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【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习课件:1-6-1第1讲 统计与概率的基本问题_图文

第1讲 统计与概率的基本问题

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高考定位 1.对于随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归 直线方程、独立性检验、正态分布的考查几乎每年都有一道选 择或填空题,属于简单题;2.对于排列组合、古典概型、几何概

型的考查也会以选择或填空的形式命题,属于中档以下题目.

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[真题感悟]
1 . (2014· 湖南卷) 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n的样本, 当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽 取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1 , p2 , p3,则 A.p1=p2<p3 C.p1=p3<p2 B.p2=p3<p1 D.p1=p2=p3 ( ).

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解析

由抽样的知识知,三种抽样中,每个个体被抽到的概率

都相等,故选D.

答案 D

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2.(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进
行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区 间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从 左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,??,第五 组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一

组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三
组中有疗效的人数为 ( ).

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A.6

B.8

C.12

D.18

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解析

20 20 全体志愿者共有 = =50(人) 0.24+0.16 0.4

所以第三组有志愿者有 0.36×1×50=18(人) ∵第三组中没有疗效的有 6 人, ∴有疗效的有 18-6=12 人,故选 C.

答案 C

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3.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)4 位同学各自在周六、周日两天中任 选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动 的概率为 1 A.8 3 C.8 5 B.8 7 D.8 ( ).

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解析 4 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动 的情况有 24=16(种),其中仅在周六(周日)参加的各有 1 种,∴ 1+1 7 所求概率为 1- 16 =8.故选 D.

答案 D

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4.(2014·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践
活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本 科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年 级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.
4 解析 由题意知应抽取人数为 300× =60. 4+5+5+6

答案 60

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[考点整合] 1.用随机数表法抽样时,对个体所编的号码位数要相等.当问 题所给数据位数不等时,以位数较多的为准,在位数较少的 数前面添“0”,凑齐位数. N 2.系统抽样:如果遇到 n 不是整数的情况,可以先从总体中随 机剔除几个个体, 使得总体中剩余的个体能被样本容量整除.

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3.在频率分布直方图中,小长方形的面积=频率,各小长方形 的面积的总等于 1. 4.方差与标准差 1 s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],
2

s=

1 2 2 2 [ ? x - x ? + ? x - x ? +?+ ? x - x ? ]. 2 n n 1

^x+a ^经过样本点的中心点( x , y ),若 x 取某一 5.回归直线^ y=b ^ ^ ^ 个值代入回归直线方程y=bx+a中,可求出 y 的估计值.

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6.独立性检验 对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量 X 和 Y,其样 本频数列联表是: y1 x1 x2 a c y2 b d 总计 a+b c+d n

总计 a+c b+d

2 n ? ad - bc ? 则 K2= (其中 n=a+b+c+d 为样本 ?a+b??c+d??a+c??b+d?

容量).
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7.概率的取值范围是[0,1],即 0≤P(A)≤1,必然事件发生的概 率为 1,不可能事件发生的概率为 0. 8.古典概型 事件A中所含的基本事件数 P(A)= . 试验的基本事件总数 9.几何概型 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

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热点一 统计中的命题热点
[微题型1] 抽样方法 【例1-1】 (1)(2014·潍坊模拟)高三某班有学生56人,现将所有 同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4的样 本,已知 5 号、33 号、47 号学生在样本中,则样本中还有一 个学生的编号为 A.13 B.17 ( ).

C.19

D.21

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(2)为了研究雾霾天气的治理,某课题组对部分城市进行空气质
量调查,按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组,已知三 组城市的个数分别为4,y,z,依次构成等差数列,且4,y,z+ 4成等比数列,若用分层抽样抽取6个城市,则乙组中应抽取的 城市个数为______________. 解析 (1)从56名学生中抽取4人,用系统抽样方法,则分段间隔 为14,若第一段抽出的号码为5,则其它段抽取的号码应为:

19,33,47.

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? ?2y=4+z, (2)由题意可得? 2 ? ?y =4×?z+4?,

z ? ?y=2+ , 2 即? 2 ? ?y =4z+16,

解得 z=12,或 z=-4(舍去), 故 y=8.

所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为 4,8,12. 6 1 因为一共要抽取 6 个城市,所以抽样比为 =4. 4+8+12 1 故乙组城市应抽取的个数为 8×4=2.

