? 2 2 解得
3? ? 3 ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ,?? ? 2? ? 2 ? 故函数的值域为?

11. 多种方法综合运用 例22. 求函数 的值域。 解:令t ? x ? 2 (t ? 0) ,则x ? 3 ? t 2 ? 1
y?
y? x?2 x?3

(1)当t ? 0 时,
0? y? 1 2

t 1 1 ? ? 1 2 t ?1 t ? t ,当且仅当t=1,即x ? ?1时取等号,所以
2

(2)当t=0 时,y=0。
? 1? ?0, ? 综上所述,函数的值域为:? 2 ?

注:先换元,后用不等式法
y?
2

例23. 求函数 解:
y?

1 ? x ? 2x 2 ? x 3 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4
4 3

的值域。

1 ? 2x ? x x?x ? 2 4 1 ? 2x ? x 1 ? 2x 2 ? x 4
? x ? ? ? 1? x2 ?
2
2

?1? x2 ?? ?1 ? x2 ?

?1? x2 ? ? ? ? os 2 ? x ? tan ?1 ? x2 ? ? c ? 2 ,则? 令
x 1 ? sin ? 2 2 1? x

1 1 ? y ? cos 2 ? ? sin ? ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 2 2

1? 17 ? ? ?? sin ? ? ? ? 4? 16 ?

2

∴当 当sin ? ? ?1时,y min
ta n

sin ? ?

17 1 y max ? 16 4 时,
? ?2

此时 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin ? 的有界性。 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然 后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法, 函数单调性法和基本不等式法, 然 后才考虑用其他各种特殊方法。

17 ? ? ? ?? 2, 16 ? ? 2 都存在,故函数的值域为?