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黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一下学期第二次月考数学(理)试题附答案解析

鹤岗市第一中学 2018-2019 学年高一下学期第二次月考 数学试卷(理科)
一、选择题 1.对于非零向量 , ,下列命题中正确的是 A. C. 【答案】C 【解析】 试题分析:因为 所以 B 是错的,答案选 C. 考点:向量的数量积运算与几何意义 2.数列 A. -1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据数列的递推关系得到数列是周期是 3 的周期数列,从而可得到结论. 【详解】 , , 故数列 则 是周期数列,周期是 3, ,故选 A. 满足 , B. ,那么 C. 1 D. 2 ,所以 A,D 是错的,由投影的定义可知当 方向相反时为— , 或 B. D. 在 方向上的投影为

【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列中的项,属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为: (1) 项的序号较小时,逐步递推求出即可; (2)项的序数较大时,考虑证明数列是等差、等比数列,或者是周期数 列. 3.在锐角 A. 中,角 A,B 所对的边长分别为 B. ,若 C. ,则角 A 等于( D. )

-1-

【答案】A 【解析】 【分析】 由正弦定理将边化为角可得 【详解】因为 又 ,所以 ,进而结合条件即可得解. ,

,由正弦定理可得: . .

因为△ABC 为锐角三角形,所以 故选 A.

【点睛】本题主要考查了正弦定理求解三角形,属于基础题. 4.设等差数列 A. 63 【答案】C 【解析】 【分析】 设等差数列 的首项为 ,公差为 d,由题意列方程组求出 、d,再计算 的首项为 ,公差为 d, 的值. 的前 n 项和为 ,若 B. 45 , ,则 C. 39 ( ) D. 27

【详解】设等差数列 由 得 解得 , , , , ;

. 故选:C. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前 n 项和公式应用问题,是基础题. 5.已知向量 A. 【答案】B 【解析】 向 量 的 夹 角 为 , 且 , , , 又 ,故选 B. , 的夹角为 ,且 B. ,则 C. 2 ( ) D.

-2-

6.在 ( A. )

中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若



,则

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理角化边可得 【详解】因为 由余弦定理可得 故选 C. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理求解三角形,属于基础题. 7.向量 A. 【答案】A 【解析】 向量 得到 故答案为:A。 8.设锐角 A. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 为锐角三角形,结合条件可得 中,角 A. B. ,再由正弦定理可得 , ,结合 A 的范围可得解. 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 B. C. ,则 b 的取值范围( D. ) 满足 , 满足 B. ,则 与 的夹角为( C. ) D. ,进而得 ,由正弦定理可得 ,利用余弦定理可得解. ,代入 .所以 . 可得 .

【详解】锐角

C 所对的边分别为 a、b、c,

,解得

-3-



, ,

∴由正弦定理可得: ∴ , .

则 b 的取值范围为 故选 C.

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,注意锐角三角形的等价转化,需要三个角均为锐角,属于中档题. 9.在 A. 【答案】A 【解析】 如下图,以 B 为原点, BA,BC 分别为 x,y 轴建立平面坐标系 A(4,0),B ( 0 , 0 ) ,C(0,6) , D(2,3), 设 E(0,t), 。选 A. 10.等差数列 A. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质和等差数列的前 项和公式,化简所求的表达式为 的形式,由此求得表达式的值. 【详解】根据等差数列的性质和等差数列的前 项和公式得,原式 、 的前 项和分别为 和 ,若 B. C. ,则 D. ( ) ,即 , 中, B. 是 的中点,点 在 C. 上,且 ,且 D. ( )

.故选 B.

【点睛】本小题主要考查等差数列的性质,考查等差数列的前 项和公式,考查化归与转化的数学思想方法, 属于基础题. 11.如图,在平面四边形 ABCD 中, 若点 E 为边 CD 上的动点,则 的最小值为 ( )

-4-

A. 【答案】A 【解析】 分析:由题意可得

B.

C.

D.

为等腰三角形,

为等边三角形,把数量积

分拆,设



数量积转化为关于 t 的函数,用函数可求得最小值。 详解:连接 AD,取 AD 中点为 O,可知 。设 为等腰三角形,而 ,所以 为等边三角形,

= 所以当 时,上式取最大值 ,选 A.