答案 (1)C (2)2

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规律方法

(1)在系统抽样的过程中,要注意分段间隔,需要抽

N 取几个个体,总体就需要分成几个组,则分段间隔即为 n (n 为样 本容量),首先确定在第一组中抽取的个体的号码数,再从后面 的每组中按规则抽取每个个体. (2)利用分层抽样一定要注意按 比例抽取各层次的样本数据, 样本容量与总体的个体数之比是分 层抽样的比例常数, 按这个比例可以确定各层应抽取的个体数与 各层原有的人数,若各层应抽取的个体数不都是整数,则应当先 剔除部分个体,调整总体个数.

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[微题型2] 用样本估计总体
【例1-2】 (2014·青岛质量检测)如图是一容量为100的样本的 重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为 ( A.11 C.12 B.11.5 D.12.5 ).

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解析

设中位数a,则x=a将频率分布直方图分成两个面积相等

的部分,则有0.3+(a-10)×0.1=0.5,所以a=12. 答案 C 探究提高 由频率分布直方图求中位数,可利用中位数是把频

率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线的横 坐标这一结论求解.

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[微题型3] 线性回归方程

【例 1 - 3】 (2014· 咸阳模拟 ) 某产品在某零售摊位上的零售价
x(元)与每天的销售量y(个)统计如下表: x y 16 50 17 34 18 41 19 31

^ x +a ^中的b ^=-4,据此模型预 据上表可得回归直线方程^ y =b 计零售价定为 15 元时,销售量为 A.48 C.50
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(

).

B.49 D.51
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解析 样本点的中心为(17.5,39),代入回归直线方程 ^ ^中,得a ^=109,所以^ y=-4x+a y=-4x+109,把 x=15 代入得 ^ y=49.

答案 B
规律方法 已知变量的某个值去预测与其有线性相关关系的变

^ x +a ^,若a ^,b ^中有一个 量的值时,一般先求出回归直线方程^ y =b ^= y -b ^ x 求另一个量,再把 x 取值代入 是已知的,常利用公式a ^x+a ^中,求出^ 回归直线方程^ y =b y的估计值.
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[微题型4] 独立性检验
【例1-4】 某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目 的喜爱与性别是否有关系,随机调查了观看该节目的观众 110名,得到如下的列联表: 女 喜爱 不喜爱 总计 40 20 60 男 20 30 50 总计 60 50 110

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试根据样本估计总体的思想, 估计约有________的把握认为“喜 爱该节目与否和性别有关”. 参考附表: P(K2≥k0) 0.050 0.010 k0 0.001

3.841 6.635 10.828

2 n ? ad - bc ? (参考公式:K2= ,其中 ?a+b??c+d??a+c??b+d?

n=a+b+c+d)

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解析 假设喜爱该节目和性别无关,分析列联表中数据,可得
2 110 × ? 40 × 30 - 20 × 20 ? K2= ≈7.822>6.635, 所以有 99%的把握 60×50×60×50

认为“喜爱《开门大吉》节目与否和性别有关”.
答案 99%

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规律方法

独立性检验的具体步骤是:第一步,根据题意确定临

界值并作无关假设;第二步,找相关数据,列出 2×2 列联表;
2 n ? ad - bc ? 第三步,由公式 K2= (其中 n=a+b+c ?a+b??c+d??a+c??b+d?

+d)计算出 K2 的观测值;第四步,将 K2 的观测值与临界值进行 比较,进而作出推断.

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【训练 1】 (2014· 长安五校联考)从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差为 分数 5 4 3 2 1 ( ).

人数 20 10 30 30 10 A. 3 2 10 C. 5 B.3 8 D.5

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解析

这组数据的平均数是:

5×20+4×10+3×30+2×30+1×10 1 =3,方差是:100[20×(5 100 8 -3) +10×(4-3) +30×(2-3) +10×(1-3) ]=5, 则这 100 人
2 2 2 2

成绩的标准差为

8 2 10 5= 5 .

答案 C

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热点二 排列组合与概率
[微题型1] 排列、组合 【例2-1】 (2014·北京顺义区统练)将4名学生分配到甲、乙、 丙3个实验室准备实验,每个实验室至少分配1名学生的不同 分配方案共有 A.12种 C.36种 B.24种 D.48种 ( ).

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解析 先将 4 名学生分成三组,人数分别为 2,1,1,共有 C2 4=6 种,再将这三组分配到 3 个实验室,有 A3 3=6 种,由分步计数原 理,不同分配方案共有 6×6=36 种.
答案 C

规律方法

求解排列组合问题,应按元素的性质或题意要求进

行分类,对事件发生的过程进行分步,做到分类标准明确,分 步层次清楚,才能保证不“重”、不“漏”.

