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《1.4柱坐标系与球坐标系》教学案3

《柱坐标系与球坐标系简介》教学案
教学目的:
知识目标:了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标:了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式.
教学重点:
体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系
教学难点:
利用它们进行简单的数学应用
授课类型:
新授课
教学模式:
启发、诱导发现教学.
教 具:
多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入: 情境:我们用三个数据来确定卫星的位置,即卫星到地球中心的距离、经度、纬度. 问题:如何在空间里确定点的位置?有哪些方法? 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课: 1、球坐标系
设P是空间任意一点,在oxy平面的射影为Q,连接OP,记| OP |= r ,OP与OZ轴正向
所夹的角为? ,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为? ,点P的位置可以用 有序数组 (r,? ,?) 表示,我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系).
有序数组 (r,? ,?) 叫做点P的球坐标,其中 r ≥0,0≤? ≤? ,0≤? <2? . 空间点P的直角坐标 (x, y, z) 与球坐标 (r,? ,?) 之间的变换关系为:

?x2 ? y2 ? z 2 ? r 2

? ?x

?

r sin ?

cos ?

? ?y

?

r sin ?

sin ?

??z ? r cos ?

2、柱坐标系

设P是空间任意一点,在oxy平面的射影为Q,用(ρ ,θ )表示点在平面oxy上的极坐标,

点P的位置可用有序数组(ρ ,θ ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.

有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱坐标,其中ρ ≥0, 0≤θ <2π , z∈R.

空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ ,θ ,Z)之间的变换关系为:

?x ? ? cos?

? ?

y

?

?

sin

?

?? z ? z

3、数学应用

例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.

变式训练 建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.
例2.将点M的球坐标 (8, ? , 5? ) 化为直角坐标. 36

变式训练
1.将点M的直角坐标(?1,?1, 2)化为球坐标. 2.将点M 的柱坐标(4,? ,8)化为直角坐标.
3 3.在直角坐标系中点(a,a,a) (a >0)的球坐标是什么?
例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.

变式训练
标满足方程 ? =2的点所构成的图形是什么?

例4.已知点M的柱坐标为 ( 2, ? ,3),点N的球坐标为(2,? ,? ),求线段MN的长度.

4

42

思考:

在球坐标系中,集合 M

?

???(r,? ,? )2 ??

?

r

?

6,0

??

?

? ,0 2

??

?

2?

? ?表 ?

示的图形的体积为多少?

三、小结: 本节课学习了以下内容: 1.柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法; 2.柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式.

四、课后作业: