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数学人教A版必修5第二章2.3等差数列的前n项和(第2课时)

精品 第 2 课时 等差数列的综合应用 1. 复习巩固等差数列的定义、通项公式和前 n 项和公式. 2.掌握等差数列前 n 项和的性质及其应用. 3.能够利用等差数列的前 n 项和公式解决实际应用问题. 等差数列 (1) 定义:一般地,如果一个数列从第 __ 项起,每一项与它的前一项的 __ 都等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的____,公差通常用字母 d 表示. (2) 公式:数列 {an} 是公差为 d 的等差数 列,则有 an= a1 + ______ , Sn= na1 + ________ = ________. 【做一做 1-1】 等差数列{an}的公差 d=2,a1=1,则( ) 2 2 A.an=2n,Sn=n B.an=n,Sn=n +n C.an=2n-1,Sn=n2 D.an=2n-1,Sn=n2-n 【做一做 1-2】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3= 6,a1=4,则公差 d 等于( ) 5 A.1 B. C.-2 D.3 3 答案:(1)2 差 公差 (2)(n-1)d n(n-1) d 2 n(a1+an) 2 【做一做 1-1】 C 【做一做 1-2】 C [来源:学§科§网 Z§X§X§K] 等差数列前 n 项和的性质 剖析:数列{an}是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和具有下列性质: (1)Sn=a1+a2+…+an, S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n, S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n, 则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 是公差为 n2d 的等差数列,且有 Sn+S3n-S2n=2(S2n-Sn). Sn,S2n,S3n 不一定成等差数列,这一点要切记! (2)若项数为 2n,则 S 偶-S 奇=a2+a4+a6+…+a2n-a1-a3-a5-…-a2n-1=d+d+…+d=nd, n (a +a2n-1) S奇 2 1 2an an = = = . n S偶 2an+1 an+1 (a2+a2n) 2 (3)若项数为 2n-1,则 n-1 n-1 S 偶=a2+a4+a6+…+a2n-2= (a2+a2n-2)= × 2an=(n-1)an, 2 2 n S 奇=a1+a3+a5+…+a2n-1= × 2an=nan, 2 S 奇-S 偶=nan-(n-1)an=an(这里 an=a 中), S奇 nan n = = . S偶 (n-1)an n-1 (4)如果等差数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则有 精品 (2n-1)(a1+a2n-1) 2 S2n-1 an 2an a1+a2n-1 = = = = . bn 2bn b1+b2n-1 (2n-1)(b1+b2n-1) T2n-1 2 [来源:学§科§网 Z§X§X§K] 题型一 等差数列前 n 项和的性质应用 【例题 1】 一个等差数列的前 10 项之和为 100,前 100 项之和为 10,求其前 110 项之和. 分析:本题基本解法是求 a1,d 或令 Sn=an2+bn,先求 Sn,再求 S110,或利用性质. 反思:(1)利用已知求出 a1,d,然后再求所求的量,是基本解法,有时运算量大些,如本 题解法一. (2)我们也可以利用等差数列前 n 项和的性质,或利用等差数列通项公式的性质,这两种解 法可简化运算,为最优解法,如本题解法三和解法四. 题型二 实际应用问题 【例题 2】 某长江抗洪指挥部接到预报,24 小时后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决 定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的部队 指战员和当地干部群众连 续奋战外,还需用 20 台同型号的翻斗车,平均每辆车要工作 24 小时才能完成任务.但目前只有 一辆车投入施工,其余的需从附近高速公路上抽调,每隔 20 分能有一辆车到达,且指挥部最多 还可调集 24 辆车,那么在 24 时内能否构筑成第二道防线? 分析:这 25 辆车分别完成的工作量按从小到大排起来,组成一个等差数列,计算出这 25 辆车可以完成的工作量,即这个等差数列的前 25 项和,如果大于或等于总共需要完成的工作 量,就能构筑成第二道防线 ,否则不能. 反思:有关数列的应用问题,应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型,最后求 出符合实际的答案,可分以下几步考虑: (1)问题中所涉及的数列{an}有何特征? (2)是求数列{an}的通项还是求其前 n 项和? (3)列出等式(或方程)求解. (4)怎样求解? (5)答案是怎样的? 题型三 易错辨析 Sn n+3 【例题 3】 已知两个等差数列{an},{bn},它们的前 n 项和分别记为 Sn,Tn,若 = , Tn n+1 a10 求 . b10 a10 S10 10+3 13 错解: = = = . b10 T10 10+1 11 a10 S10 a10 S19 错因分析:事实上 ≠ ,应是 = . b10 T10 b10 T19 反思:两个等差数列第 n 项的比等于它们前 2n-1 项和的比,不等于它们前 n 项和的比. [来源:学。科。网] 答案:【例题 1】 解 法一:设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn, n(n-1) 则 Sn=na1+ d. 2 ?10a + 2 d=100, 由已知,得? 100×99 ?100a + 2 d=10, 10×9 1 1 ① ② 11 解得 d=- . 50 1 099 , 100 110×109 则 S110=110a1+ d 2 代入①,得 a1= 精品 1 099 110×109 ? 11? + ×?-50? 100 2 1 099-109×11? =110×? 100 ? ?=-110. 故此数列的前 110 项之和为-110. 解法二:设此等差数列的前 n 项和为 Sn=an2+bn. ∵S10=100,S

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