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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2精要课件 数学归纳法应用举例_图文

2.3.2

2.3.2
【学习要求】

数学归纳法应用举例

1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤,掌握用数学归 纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学
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命题. 2.掌握证明 n=k+1 成立的常见变形技巧:提公因式、 添项、拆项、合并项、配方等. 【学法指导】 通过对数学归纳法的学习,培养勇于探索、创新的个性 品质,培养大胆猜想,小心求证的辩证思维素质,进一 步培养思维的严密性.通过相互交流和讨论,增强团队 合作意识,提高语言交流能力.

试一试· 双基题目、基础更牢固

2.3.2

1.某个命题与正整数 n 有关,若 n=k (k∈N*)时命题成
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立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得 A.n=6 时该命题不成立 C.n=4 时该命题不成立 ( C ) B.n=6 时该命题成立 D.n=4 时该命题成立

解析 ∵n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题成立.∴若 n=5 时,该命题不成立,则 n=4 时 该命题不成立.

试一试· 双基题目、基础更牢固

2.3.2

2.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”时,第一步验证 n=1 时,命题成立, 第二步归纳假设应写成
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(

)

A. 假设 n=2k+1(k∈N*)时命题正确, 再推证 n=2k +3 时命题正确 B. 假设 n=2k-1(k∈N*)时命题正确, 再推证 n=2k +1 时命题正确 C.假设 n=k(k∈N*)时命题正确,再推证 n=k+2 时命题正确 D.假设 n≤k(k∈N*)时命题正确,再推证 n=k+2 时命题正确

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2.3.2

解析 因 n 为正奇数,所以否定 C、D 项;当 k=1 时,2k-1=1,2k+1=3,故选 B.
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答案

B

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2.3.2

3.用数学归纳法证明 3n>n3(n≥3,n∈N*)第一步应验 证________________. n=3时是否成立
解析 成立. n 的最小值为 3,所以第一步验证 n=3 时是否

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2.3.2

4.用数学归纳法证明 1+2+3+?+(2n+1)=(n+1)(2n +1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代

(2k+2)+(2k+3) 数式是__________________.
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解析

当 n=k 时,左边是共有 2k+1 个连续自然数相加,

即 1+2+3+?+(2k+1),所以当 n=k+1 时,左边共有 2k+3 个连续自然数相加,即 1+2+3+?+(2k+1)+(2k +2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k +3).

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2.3.2

题型一
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用数学归纳法证明不等式

例 1 已知数列{bn}的通项公式为 bn=2n,求证:对任意的 b1+1 b2+1 bn+1 * n∈N ,不等式 · · b > n+1都成立. ?· b1 b2 n bn+1 2n+1 证明 由 bn=2n,得 b = 2n , n b1+1 b2+1 bn+1 3 5 7 2n+1 所以 b · b · b =2··· 2n . ?· 4 6 ?· 1 2 n b1+1 b2+1 bn+1 下面用数学归纳法证明不等式 · · ?· = b1 b2 bn 2n+1 357 2··· 2n > n+1成立. 4 6 ?·

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2.3.2

3 3 (1)当 n=1 时,左边= ,右边= 2,因为 > 2,所以不等 2 2 式成立. (2)假设当 n=k(k≥1 且 k∈N*)时不等式成立,
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b1+1 b2+1 bk+1 3 5 7 2k+1 即 b · b · b =2··· 2k > k+1成立. ?· ?· 46
1 2 k

b1+1 b2+1 bk+1 bk+1+1 则当 n=k+1 时,左边= · · ?· · = b1 b2 bk bk+1 2k+1 2k+3 357 2··· 2k · 4 6 ?· 2k+2
2k+3 > k+1· = 2k+2 ?2k+3?2 = 4?k+1? 4k2+12k+9 4?k+1?

>

4k2+12k+8 = 4?k+1?

4?k2+3k+2? 4?k+1?

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2.3.2



4?k+1??k+2? 4?k+1?

= k+2= ?k+1?+1.
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所以当 n=k+1 时,不等式也成立.

b1+1 b2+1 bn+1 由 (1) 、 (2) 可 得 不 等 式 · · ?· = b1 b2 bn 2n+1 357 ··· 2n > n+1对任意的 n∈N*都成立. 2 4 6 ?·

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2.3.2

小结
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用数学归纳法证明不等式时要注意两凑: 一凑归纳

假设; 二凑证明目标. 在凑证明目标时, 比较法、综合法、 分析法都可选用.

