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2008-2009学年高二数学文期末模拟试卷及答案

江苏省灌云高级中学 2008-2009 学年高二数 学期末模拟试卷(文) 2008-12-28
命题:张礼恩 审核: 赵 娟 注意事项:1.本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2.请将试卷答案做在答卷纸上的指定位置,在其它位置作答一律无效. 参考公式: ? ?
2

n(ad ? bc) 2 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据:

P ? ? 2 ? x0 ?

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

x0

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 0 ”的否定是
2



. (要求用数学符号表示)

1.解析: ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

2.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为 2.解析: (1,0) 3.曲线 y ? e ? sin x ? ln x 在 x ?
x





?
2

处的切线的斜率为





3.解析: e 2 ?

?

2

?
2

4. “ x ? 1 ”是“ x ? x ”的



条件(填写“充分而不必要” 、 “必要而不充分” 、
频率 组距

“充分必要” 、 “既不充分也不必要”的一种情况) . 4.解析:充分而不必要 5.为了了解高三学生的身体状况.抽取了部分男生的 体重,将所得的数据整理后,画出了频率分布 直方图 (如图),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比 为 1︰2︰3,第 2 小组的频数为 12,则抽取的男生人 数是 5.解析:48 ▲ .
0.0125 0.0375

50

55 60

65

70 75 体重

第5题

6. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y2 则 p 的值为 ? ? 1 的右焦点重合, 6 2



.

6.解析:4 7.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相 同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为 5 或 7 的概率是 7.解析: ▲ .

2 5
▲ .

8.一个用流程图表示的算法如图所示,则其运行后输出的结果为 8.解析:1320 9.如图,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线是 l ,则 f (2) ? f ?(2) =
开始





y 4.5
N 输出 S 结束

i=12,S=1 i≥10
Y

l

S=S×i i=i-1 (第 8 题图) 9.解析:

O

2 4 y=f(x)

x

(第 9 题图)
开始 输入 N
i ?1 m ?0

9 8
▲ .

10. 椭圆的两个焦点和短轴两个顶点, 是一个含 60° 角的菱形的 四个顶点,则椭圆的离心率为 10.解析:

3 1 或 2 2

i?N



11.定义函数 CONRND( a, b )是产生区间( a, b )内的任何一个 实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计 ? 的值.现 在 N 输入的值为 100,结果 m 的输出值为 21,则由此可估计 ? 的


A ? CONRND (?1,1) B ? CONRND (?1,1)

输出 m

A2 ? B2 ? 1



结束

近似值为






m ? m ?1

11.解析:3.16

4x 在区间 (m, m ? 1) 上是单调递增函数, x ?1 则实数 m 的取值范围为 ▲ .
12.若函数 f ( x) ?
2

i ? i ?1

第 10 题图

12.解析: [?1, 0]

13.A、B 是双曲线 的最大值为 13.解析:8 ▲

x2 y 2 ? ? 1 右支上的两点,若弦 AB 的中点到 y 轴的距离为 4,则 AB 4 5


14.已知命题 p :" ?x ? [1, 2],

1 2 x ? ln x ? a ? 0" 与命题 2
▲ .

q :" ?x ? R, x 2 ? 2ax ? 8 ? 6a ? 0" 都是真命题,则实数 a 的取值范围是
14.解析: (??, ?4] ? [?2, ]

1 2

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.(本题满分 14 分) 下表是某中学对本校初中二年级女生身高情况进行抽测后所得的部分资料 (身高单位: cm,测量时精确到 1cm)。已知身高在 151cm (含 151cm)以下的被测女生共 3 人. ⑴ 求所有被测女生总数; ⑵ 求身高在 161cm (含 161cm)以上的被测女生数; ⑶ 完成频率分布直方图. 分 组 频 率 0.02 0.04 0.08 0.12 0.30 0.20 0.18 0.06
145.5 148.5

[145.5,148.5) [148.5,151.5) [151.5,154.5) [154.5,157.5) [157.5,160.5) [160.5,163.5) [163.5,166.5) [166.5,169.5] 15.解析:⑴

3 =50(人)???????????????????3 分 0.04+0.02

⑵(0.2+0.18+0.06)×50=22(人) ??????????????????6 分 ⑶要点:横轴:身高/cm;纵轴:频率/组距;?????????????8 分 作图略??????????????????????????14 分 16.(本题满分 14 分)

设 p:方程

x2 y2 4 ? ? 1 表示双曲线;q:函数 g ( x) ? x3 ? mx 2 ? (m ? ) x ? 6 在 R 上 1 ? 2m m ? 2 3

有极大值点和极小值点各一个.求使“p 且 q”为真命题的实数 m 的取值范围. 16.解析:p : (1 ? 2m)(m ? 2) ? 0 则 m ? ?2 或 m ? q: g ?( x) ? 3x 2 ? 2mx ? m ?

1 2

4 则 ? ? 0 所以 m ? ?1 或 m ? 4 3

因为 p 且 q”为真命题,所以 m ? ?2 或 m ? 4 17.(本题满分 14 分) 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院 抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 期 1 月 10 日 10 2 月 10 日 11 25 3 月 10 日 13 29 4 月 10 日 12 26 5 月 10 日 8 16 6 月 10 日 6 12

昼夜温差

x(°C)
就诊人数 y(个) 22

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回 归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率;(5 分) (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性

y ? bx ? a ;(6 分) 回归方程 ?
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认 为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3 分)

(参考公式: b ?

