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2015-2016学年湖南省娄底市重点中学高二下学期期末考试数学(理)试题


2015-2016 学年度第二学期期末考试(数学)

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 一、选择题(60 分每题 5 分) 1.若 P={x|x<1},Q={x|x>1},则( A. P ? Q B. Q ? P

) C. CR P ? Q D. Q ? CR P )

2. ?ABC 中,已知 AB ? 3, BC ? 5, B ? A.

? ,这个三角形的面积等于(
3
C.

15 3 4

B.15

15 4

D.

9 2


3.在等差数列 ?an ? 中, 3 ? a3 ? a5 ? ? 2 ? a7 ? a10 ? a13 ? ? 24, 则该数列前13 项的和是( A.13 B. 26 C. 52 D. 156 4.甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站在甲丙之间的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 2 4 6

5. 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点, 则异面直线 AC 和 MN 所 成的角为( )

A. 30?

B. 45?

C. 60? )

D. 90?

6.如右框图,当 x1 ? 6,x2 ? 9, p ? 8.5 时, x3 等于(



1第

A.7

B.8

C.10
2

D.11

7.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 3 ,一个内角为 60? 的菱形,俯视图为正方形, 那么这个几何体的表面积为( )

A. 2 3

B. 4 3

C. 8

D.

4

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 8.已知实数 x ? ? ?1,1? , y ? ? 0, 2? ,则点 P ? x, y ? 落在区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,内的概率为( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A.



3 4

B.

1 4

C.

1 8

D.

3 8

1 ? ? 且其图像关于 轴对称, ? ?1 ?? 9. 设函数 f ? x ? ? sin ? 则函数 y ? f ? x ? 的 y ? x ? ? ? ? 3 cos ? x ? ? ? ? ? ? ? , 2? ?2 ? ?2 ?? 一个单调递减区间是( ) ?? ? ? ? ?? 3? ? A. ? B. ? C. ? D. ? , 2? ? ? 0, ? ? ,? ? ?? ,? ? ? 4? ? 2? ?2 ? ? 2 ? 2 ?
10.平面直角坐标系中 O 是坐标原点,已知两点 A(2,-1) ,B(-1,3),若点 C 满足 OC ? ?OA ? ? OB 其中
0 ? ? ? 1,0 ? ? ? 1, 且 ? ? ? ? 1 ,则点 C 的轨迹方程为

A. 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0(?1 ? x ? 2)

1 B. ( x ? ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 25 2 D. 2 x ? y ? 8 ? 0(?1 ? x ? 2)

11.设点 P 是函数 y ? ? 4 ? ( x ? 1) 2 图象上的任意一点,点 Q(2a, a ? 3) ( a ? R ) ,则 | PQ | 的最小值为 A. 5 ? 2


B. 5

C. 8 5 ? 2 5

D.

7 5 ?2 5

2第

2 ? ? x ? x, x ? ? 0,1? 12.定义域为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? 2 f ? x ? ,当 x ? ? 0, 2 ? 时, f ? x ? ? ? , x ?1.5 ? 0.5 , x ? 1, 2 ? ? ? ? ? ?

若 x ? ? ?4, ?2 ? 时, f ? x ? ? A. ? ?2, 0 ? ? ? 0,1?

t 1 ? 恒成立,则实数 t 的取值范围是( 4 2t
C. ? ?2,1?



B. ? ?2, 0 ? ? ?1, ?? ?

D. ? ??, ?2? ? ? 0,1?

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(20 分每题 5 分)

13.已知 14. 如图, 在 ?ABC 中, AN ?

,则

. .

1 2 点 P 是 BN 上一点, 若 AP ? m AB ? 则实数 m 的值为 NC , AC , 3 11

?21- x ,x ? 1, 15.设函数 f ( x) ? ? 则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 ?1 - log 2 x,x>1,
16.数列 ?an ? 的通项 an ? n 2 (cos 2



n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 为_______. 3 3

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

17 . ( 12 分)设数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足: a1 ?
(n ? N *)

b 2 b b 2 , 3an ?1 ? 2an ( n ? N *) , b1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? an ?1 ? 3 2 3 n 3

(1)求数列 ?an ? ?bn ? 的通项公式; (2)求数列{ bn }前 n 项的和 S n 。 18. (10 分) 某校 100 位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示, 其中成绩分组区间是: ?50,60 ? 、

?60,70 ? 、 ?70,80 ? 、 ?80,90 ? 、 ?90,100? .



