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高三培优试题二 导数

高三培优试题(导数二)
1. (2011 哈尔滨期末)已知函数 f ( x) ? e x ? kx( x ? R) (1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k ? 0 且对任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ,求证: F (1) ? F (2) ? F (n) ? (e
n ?1

? 2) (n ? N ? )

n 2

2. (2011·湖北重点中学二联) 设函数 f ( x) ? x ? ae
x ?1



(I)求函数 f ( x ) 单调区间; (II)若 f ( x) ? 0对x ? R 恒成立,求 a 的取值范围; (III)对任意 n 的个正整数 a1 , a2 ,? , an .记A ?

a1 ? a2 ? ? an n

ai ?1 ai (1)求证: ? e A (i ? 1, 2,? n) (2)求证: A ? n a1a2 ? an A

1

3. (2011·九江七校二月联考) (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x x

1 (1)若函数在区间 (a, a ? ) 上存在极值,其中 a >0,求实数 a 的取值范围; 2 k (2)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1

(3)求证: ? (n ? 1)! ? (n ? 1) ? e n ? 2 (n ? N ? ) 。 ?
2

4. (理)已知 f ( x) = In(1 + x 2 ) + ax(a ≤ 0) (1)讨论 f (x) 的单调性; (2)证明: (1 +
1 1 1 ? )(1 + 4 ) ?(1 + 4 ) < e(n∈ N * ), n ≥ 2 其中无理数 e = 2.71828 ) . 4 2 3 n

2

5. 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 ? ax, x ? ? 0, ?? ? (a 为实常数). x (1) 当 a = 0 时,求 f ? x ? 的最小值;
(2)若 f ? x ? 在 [2, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围; (3)设各项为正的无穷数列 {xn } 满足 ln xn ?

1 ? 1? n ? N * ? , 证明: xn ≤1(n∈N*). xn?1

6. 2011·温州八校联考) ( (本小题满分 15 分)

设函数f ( x) ? ex ? sin x, g ( x) ? ax, F ( x) ? f ( x) ? g ( x).
(1)若x=0是F ( x)的极值点,求a的值; a 1 (2)当a= 时,若存在x1、x2 ? ? 0, ?? ? 使得f (x1 )=g(x2 ),求x2 -x1的最小值; 3 (3)若x ? ?0,+? ?时,F(x)? F(-x)恒成立,求a的取值范围。

3

7. (2011

杭州质检)已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln x(a ? R) .
1 时,求 f ( x ) 在区间 ?1,e? 上的最大值和最小值; 2

(1)当 a ?

(2)如果函数 g ( x) , f 1( x ) , f 2( x) ,在公共定义域 D 上,满足 f 1( x) ? g ( x) ? f 2( x) , 那么就称为 g ( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的“活动函数” . 已知函数 f 1( x) ? ( a ? ) x ? 2ax ? (1 ? a ) ln x , f 2( x) ?
2 2

1 2

1 2 x ? 2ax . 2

①若在区间 ?1, ?? ? 上,函数 f ( x ) 是 f 1( x ) , f 2( x) 的“活动函数” ,求 a 的取值范围; ②当 a ? 多个.

2 时,求证:在区间 ?1, ?? ? 上,函数 f 1( x ) , f 2( x) 的“活动函数”有无穷 3

4


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