点睛:本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分,需要选择合适的基底,再把其它向量都用基底表示。同 时利用向量共线转化为函数求最值。 12.已知数列 和 首项均为 1,且 ,则 A. 2019 【答案】D 【解析】 【分析】 先由 再由 【详解】 由 所以 , 可得数列 ,可得 , 可化为 , 所以
-5-

, ) C.

,数列

的前 项和为 ,且满足

( B.

D.

是常数列,由首项为 1 可得:



,从而可求 的通项,进而可求出结果. 可得: , 即数列 是常数列, 又数列 首项为 1, 所以 ,

,因 为数列

的前 项和,所以

,因此数列

是以 2 为公差的等差数列,又

,

所以 故选 D

,故

,所以

.

【点睛】本题主要考查由数列的递推公式来求数列的通项公式,对于形如 只需两边同除以 二、填空题: 13.数列 【答案】 【解析】 【分析】 利用递推关系当 【详解】∵ 当 当 则数列 故答案为 时, 时,不满足 的通项公式为: . , , 时, ,∴ ;当 时, 时, . , ,再验证 的前 项和 ,则 的通项公式为__________. 即可,属于中档试题.

的递推式,

时的情形即可得出结果.

【点睛】本题主要考查了递推关系、数列通项公式与前 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 14.已知数列 ③ 是等差数列,前 项和为 ,满足 ,给出下列四个结论:① ;② ;

; ④ 最小.其中一定正确的结论是________ (只填序号).

【答案】①③ 【解析】 【分析】 逐一判断每一个命题的真假得解. 【详解】由题得 ①, 所以该命题是真命题;②, ,不一定为零,所以 ,所以该命题是真命题.故答案为:①③

该命题是假命题;③,

【点睛】本题主要考查等差数列的通项和求和,考查等差数列的性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和 分析推理能力.

-6-

15.在 【答案】 【解析】 【分析】

中, 角

的对边分别为

, 已知





, 若

, 则

_____.

由题意根据正弦定理得 B=2C(舍)或 B+2C=π ,从而解得 C=A,即 a=c=3,再利用余弦定理可得 b. 【详解】由题意 根据正弦定理知 即 ∴ 在 中, , ,∴ , , , ,

∴B=2C 或 B+2C=π , 当 B=2C 时,B+C=3C>π , (舍) ∴B+2C=π ,∴C=A,即 a=c=3, 又 ∴ ∴b= . . < ,∴B< 或 B>
2 2

(舍,因为
2

) ,

,由余弦定理可得 b =a +c ﹣2accosB=3,

故答案为

【点睛】 本题主要考查了正、 余弦定理及应用, 考查了三角形中角的大小关系, 考查了正弦函数单调性的应用, 属于中档题. 16.已知 是 边分别为 【答案】 【解析】 取 中点 ,则有 两边同乘 ,代入已知式子可得 ,化简得: ,由正弦定理化简可得 边 同 时 除 以
-7-

外接圆的圆心,若 ,外接圆半径为 ,有

且 )

,则

_______.(

的角

所对

,由

,可得 ,即

,由 ,

,两

得 :

,故答案为 三、解答题 17.已知 的周长为 10,且 .

.

(1)求边长 的值; (2)若 【答案】(1) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由正弦定理将条件转化为边的关系,结合周长即可求出; (Ⅱ)将条件 试题解析: (Ⅰ)根据正弦定理, 可化为 代入余弦定理,即可求出 A 的余弦值. ,求角 的余弦值. (2)

联立方程组

解得

所以,边长 (Ⅱ)由 又由(Ⅰ)得 = 点睛:解决三角形中的角边问题时,要根据条件选择正余弦定理,将问题转化统一为边的问题或角的问题,利 用三角中两角和差等公式处理,特别注意内角和定理的运用,涉及三角形面积最值问题时,注意均值不等式的 利用,特别求角的时候,要注意分析角的范围,才能写出角的大小. 18.记 为等差数列 (1)求 的前 项和,已知 , . 得

的通项公式;