3第

(Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分. 19. (12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD , E , F 分 别为棱 AB, PC 的中点. P F D

C E B

A

(1)求证: EF // 平面 PAD ; (2)求证:平面 PDE ? 平面 PEC .
2 2 20. (本题满分 12 分)已知圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 ,直线 l1 过定点 A(1, 0)

(1)若直线 l1 与圆相切,切点为 B ,求线段 AB 的长度; (2) 若 l1 与圆相交于 P, Q 两点,线段 PQ 的中点为 M ,又 l1 与 l2 :x ? 2 y ? 2 ? 0 的交点为 N ,判断 AM ? AN 是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由 21. (12 分)
页 4第

已知 sin

x x ? 2 cos ? 0 . 2 2

(Ⅰ)求 tan x 的值; (Ⅱ)求

cos 2 x 2 cos(

?
4

的值.

? x) ? sin x

22. (12 分)设函数 f ( x) ? ka x ? a ? x (a ? 0且a ? 1, k ? R) , f ( x) 是定义域为 R 上的奇函数. (1)求 k 的值,并证明当 a ? 1 时,函数 f ( x) 是 R 上的增函数;

3 ,函数 g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 4 f ( x) , x ? [1, 2] ,求 g ( x) 的值域; 2 1 1 (3)若 a ? 4 ,试问是否存在正整数 ? ,使得 f (2 x) ? ? ? f ( x) 对 x ? [ ? , ] 恒成立?若存在,请求出所 2 2 有的正整数 ? ;若不存在,请说明理由.
(2)已知 f (1) ?

参考答案 1.D 试题分析:因为 P ? x x ? 1 ,? CR P ? x x ? 1 ,又因为 Q ? x x ? 1 ,所以 Q ? CR P ,故选 D. 2.A 试题分析: S ?ABC ? 3.B 试题分析:由 3 ? a3 ? a5 ? ? 2 ? a7 ? a10 ? a13 ? ? 24, 有 6a4 ? 6a10 ? 24 ,所以 a4 ? a10 ? 4 ,所以该数列前13 项
页 5第

?

?

?

?

?

?

1 15 3 ,故选 A. AB ? BC sin B ? 4 2

的和 S13 ? 4.B

13(a1 ? a13 ) 13(a4 ? a10 ) 13 ? 4 ? ? ? 26 ,故选 B. 2 2 2
2 A2 ,故选 B. 3 A3

试题分析:乙正好站在甲丙之间的概率 p ? 5.C

试题分析: 由中点 M,N 可知 MN∥AD1 , 由 ?D1 AC 是正三角形可知 ?D1 AC ? 60? , 所以异面直线 AC 和 MN 所成的角为 60? 6.B 试题分析:因为 x ? 6, x2 ? 9 ,所以 且满足 x1 ? x2 ? x2 ? x3 ,故选 B. 7.D 试题分析:因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 3 ,且一个内角为 60? 的菱形,所以菱形的 2 边长为 1 , 由三视图可得, 几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成, 底面边长为 1 , 侧棱长为 3 , 2 1 所以几何体的表面积为: 8 ? ?1?1=4 ,故选 D. 2 考点:1、三视图;2、多面体的表面积. 8.D 3 1? 3 试题分析:不等式组表示的区域如图所示,阴影部分的面积为 1 ? ? ? 2 ? ? ? ?1 ? 1? ? ,则所求的概率为 , 8 2 ? 2? 2 故选 D.

x ?x x1 ? x2 ? 7.5 ? 8.5 ,由程序框图可知, p ? 2 3 ? 8.5,? x3 ? 8, 并 2 2

9.C 试题分析: 函数 f ? x ? ? 2 ? sin ?

