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2019年高考数学一轮复习课时分层训练35基本不等式及其应用

课时分层训练(三十五) 基本不等式及其应用 A 组 基础达标 一、选择题 1 1.“x≥1”是“x+ ≥2”的( x ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 A 1 1 [x+ ≥2?x>0,所以“x≥1”是“x+ ≥2”的充分不必要条件,故选 A.] x x 1 1 2.已知 x,y>0 且 x+4y=1,则 + 的最小值为( x y ) A.8 C.10 B.9 D.11 4y x · =5+4= 1 1 x+4y x+4y ?4y x? B [∵x+4y=1(x,y>0),∴ + = + =5+? + ?≥5+2 x y x y ?x y? x y 1 ? ? 9?当且仅当x=2y= 时,取等号?.] 3 ? ? 3.(2018·青岛质检)已知 x>1,y>1,且 lg x,2,lg y 成等差数列,则 x+y 有( A.最小值 20 C.最大值 20 B.最小值 200 D.最大值 200 ) B [由题意得 2×2=lg x+lg y=lg(xy),所以 xy=10 000,则 x+y≥2 xy=200,当且仅 当 x=y=100 时,等号成立,所以 x+y 的有最小值 200,故选 B.] 4.设 a>0,若关于 x 的不等式 x+ a x-1 ≥5 在(1,+∞)上恒成立,则 a 的最小值为( ) 【导学号:79140196】 A.16 C.4 C [在(1,+∞)上,x+ B.9 D.2 a x-1 =(x-1)+ a x-1 +1≥2 (x-1)× +1=2 a+1(当且 (x-1) a 仅当 x=1+ a时取等号),由题意知 2 a+1≥5.所以 2 a≥4, a≥2,a≥4.] 5.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓 1 储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元. 为使平均到每件产品的生产准备费用 8 与仓储费用之和最小,每批应生产产品( A.60 件 C.100 件 ) B.80 件 D.120 件 x 800 x B [每批生产 x 件,则平均每件产品的生产准备费用是 元,每件产品的仓储费用是 x 8 800 x 元,则 + ≥2 x 8 生产产品 80 件.] 二、填空题 6.正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是________. [9,+∞) [∵a,b 是正数,∴ab=a+b+3≥2 ab+3, ∴ab-2 ab-3≥0, ∴( ab+1)( ab-3)≥0,∴ ab≤-1(舍去)或 ab≥3. 即 ab≥9.] 7.(2017·天津高考)若 a,b∈R,ab>0,则 4 [∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2 (当且仅当 a2=2b2 时“=”成立), 800 x 800 x · =20,当且仅当 = ,即 x=80 时“=”成立,所以每批 x 8 x 8 a4+4b4+1 的最小值为________. ab a4+4b4+1 4a2b2+1 1 ∴ ≥ =4ab+ , ab ab ab 由于 ab>0, 1 ∴4ab+ ≥2 4ab· 1 ab ab 1 ? ? =4?当且仅当4ab= 时“=”成立?, ? ab 2 ? ?a =2b , 故当且仅当? 1 4ab= ? ab 2 a4+4b4+1 时, 的最小值为 4.] ab 8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单 位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(x∈N+),则每台机器 2 为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 【导学号:79140197】 y 25 8 [年平均利润为 =-x- +18 x x ? 25? =-?x+ ?+18, ? x? 25 ∵x+ ≥2 x x· =10, x x? 25 y ? 25? ∴ =18-?x+ ?≤18-10=8, x ? 25 当且仅当 x= ,即 x=5 时,取等号.] x 三、解答题 3 8 9.(1)当 x< 时,求函数 y=x+ 的最大值; 2 2x-3 (2)设 0<x<2,求函数 y= x(4-2x)的最大值. 1 8 3 [解] (1)y= (2x-3)+ + 2 2x-3 2 =-? 8 ? 3 ?3-2x + ?+ . 3-2x? 2 ? 2 3 当 x< 时,有 3-2x>0, 2 ∴ 3-2x 8 + ≥2 2 3-2x 3-2x 8 · =4, 2 3-2x 3-2x 8 1 当且仅当 = ,即 x=- 时取等号. 2 3-2x 2 3 5 5 于是 y≤-4+ =- ,故函数的最大值为- . 2 2 2 (2)∵0<x<2, ∴2-x>0, ∴y= x(4-2x)= 2· x(2-x)≤ 2· 当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号, ∴当 x=1 时,函数 y= x(4-2x)的最大值为 2. 3 x+2-x 2 = 2, 10.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,求: (1)xy 的最小值; (2)x+y 的最小值. 8 2 [解] (1)由 2x+8y-xy=0,得 + =1, x y 又 x>0,y>0, 8 2 则 1= + ≥2 8 2 8 · = ,得 xy≥64, x y x y xy 当且仅当 x=16 且 y=4 时,等号成立. 所以 xy 的最小值为 64. 8 2 (2)由 2x+8y-xy=0,得 + =1, x y 2x 8y ?8 2? 则 x+y=? + ?·(x+y)=10+ + ?x y ? y y x ≥10+2 2x 8y · =18. x 当且仅当 x=12 且 y=6 时等号成立, 所以 x+

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