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[微题型 2]

古典概型

【例 2-2】 (2014· 吉林省实验中学模拟)在某地的奥运火炬传递 活动中,有编号为 1,2,3,?,18 的 18 名火炬手.若从中任 选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数 列的概率为 1 A.51 1 C.306 1 B.408 1 D.68 ( ).

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解析

从 18 人中任选 3 人共有 C3 18=816 种选法,其中三个数能

1 组成以 3 为公差的等差数列共有 12 种情况,所以其概率为68.

答案 D 规律方法 (1)解答有关古典概型的概率问题,关键是正确求出

基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,常用到计数原理
与排列、组合的相关知识.(2)在求基本事件的个数时,要准确 理解基本事件的构成,这样才能保证所求事件所包含的基本事 件数的求法与基本事件总数的求法的一致性.

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[微题型 3]

几何概型

?x≤0, ? 【例 2-3】 (2014· 湖北卷)由不等式组?y≥0, ?y-x-2≤0 ? 区域记为
? ?x+y≤1, Ω1, 不等式组? ? ?x+y≥-2

确定的平面

确定的平面区域记为 Ω2, ).

在 Ω1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω2 内的概率为( 1 A.8 3 C.4
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1 B.4 7 D.8
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解析 如图,平面区域 Ω1 就是三角形区域 OAB,平面区域 Ω2 与平面区域 Ω1 的重叠部分就是区域 OACD, 易知
? 1 3? C ?-2,2? ,故由几何概型的概率公式,得所求概率 ? ?

P=

1 S四边形OACD 2-4 7 = 2 =8. S△AOB

答案 D
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规律方法 几何概型的概率求解,一般要将问题转化为长度、
面积或体积等几何问题.在转化中,面积问题的求解常常用到 线性规划知识,也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组 表示区域.几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的 区域的几何度量(长度、面积或体积)有关,而与区域的位置和形 状无关.

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【训练2-1】 (2014·安徽卷)从正方体六个面的对角线中任取两

条作为一对,其中所成的角为60°的共有
A.24对 C.48对 B.30对 D.60对

(

).

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解析

法一

直接法:如图,在上底面中选 B1D1,四个侧面中

的面对角线都与它成 60° ,共 8 对,同样 A1C1 对应的也有 8 对; 因此一个面上的 2 条面对角线与其相邻的 4 个面上的 8 条对角线 共组成 16 对,又正方体共有 6 个面,所以共有 16×6=96(对), 1 又因为每对被计算了 2 次,因此成 60° 的面对角线有 2 ×96= 48(对). 法二 间接法:正方体的 12 条面对角线中,任意两条垂直、平

行或成角为 60° ,所以成角为 60° 的共有 C2 12-12-6=48.

答案 C
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【训练 2-2】 (2014· 陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这 5 个 点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形边长 的概率为 1 A.5 3 C.5 2 B.5 4 D.5 ( ).

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解析

如图:不妨取正方形边长为 1.基本事件总数为 C2 5=10,

其中等于正方形边长 1 的有 AB,AD,DC,BC 共 4 条, 长度为 2的有 BD,AC,共 2 条, ∴不小于该正方形边长的有 6 条, 6 3 ∴概率为 P=10=5,故选 C.

答案 C

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1 .虽然由任何一组不完全相同的数据都可以求出回归直线方

程,但只有具有线性相关关系的一组数据才能得到有意义的
回归直线方程,求出的方程才具有实际价值;线性相关系数 可以是正、是负或是零,线性相关系数为正时表示正相关, 为负时表示负相关,反之也成立. 2.区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素

与顺序是否有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影
响,则是排列问题;若交换任意两个元素的位置对结果没有

影响,则是组合问题.也就是说排列问题与选取元素的顺序
有关,组合问题与选取元素的顺序无关.
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3 .排列、组合综合应用问题的常见解法:①特殊元素 ( 特殊位 置 ) 优先安排法;②合理分类与准确分步;③排列、组合混 合问题先选后排法;④相邻问题捆绑法;⑤不相邻问题插空

法;⑥定序问题倍缩法;⑦多排问题一排法;⑧“小集团”
问题先整体后局部法;⑨构造模型法;⑩正难则反、等价转 化法.

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4.几何概型与古典概型的异同:几何概型与古典概型是经常用
的两种概率模型,二者的共同点是基本事件是等可能的;不 同点是几何概型的基本事件数是无限的,古典概型的基本事 件数是有限的. 5.当某事件的概率不易直接求解,但其对立事件的概率易求解 时,可运用对立事件的概率公式(若事件A与事件B为对立事 件,则P(A)+P(B)=1),即用间接法求概率.

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