?1

?2

3 ?? ?1 ? ?1 ?? ?1 图像关于 y 轴对称, x ?? ? ? cos ? x ? ? ? ? ? 2sin ? x ? ? ? ? , 3? ?2 ? 2 ?2 ?? ?2



6第

? ? 5? ? k? ? k ? Z ? ,又因为: ? ? ,所以当 k ? ?1 时,? ? ? , 2 6 6 1 1 ?? 1 所以 f ? x ? ? 2 sin ? 所以 y ? f ? x ? 单调递减区间: 由 ?? ? 2k? ? x ? 2k? , k ? Z ? x ? ? ? ?2 cos x , 2 2? 2 ?2
必有 ? ?

?

3

?

?

2

? k? ? k ? Z ? 所以:? ?

解得: ?2? ? 4k? ? x ? 4k? , k ? Z ,所以 y ? f ? x ? 的单调递减区间是: ? ?2? ? 4k? , 4k? ? ? k ? Z ? ,当
k ? 0 时,单调递减区间是:

? ?2? , 0? ,显然 C 正确.

10.C

3x ? y ? ?? ? ?2? ? ? ? x 5 ,代入 试题分析:设点 C ( x, y ) ,则 ( x, y) ? (2?, ??) ? ( ? ?,3 ?) ,则有 ? ,解得 ? ? ? ? ? 3 ? ? y x ? 2y ? ?? ? ? 5 ?
? ? ? ? 1 中,得点 C 的轨迹方程为 4 x ? 3 y ? 5 ? 0(?1 ? x ? 2) .

11.A 试题分析:函数 y ? ? 4 ? ? x ? 1? 化为 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 ? y ? 0 ? 表示圆的下半部分,点 Q(2a, a ? 3) 在直
2
2

线 x ? 2 y ? 6 ? 0 上,结合图形可知 | PQ | 的最小值为圆心 ?1, 0 ? 到直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 的距离减去圆的半径

d?

1? 6 5

?2? 5?2

12.D

试题分析: 当

时,



; 当

时,



,当

时,





;当

时,

, . 13.



,综上所述

,故

,解得

1 7

?? ?? ? ? 1 1 tan ? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 1 2? 2? ? ? ? 2 3 试题分析:因为 tan ? tan ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 1 1 ?? ? ?? 2 2 2? 7 ? ? 1 ? tan ? ? ? ? tan ? ? ? ? 1 ? ? (? ) 2 3 2 2 ? ? ? ?
14.

3 11

试题分析: AN ?


???? ???? ??? ? ??? ? 8 ???? 8 3 1 (在 ? ABN 中,如 ?1? m ? NC ? AC ? 4 A? ? ?? ? m AB ? AN ? m ? 11 11 3 11
7第

果: AP ? mAB ? n AN 则: m 15. [0, ??)

??? ?

????

? n ? 1 ).

试题分析: 当 x ? 1 时,f ( x) ? 2 ? 21? x ? 2 , 即1 ? x ? 1 , 解得 x ? 0 ; x ? 1 时,f ( x) ? 2 ? 1 ? log 2 x ? 2 , 解得 x ? 16.470 试题分析:依题意可得 an ? n 2 cos

1 ,所以满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 [0, ??) . 2
2n? 1 1 1 ,所以 a1 ? ? ?1, a2 ? ? ? 22 , a3 ? 32 , a4 ? ? ? 42 ,... . 所以 3 2 2 2
. 即 即

S30 ? ?
S30

1 1 1 1 1 ? ? 22 ? 3 2 ? ? 4 2 ? ? 5 2 ? 6 2 ? ? 7 2? ??? 2 2 2 2 2 1 3 ? ? (1 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 7 2 ? ??? ? 302 ) ? (32 ? 62 ? ??? ? 302 ) 2 2

1 30 ? 31? 61 3 2 10 ?11? 21 S30 ? ? ? ? ?3 ? ? 470 .故填 470. 2 6 2 6
2 2 17.试题解析: (1)? a1 ? 2 ,3an ?1 ? 2an ,? an ?1 ? 2 , ?an ? 为首项为 ,公比为 的等比数列, 3 3 3 an 3