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跟踪训练 1

2.3.2 1 1 1 1 1 用数学归纳法证明 2 + 2 + 2 +?+ 2 <1- n 2 3 4 n

(n≥2,n∈N*). 1 1 1 1 1 1 证明 当 n=2 时,左式= 2= ,右式=1- = ,因为 < , 2 4 2 2 4 2
所以不等式成立.
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1 1 1 假设 n=k(k≥2,k∈N )时,不等式成立,即22+32+42+?+ 1 1 k2<1-k, 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 22+32+42+?+k2+?k+1?2<1-k +?k+1?2 ?k+1?2-k k2+k+1 k?k+1? 1 =1- =1- <1- =1- , k?k+1?2 k?k+1?2 k?k+1?2 k+1 所以当 n=k+1 时,不等式也成立.
*

综上所述,对任意 n≥2 的正整数,不等式都成立.

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2.3.2

题型二 例2

利用数学归纳法证明整除问题

求证:an+1+(a+1)2n-1 能被 a2+a+1 整除,n∈N*.

证明 (1)当 n=1 时,a1+1+(a+1)2×1-1=a2+a+1,命题 显然成立.
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(2)假设当 n=k(k∈N*)时, k+1+(a+1)2k-1 能被 a2+a+1 整除, a 则
当 n=k+1 时,
ak+2+(a+1)2k+1=a·k+1+(a+1)2· a (a+1)2k-1
=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1
=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1.

由归纳假设,上式中的两项均能被 a2+a+1 整除, 故当 n=k+1 时命题成立.由(1)(2)知,对任意 n∈N*,命题成立.

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小结 证明整除性问题的关键是“凑项”,先采用增项、 减项、拆项和因式分解等手段,凑成 n=k 时的情形,再 利用归纳假设使问题获证.

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2.3.2

跟踪训练 2 证明:x2n-1+y2n-1(n∈N*)能被 x+y 整除.
证明 (1)当 n=1 时,x2n-1+y2n-1=x+y,能被 x+y 整除.
(2)假设当 n=k(k∈N*)时,命题成立,
即 x2k-1+y2k-1 能被 x+y 整除.
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那么当 n=k+1 时,x2(k+1)-1+y2(k+1)-1
=x2k 1+y2k 1=x2k
- -





-1+2

+y2k


-1+2

=x2·2k 1+y2·2k 1+x2·2k 1-x2·2k x y y y
=x2(x2k 1+y2k 1)+y2k 1(y2-x2).
- - -

-1

∵x2k 1+y2k 1 能被 x+y 整除, 2-x2=(y+x)(y-x)也能被 x+y 整除, y
∴当 n=k+1 时,x2(k+1)-1+y2(k+1)-1 能被 x+y 整除.
由(1),(2)可知原命题成立.





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2.3.2

题型三

利用数学归纳法证明几何问题

例 3 平面内有 n(n∈N*,n≥2)条直线,其中任何两条 不平行, 任何三条不过同一点, 证明: 交点的个数 f(n) n?n-1? = . 2
证明 (1)当 n=2 时,两条直线的交点只有一个, 1 又 f(2)=2×2×(2-1)=1,
∴当 n=2 时,命题成立.

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2.3.2

(2)假设 n=k 时,命题成立,即平面内满足题设的任何 k 1 条直线交点个数 f(k)= k(k-1), 2
那么,当 n=k+1 时,
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任取一条直线 l,除 l 以外其他 k 条直线交点个数为 f(k)= 1 2k(k-1),

l 与其他 k 条直线交点个数为 k,
从而 k+1 条直线共有 f(k)+k 个交点, 1 1 即 f(k+1)=f(k)+k= k(k-1)+k= k(k-1+2) 2 2 1 1 = k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1], 2 2

∴当 n=k+1 时,命题成立.
由(1)(2)可知,对任意 n∈N*(n≥2)命题都成立.

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2.3.2

小结
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用数学归纳法证明几何问题时一要注意数形结

合,二要注意有必要的文字说明.

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2.3.2

跟踪训练 3 有 n 个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三 个圆都不相交于同一点,求证:这 n 个圆把平面分成 f(n)= n2-n+2 部分.
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证明 (1)n=1 时,分为 2 块,f(1)=2,命题成立;
(2)假设 n=k(k∈N*)时,被分成 f(k)=k2-k+2 部分;
那么当 n=k+1 时,依题意,
第 k+1 个圆与前 k 个圆产生 2k 个交点,第 k+1 个圆被截为 2k 段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分,所以平面上净增 加了 2k 个区域.

∴f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,
即当 n=k+1 时命题成立,由(1)(2)知命题成立.

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1. 数学归纳法证明与自然数相关的命题, 包括等式、
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不等式、数列问题、整除问题、几何问题等. 2.证明问题的初始值 n0 不一定,可根据题目要求和 实际问题确定 n0. 3.从 n=k 到 n=k+1 要搞清“项”的变化,不论 是几何元素,还是式子;一定要用到归纳假设.


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