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高中数学第二章变化率与导数单元测试北师大版选修2-2资料


第二章

变化率与导数单元检测

(时间:45 分钟,满分:100 分) 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1.在曲线 y=x 上切线倾斜角为
2

? 的点是( 4

).

A.(0,0)
-x

B.(2,4)

C. ?

?1 1 ? , ? ? 4 16 ?

D. ?

?1 1? , ? ?2 4?

2.f(x)=3 ,则 f′(0)=( ). A.1 B.log3e 3.曲线 f(x)=

C.ln 3

D.-ln 3 ).

1 3 ? 4? x +x 上点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 ? 3?
B.
x

A.

1 9

2 9

C.

1 3

D.

2 3

4.函数 f(x)=e cos x 的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( A.0
2

). D.

B.

? 4
2 2

C.1

? 2
).

5. 抛物线 y=x +bx+c 上点(1,2)处的切线与其平行线 bx+y+c=0 间距离为( A.

2 4
2 3
-x

B.

C. ). C.

3 2 2
2 3 ln 3

D. 2

6.若 f(x)=log3(2x-1),则 f′(3)=( A. B.2ln 3
x

D.

2 5 ln 3

7.曲线 y=e -e 的切线的斜率的最大值为( ). A.2 B.0 C.-2 8.下列图像中,有一个是函数 f(x)=

D.-4

1 3 x +ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数 3

f′(x)的图像,则 f(-1)等于(

).

A. ?

1 3

B.

1 3

C.

7 3

D. ?

1 7 或 3 3

二、填空题(每题 5 分,共 15 分) 9.曲线 f(x)=2-

1 2 1 x 与 g(x)= x3-2 在交点处切线的夹角的正切值为__________. 2 4

10.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2,则 函数 y=f(x)的解析式为__________.

1

11.函数 f(x)=mx 的导数为 f′(x)=4x ,则 m+n=__________. 三、解答题(每题 15 分,共 45 分) 12.设 f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数 a,b,c,d,使得 f′(x)= xcos x. 13.若函数 y=f(x)在区间(-a,a)(a>0)内为偶函数且可导,试讨论 y=f′(x)在(- a,a)内的奇偶性. 14.设直线 l1 与曲线 y= x 相切于点 P,直线 l2 过点 P 且垂直于 l1,若 l2 交 x 轴于 Q, 又作 PK 垂直于 x 轴于 K,求 KQ 的长.

2m+n

3

2

参考答案 1. 答案:D 解析:y′=(x )′=2x=1, ∴x=
2

1 ?1 1? ?1? 1 ,y= ? ? ? ,∴点的坐标为 ? , ? . 2 ?2 4? ?2? 4
-x -x -x

2

2. 答案:D 解析:f′(x)=(3 )′=3 ln 3·(-x)′=-3 ln 3, 0 ∴f′(0)=-3 ln 3=-ln 3. 3. 答案:A 解析:f′(x)=x +1,∴k=f′(1)=2,切线方程为 y- 即 y=2x-
2

4 =2(x-1), 3

2 . 3

2 1 ,令 y=0,x= . 3 3 1 2 1 1 ∴S△= ? ? ? . 2 3 3 9
令 x=0,y= ? 4. 答案:B 解析:f′(x)=(e cos x)′=(e )′cos x+e (cos x)′=e cos x-e sin
x x x x x

x,
∴k=f′(0)=e cos 0-e sin 0=1,∴倾斜角为
0 0

π . 4

5. 答案:B 解析:由抛物线过点(1,2),得 b+c=1, 又 f′(1)=2+b,即 2+b=-b, ∴b=-1,∴c=2, 故所求切线方程为 x-y+1=0. ∴两平行直线:x-y-2=0 和 x-y+1=0 之间的距离为 d=

?2 ? 1 12 ? 12

?

3 3 2 . ? 2 2

6. 答案: D 解析: f′(x)=(log3(2x-1))′=

(2 x ? 1)? 2 ? , ∴f′(3) (2 x ? 1) ln 3 (2 x ? 1) ln 3



2 . 5 ln 3
7. 答案:B 解析:y′=k=-e -e =-(e +e )= ? ? e ?
-x

x

-x

x

? ?

x

1 x 1? ≤ ?2 x ? e =- x ? e e ?

2, 当且仅当

1 x =e ,即 x=0 时,等号成立. x e
2 2 2

8. 答案:A 解析:f′(x)=x +2ax+a -1=(x+a) -1,由 a≠0 知 f′(x)的图像为 第(3)个. 因此 f′(0)=0,故 a=-1, ∴f(-1)= ?

1 . 3
3 2

9. 答案:1 解析:联立方程得 x +2x -16=0,得交点(2,0),而 k1=f′(2)=-2, k2=g′(2)=3,
3

∴由夹角公式得 tan θ =
2

k1 ? k 2 =1. 1 ? k1k 2
2

10. 答案:f(x)=x +2x+1 解析:设 f(x)=a(x-m) ,则 f′(x)=2a(x-m)=2ax -2am=2x+2, 2 2 ∴a=1,m=-1,∴f(x)=(x+1) =x +2x+1. 2m+n-1 3 11. 答案:3 解析:由于 f′(x)=m(2m+n)x =4x , ∴?

?m(2m ? n) ? 4, ?2m ? n ? 1 ? 3. ? m ? 1, ? n ? 2,

解得 ?

∴m+n=3. 12. 解:f′(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]′ =[(ax+b)sin x]′+[(cx+d)cos x]′ =(ax+b)′sin x+(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′ =asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x =(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x=xcos x, ∴?

?a ? d ? cx ? 0, ?ax ? b ? c ? x,

∴a=d=1,b=c=0.

f (? x ? ?x) ? f (? x) f ( x ? ?x) ? f ( x) = lim ?x ? 0 ?x ?0 ?x ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) = lim (?1) =-f′(x), ?x ?0 ??x
13. 解:f′(-x)= lim ∴f′(x)为奇函数. 14. 解:设 P(x0,y0),则 k1=f′(x0)=

1 . 2 x0

由 l2 和 l1 垂直,故 k2= ?2 x0 . ∴l2 的方程为 y-y0= ?2 x0 (x-x0). 令 yQ=0, ∴-y0= ?2 x0 (xQ-x0), ∴ ? x0 = ?2 x0 (xQ-x0),

1 +x0,易得 xK=x0, 2 1 ∴|KQ|=|xQ-xK|= . 2
解得 xQ=
4


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