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2019年高考数学一轮复习课时分层训练39数学归纳法


课时分层训练(三十九) 数学归纳法 A 组 基础达标 一、选择题 1.用数学归纳法证明 2n>2n+1,n 的第一个取值应是( A.1 C.3 C B.2 D.4 ) [∵n=1 时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1 不成立; n=2 时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1 不成立; n=3 时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1 成立. ∴n 的第一个取值应是 3.] 2. 一个关于自然数 n 的命题, 如果验证当 n=1 时命题成立, 并在假设当 n=k(k≥1 且 k∈N + )时命题成立的基础上,证明了当 n=k+2 时命题成立,那么综合上述,对于( ) A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 B [本题证的是对 n=1,3,5,7,…命题成立,即命题对一切正奇数成立.] 1 3.在数列{an}中,a1= ,且 Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式为( 3 ) 【导学号:79140216】 1 A. (n-1)(n+1) 1 C. (2n-1)(2n+1) C 1 B. 2n(2n+1) 1 D. (2n+1)(2n+2) 1 1 1 1 1 1 1 [由 a1= ,Sn=n(2n-1)an 求得 a2= = ,a3= = ,a4= = .猜想 an= 3 15 3×5 35 5×7 63 7×9 1 .] (2n-1)(2n+1) 4.对于不等式 n2+n<n+1(n∈N+),某同学用数学归纳法证明的过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+)时, 不等式 k2+k<k+1 成立, 当 n=k+1 时, (k+1)2+k+1 1 = k2+3k+2< (k2+3k+2)+(k+2)= (k+2)2=(k+1)+1. 所以当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法( A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 D [当 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法.] ) ) 5.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为( A.n+1 C. C B.2n D.n2+n+1 n2+n+2 2 [1 条直线将平面分成 1+1 个区域; 2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区域; 3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域;…;n 条直线最多可将平面分成 1 +(1+2+3+…+n)=1+ 二、填空题 6. 用数学归纳法证明 1+2+3+…+n2= 上的项为________. (k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 [当 n=k 时左端为 1+2+3+…+k+(k+1)+(k+2)+… +k2,则当 n=k+1 时, 左端为 1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2, 故增加的项为(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.] 7.数列{an}中,已知 a1=2,an+1= (n∈N+),依次计算出 a2,a3,a4,猜想 an=________. 3an+1 2 2 2 2 2 [a1=2,a2= = ,a3= = ,a4= +1= . 6n-5 3×2+1 7 2 13 2 19 3× +1 3× 7 13 2 由此猜想 an 是以分子为 2,分母是以首项为 1,公差为 6 的

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