2 2 n ?1 2 ? ( ) ? ( )n 3 3 3 b b b 2 又? b1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? an ?1 ? ① 2 3 n 3 2 2 令 n ? 1, b1 ? a2 ? ? ? 3 9 b b b 2 令 n ? 2, b1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?1 ? an ? ② 2 3 n ?1 3 b 1 2 2 2 ①-②得, n ? an ?1 ? an ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? ( ? )( ) n 3 3 n 3 3 n 2 ? bn ? ( ? )( ) n (n ? 2) ,当 n ? 1 时,满足此式。 3 3 n 2 ? bn ? ( ? )( ) n (n ? N *) ………………………………………………………6 分 3 3 ? an ?
(2)令 b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn ? S n

n 2 ? 1 ?? 2 ? ? 2 ?? 2 ? ? 2 ? ? 4 ?? 2 ? Sn ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? ?? ? ? ... ? (? )( )n 3 3 ? 3 ?? 3 ? ? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ?? 3 ?

2

3

4

2 n 2 ? 1 ?? 2 ? ? 2 ?? 2 ? ? 2 ? ? 4 ?? 2 ? Sn ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? ?? ? ? ... ? (? )( )n ?1 3 3 3 ? 3 ?? 3 ? ? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ?? 3 ?
相减得:

2

3

4

5

1 2 1 ?2? ?2? ?2? ?2? 2 n 2 Sn ? ? ? (? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ( ) n ) ? ( )( ) n ?1 3 9 3 ?3? ?3? ?3? ?3? 3 3 3
2 3 4 5

2

3

4

5

1 2 ?2? ?2? ?2? ?2? 2 n 2 ? ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ( )n ) ? ( )( )n ?1 3 3 ?3? ?3? ?3? ?3? 3 3 3
页 8第

2 2 (1 ? ) 1 3 ? ( n )( 2 ) n ?1 ? ? 2 ? ( 2 )n ?1 ? ( n )( 2 ) n ?1 ? (? ) 3 2 3 3 3 3 3 1? 3 3 3
??
2 2 n 2 ? ( ? 1)( ) n ?1 ? S n ? ?2 ? (n ? 3)( ) n ?1 3 3 3 3 ……………………………………12 分

n

18. (1) a ? 0.005 (2)73 试题解析:解: (Ⅰ)由 ? 2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04 ? ? 10 ? 1 ,解得 a ? 0.005 ………………5 分 (Ⅱ) 0.05 ? 55 ? 0.4 ? 65 ? 0.3 ? 75 ? 0.2 ? 85 ? 0.05 ? 95 ? 73 .……………………10 分 19.试题解析:证明: (1)取 PD 的中点 G ,连接 AG, FG . 因为 F , G 分别是 PC , PD 的中点,

所以 GF // DC ,且

GF ?

1 DC 2 ,
AE ? 1 DC 2 ,

又 E 是 AB 的中点,所以 AE // DC ,且

所以 GF // AE ,且 GF ? AE , 所以 AEFG 是平行四边形,故 EF // AG . 又 EF ? 平面 PAD , AG ? 平面 PAD , 所以 EF // 平面 PAD . ………………………………………………………6 分 (2)因为 PD ? 底面 ABCD , EC ? 底面 ABCD , 所以 CE ? PD . 取 DC 中点 H ,连接 EH . 因为 ABCD 是矩形,且 AB ? 2 AD , 所以 ADHE , BCHE 都是正方形, 所以 ?DEH ? ?CEH ? 45? ,即 CE ? DE . 又 PD, DE 是平面 PDE 内的两条相交直线, 所以 CE ? 平面 PDE . 而 CE ? 平面 PEC ,所以平面 PDE P F D A 图2 E H C B

? 平面 PEC

. ……………………………12 分

20.(1)4………………………………………………………………………4 分 (2)易知,若斜率不存在,则 l1 与圆相切,
页 9第

若斜率为 0,则 l1 与圆相离,故直线的斜率存在,

?x ? 2 y ? 2 ? 0 2k ? 2 ? 3 k 可 设 l1 的 方 程 : y ? k ( x ? 1) 由 ? 解 得 N( , ) , 再 由 CM ? l1 解 得 y ? k ( x ? 1) 2 k ? 1 2 k ? 1 ?
1 ? 2 2 k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k ? y ? 4 ? ? ( x ? 3) 解得 M ( k ? 4k ? 3 , 4k ? 2k ) , 又直线 , CM ? l , ) k 1 ? 1? k 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2 ? y ? k ( x ? 1) ?
2 2 | 2k ? 1 | 2 3 1? k 1 ? k ? ? 6 为定值………………………12 分 1? k2 | 2k ? 1 |

M(

所以 AM ? AN ?

