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2016届高考数学(理)二轮复习函数与方程及函数的应用常考试题复习课件_图文

?常考问题2 函数与方程及函数的应用 [真题感悟] [考题分析] ? 1.函数的零点与方程的根 ? ? ? ? (1)函数的零点 对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点. (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与 函数y=g(x)的图象交点的横坐标. ? ? (3)零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有 f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c) =0, 这个c也就是方程f(x)=0的根. 注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点. ? ? ? ? (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解. 2.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题 建模 求解 反馈 ? ? ? ?文字语言? ?数学语言? ?数学应用? ?检验作答? 与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保 等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问 题. 解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式, 然 后应用函数、 方程、 不等式和导数的有关知识加以综合解答. ? 3.在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时,数 形结合是基本的解题方法,即把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟 悉的函数的解析式,然后构造两个函数f(x),g(x),即把方程写成f(x)=g(x)的形式, 这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数,可以根据图象的变化趋势找到 方程中字母参数所满足的各种关系. 热点与突破 ? 热点一 函数零点的求解与判定 ? [例1] (1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是 ? ? ? A.0 B.1 C.2 D.3 ( ). (2)在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间 为 ? 1 ? A.?-4,0? ? ? ? 1 1? C.?4,2? ? ? ? 1? B.?0,4? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ? ( ). ? 解析 (1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y=2x,y=2 -x3在区间(0,1)内的图象的交点个数,作出图象(如图)即可知两个函数图象在区间 (0,1)内有1个交点,故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1. (2)因为 f′(x)=e x ? 1? ?1? ?1? +4>0,f?-4?<0,f(0)<0,f?4?<0,f?2?>0, ? ? ? ? ? ? ?1 1? f(x)在?4,2?上存在一零点,故 ? ? ?3? f?4?>0,由零点存在性定理知 ? ? 选 C. 答案 (1)B (2)C [ 规律方法 ] 在解决函数与方程问题中的函数的零点问题 时, 要学会掌握转化与化归思想的运用, 如本题直接根据已 知函数求函数的零点个数难度很大, 也不是初等数学能轻易 解决的, 所以遇到此类问题第一反应就是转化已知函数为熟 悉的函数再结合数形结合法求解. ? [训练1] (1)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的 零点是________. (2)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内 A.没有零点 C.有且仅有两个零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点 ? ?a=5, 得? ? ?b=-6, ( ). 解析 2 ? ?2 -2a-b=0, (1)由? 2 ? ?3 -3a-b=0, 2 1 1 ∴g(x)=-6x -5x-1 的零点为- ,- . 2 3 (2)在同一直角坐标系中分别作出函数 y= x和 y=cos x 的图 象,如图,由于 x>1 时,y= x>1,y=cos x≤1,所以两图 象只有一个交点,即方程 x-cos x=0 在[0,+∞)内只有一个根, 所以 f(x)= x-cos x, 在[0,+∞)内只有一个零点. 1 1 答案 (1)-2,-3 (2)B 热点二 函数与方程的综合应用 [ 例 2] (2013· 临沂 3 月联考 ) 已知直线 y = mx 与函数 f(x) = 1?x ? ? ? ,x≤0, ?2-? 3 ? ? ? ?1x2+1,x>0 ?2 m 的取值范围是 A.( 3,4) C.( 2,5) B.( 2,+∞) D.( 3,2 2) 的图象恰好有 3 个不同的公共点, 则实数 ( ). 解析 1?x ? ? ? ,x≤0, ?2-? 3 ? ? 作出函数 f(x)=? ?1x2+1,x>0 ?2 的图象,如图所示.直线 y=mx 的图象是 绕坐标原点旋转的动直线. 当斜率 m≤0 时, 直线 y=mx 与函数 f(x)的图象只有一个公共 点; 当 m>0 时,直线 y=mx 始终与函数 ?1? y=2-?3?x(x≤0)的图象 ? ? 有一个公共点,故要使直线 y=mx 与函数 f(x)的图象有三个 1 2 公共点,必须有直线 y=mx 与函数 y=2x +1(x>0)的图象有 1 2 两个公共点,即方程 mx=2x +1,在 x>0 时有两个不相等的 实数根,即方程 x2-2mx+2=0 的判别式 Δ=4m2-4×2>0, 且 m>0, 解得 m> 答案 B 2.故所求实数 m 的取值范围是 ? ? ? 2,+∞???. [ 规律方法] 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值 范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建 关于参数的方程或不等式求解. 2 ? ? ,x≥2, [训练 2] 已知函数 f(x)=?x 若关于 x 的方程 f(x)=k 3 ? ? x -

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