(2)求 ,并求 的最小值. 【答案】 (1)an=2n–9, (2)Sn=n –8n,最小值为–16. 【解析】 分析: (1)根据等差数列前 n 项和公式,求出公差,再代入等差数列通项公式得结果, (2)根据等差数列前 n 项和公式得 的二次函数关系式,根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值. 详解: (1)设{an}的公差为 d,由题意得 3a1+3d=–15. 由 a1=–7 得 d=2. 所以{an}的通项公式为 an=2n–9.
-82

(2)由(1)得 Sn=n –8n=(n–4) –16. 所以当 n=4 时,Sn 取得最小值,最小值为–16. 点睛: 数列是特殊的函数, 研究数列最值问题, 可利用函数性质, 但要注意其定义域为正整数集这一限制条件. 19.已知向量 (1) 若 (2) 若 ,求向量 ,求 . ; (2) . 与 , 的夹角; ,其中 O 为原点.

2

2

【答案】 (1) 【解析】

(1)根据向量夹角的定义和两角和的三角函数; (2)向量模的求法。 解: (1) .7 分 (2) 20.在 中,角 当 时, ,且 . .14 分

所对的边分别为

(1)求角 C 的大小; (2)若 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)由正弦定理边化角,结合同角三角函数基本关系可得 (2)结合题意可得 试题解析: (Ⅰ)由题得 所以 即 得 所以 即
-9-

的外接圆直径为 1,求 (2)

的取值范围.

; 的取值范围是 .

,结合角的范围可得



(不成立)

所以 (Ⅱ)由 ,设 ,所以 因为 故

由 所以 故 21.已知数列



满足





(1)求证:数列 (2)设

是等差数列,并求其通项公式; ,求数列{|bn|}的前 n 项和 Tn.

【答案】(1)见解析;(2) Tn= 【解析】 【分析】 (1)n(an+1﹣n﹣1)=(n+1) (an+n) (n∈N*) ,可得 nan+1﹣(n+1)an=2n(n+1) ,变形 等差数列的定义及其通项公式即可证明. (2)bn 15=2n﹣15,可得数列{bn}的前 n 项和 Sn=n2﹣14n.令 bn≤0,解得 n≤7.得到 n≤7 时,数 2.利用

列{|bn|}的前 n 项和 Tn=﹣b1﹣b2﹣…﹣bn=﹣Sn. n≥8 时, 数列{|bn|}的前 n 项和 Tn=﹣b1﹣b2﹣…﹣b7+b8+…+bn =﹣2S7+Sn. 【详解】 (1)∵n(an+1﹣n﹣1)=(n+1) (an+n) (n∈N*) ,
- 10 -

∴nan+1﹣(n+1)an=2n(n+1) ,∴ ∴数列 ∴ 是等差数列,公差为 2,首项为 2. 2+2(n﹣1)=2n,
2

2.

∴an=2n . (2)解:bn 15=2n﹣15,

则数列{bn}的前 n 项和 Sn 令 bn=2n﹣15≤0,解得 n≤7.

n2﹣14n.

∴n≤7 时,数列{|bn|}的前 n 项和 Tn=﹣b1﹣b2﹣…﹣bn=﹣Sn=﹣n +14n.

2

n≥8 时,数列{|bn|}的前 n 项和 Tn=﹣b1﹣b2﹣…﹣b7+b8+…+bn=﹣2S7+Sn=﹣2×(72﹣14×7)+n2﹣14n=n2
﹣14n+98. ∴Tn .

【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、绝对值数列求和问题,考查了分类 讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题. 22.已知正项数列 (1)数列 之和 ; (2)若将上述递推关系 范围 【答案】 (1)1006008; (2) 【解析】 【分析】 ( 1 )对 两边取倒数,得 ,结合题中范围求和即可; (2)不等式两边取倒数得 ,由 , 可得 【详解】 (1)对
- 11 -



,且 ,若 仍是 中的项,求 在区间 中的所有可能值

满足

改为:

,且数列

中任意项

,试求满足要求的实数 的取值

,可得

,进而由



, 进而求范围可得解解.

两边取倒数,得

,故

是等差数列,



,故



.

.

设 所以 (2)对



中的第 项,则



两边取倒数,得

, .

,而 所以



【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系求数列的通项公式,考查了倒数法和裂项相消法,涉及到了不等式 恒成立思想求参数范围,属于难题.

- 12 -

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