1 4 21. (Ⅰ) 3 ; (Ⅱ) 4

?

试题解析: (Ⅰ)由

sin

x x x ? 2 cos ? 0 ? tan ? 2 2 2 2 , .

? tan x ?

2 tan

x 2 x 2

?

1 ? tan 2

2? 2 4 ?? 2 3 1? 2
.………………………………………6 分

cos 2 x ? sin 2 x 2(
(Ⅱ)原式=

2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2

?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) cos x ? sin x ? (cos x ? sin x) sin x sin x

1 3 ? (? ) ? 1 ? 4. 4

…………………………………………………………12 分

22. (1)试题分析:解: (1)? f ( x) ? ka x ? a x 是定义域为 R 上的奇函数, ? f (0) ? 0 ,得 k ? 1 . 此时, f ( x ) ? a x ? a ? x , f (? x) ? a ? x ? a x ? ? f ( x) ,即 f ( x) 是 R 上的奇函数. 设 x2 ? x1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a x2 ?
? a ? 1 ,? a x2 ? a x1 ,?

1 1 1 ? (a x1 ? x1 ) ? (a x2 ? a x1 )(1 ? x2 x1 ) , x2 a a a a

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , ? f ( x) 在 R 上为增函数.…………4 分

(2)? f (1) ?

1 3 1 3 , ,? a ? ? ,即 2a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ,? a ? 2 或 a ? ? (舍去) 2 2 a 2

? g ( x) ? 22 x ? 2?2 x ? 4(2x ? 2? x ) ? (2x ? 2? x )2 ? 4(2x ? 2? x ) ? 2
3 15 令 t ? 2 x ? 2? x (1 ? x ? 2) ,由(1)知 t ? h( x) 在[1,2]上为增函数,∴ t ? [ , ] , 2 4

? g ( x) ? ? (t ) ? t 2 ? 4t ? 2 ? (t ? 2) 2 ? 2 ,
页 10 第

当t ?

17 15 时, g ( x) 有最大值 ;当 t ? 2 时, g ( x) 有最小值 ?2 , 16 4 17 ].…………………………………………………………………8 分 16

∴ g ( x) 的值域[-2,

(3) f (2 x) ? 42 x ? 4?2 x = (4 x ? 4? x ) ? (4 x ? 4? x ) , f ( x) ? 4 x ? 4? x , 假设存在满足条件的正整数 ? ,则 (4 x ? 4? x ) ? (4 x ? 4? x ) ? ? ? (4 x ? 4? x ) , ①当 x ? 0 时, ? ? R . 1 1 1? x ?x x x ②当 x ? ? ? 0, ? 时, 4 ? 4 ? 0 ,则 ? ? 4 ? 4 x ,令 u ? 4 ,则 u ? ?1, 2 ? ,易证 z ? u ? u 在 u ? ?1, 2? 上 2 ? ? 是增函数,∴ ? ? z (1) ?

17 . 4

1 1 ? 时,4 x ? 4? x ? 0 , ③当 x ? ? ? 1 , 0 ? 则 ? ? 4x ? x , 令 u ? 4x , 则 u ? ? 1 ,1? , 易证 z ? u ? 在 u ? ? 1 ,1? ? ? ? ? ? u 4 ? 2 ? ?2 ? ?2 ? 5 上是减函数,∴ ? ? z (1) ? . 2
综上所述,

5 17 ,∵ ? 是正整数,∴ ? =3 或 4. ??? 2 4

∴存在正整数 ? =3 或 4,使得 f (2 x) ? ? ? f ( x) 对 x ? [ ?

1 1 , ] 恒成立.………………12 分 2 2



11 第


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