? xi yi ? nx y
i ?1 n

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? bx )

2

17.解析:(1)设抽到相邻两个月的数据为事件 A.因为从 6 组数据中选 取 2 组数据共有 15 种情况,每种情况都是等可能出现的 ???????????? (2 分) 其中,抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种 ???????????? (3 分) 所以 P(A) ?

5 1 ? 15 3

???????????????????????? (5

分) (2)由数据求得 x ? 11, y ? 24 分) 由公式求得 b ? (9 分) 再由 a ? y ? bx ? ? 分) 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ? y? (3)当 x ? 10 时, ? y? ???????????????? (7

18 7 30 7

????????????????????

????????????????????(10

18 30 x? 7 7

??????????? (11 分)

150 150 , | ? 22 |? 2 ; ??????????? (12 分) 7 7 78 78 同样, 当 x ? 6 时, ? , | ??????????????(13 分) y? ? 14 |? 2 7 7
所以,该小组所得线性回归方程是理想的. 18.(本题满分 16 分) 如图,已知矩形 ABCD 的一边 AB 在 x 轴上,另两个顶点 C,D 落 在抛物线弧 y ? ? x ? 2 x (0 ? x ? 2) 上.设点 C 的横坐标为 x.
2

??????????????(14 分)

y D C x O A 1 B 2

(1)将矩形 ABCD 的面积 S ( x) 表示为 x 的函数; (2)求 S ( x) 的最大值.

19. (本题满分 16 分) 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上的点到焦点的最 2

短距离为 1 ? e, 直线l 与 y 轴交于 P 点 (0, m) , 与椭圆 C 交于相异两点 A、 B, 且 AP ? ? PB. (1)求椭圆方程; 19.解: (1)设 C : (2)若 OA ? ? OB ? 4OP , 求m 的取值范围.

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0), 设c ? 0, c 2 ? a 2 ? b 2 , a2 b2
2 c 2 , ? , 2 a 2

由条件知 a ? c ? 1 ?

∴ a ? 1, b ? c ?

2 , 2

x2 故 C 的方程为: y ? ? 1 ????????4 分 1 2
2

(2)由 AP ? ? PB得, OP ? OA ? ? (OB ? OP ), (1 ? ? )OP ? OA ? ? OB, ∴ ? ? 1 ? 4, ? ? 3 ??????????5 分 设 l 与椭圆 C 交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? y ? k x ? m, 得(k 2 ? 2) x 2 ? 2k mx ? (m 2 ? 2) ? 0 ? 2 2 ?2 x ? y ? 1

? ? (2km) 2 ? 4(k 2 ? 2)( m 2 ? 1) ? 4(k 2 ? 2m 2 ? 1) ? 0 (*)

x1 ? x2 ?

? 2km m2 ?1 ????????7 分 , x x ? 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2

∵ AP ? 3PB ∴ ? x1 ? 3x2 ∴?

? x1 ? x 2 ? ?2 x 2
2 ? x1 x 2 ? ?3 x 2

消去 x 2 , 得3( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 0,
2

∴ 3(

? 2km2 2 m2 ?1 ) ? 4 ?0 k2 ? 2 k2 ? 2
2 2 2 2

整理得 4k m ? 2m ? k ? 2 ? 0 ??????9 分

1 1 2 ? 2m 2 m 2 ? 时, 上式不成立 : m 2 ? 时, k 2 ? , 4 4 4m 2 ? 1
因 ? ? 3, ∴k ? 0 ∴k ?
2

2 ? 2m 2 ? 0, 4m 2 ? 1

∴ ?1 ? m ? ? 或
2 2

1 2

1 ? m ?1 2

容易验证 k ? 2m ? 2成立, 所以(*)成立

即所求 m 的取值范围为 (?1,? ) ? ( ,1) ??????16 分

1 2

1 2

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax (a ? R) . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 a >0 时,求函数 f ( x) 在 [1, 2] 上最小值. 20. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 ? a ( x ? 0 ), x 1 ①当 a ≤ 0 时, f ?( x) ? ? a >0, x
故函数 f ( x) 增函数,即函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, ??) .

???????2 分

???????4 分

1 1 ? ax 1 1 ? ax 时, f ?( x) ? ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? ?0, a x x a 1 1 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ] ,单调减区间是 [ , ??) . ?????? 8 分 a a 1 (Ⅱ)①当 ? 1 ,即 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间[1,2]上是减函数, a
当0? x ? ∴ f ( x) 的最小值是 f (2) ? ln 2 ? 2a . ②当 ??????10 分

1 1 ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? ? a ? 0 ,可得 x ? , x a

1 1 ? 2 ,即 a ? 时,函数 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数, a 2

∴ f ( x) 的最小值是 f (1) ? ?a . ??????12 分 1 1 1 1 ③当 1 ? ? 2 ,即 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在 [1, ] 上是增函数,在 [ , 2] 是减函数. a 2 a a 又 f (2) ? f (1) ? ln 2 ? a , ∴当

1 ? a ? ln 2 时,最小值是 f (1) ? ?a ; 2 当 ln 2 ? a ? 1 时,最小值为 f (2) ? ln 2 ? 2a .

??????15 分

综上可知, 当 0 ? a ? ln 2 时 , 函数 f ( x) 的最小值是 f ( x)min ? a ;当 a ? ln 2 时,函数

f ( x) 的最小值是 f ( x)min ? ln 2 .

??????16 分


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