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三角函数图象与性质纠错清源


三角函数图象与性质纠错清源
三角函数的图象与性质是考试的重点内容,在高考题中一般为中档题,但由于部分同 学概念,方法不太清楚,经常会出现失误,导致“因小失大” .本文将同学们做题时常出现 的典型错误进行部析,以期使同学对问题的本质更加理解. 例 1.函数 y ? A sin ( ω x ? φ )( x ? R , A ? 0, ω ? 0, φ ? 什么?
π 2 ) 的图象如图所示,则其解析式是

错解:由振幅可以看出 A=2;由于图象过(0,1) ,所以 1 ? 2 sin( ω ? 0 ? φ ) , sin φ ?
φ ? ω? π

1 2

,又

,故 φ ?
? π

π 6

;再将 (

1 1π 12

, 0 ) 代 入 函 数 解 析 式 , 得 0 ? 2 sin ( ω ? ( k ? Z ) ,当 k=1 时, ω ? 10 11

1 1π 12

?

π 6

) ,所以

2 1 1π 12

? kπ ( k ? Z ) , ω ? x? π 6 1 1π 12 ? ).

12k ? 2 11

,故函数解析式为

y ? 2 sin (

6 10 11

剖析:问题主要出在令 ω ?

π 6

? kπ ( k ? Z ) 这一步. (
1 1π 12 ?

1 1π 12

, 0 ) 这一个平衡位置上的点,

是 五 点 法 作 图 中 的 第 一 点 , 所 以 ω?
ω? 1 1π 12 ? π 6 π 6 ) . ? 2 kπ ( k ? Z ) .从而得到 ω ? 24k ? 2 11

π 6

? π ? 2 kπ ( k ? Z ) , 而 应 为

( k ? Z ) ,当 k=1 时, ω ? 2 ,故函数解

析式应为 y ? 2 sin(2 x ?

变式体验:若图象改为下图,则函数解析式是什么?

例 2.已知函数 f ( x ) ?

3 sin ω x ? co s ω x ? co s ω x ?
2

3 2

( ω ? R , x ? R ) 的最小正周期为 π ,

且图象关于直线 x ?
3 2

π 6

对称,则函数的解析式是什么?
1 ? co s 2 ω x 2 3 2

错解: f ( x ) ?

sin 2 ω x ?

?

=

3 2
3 2

sin ( 2 ω x ?

π 6

) ? 1 ,? 函数的最小正周期

为 π ,∴

2π 2ω

? π , ω ? 1 ,函数解析式为 y ?

sin ( 2 x ?

π 6

) ?1.

剖析:本题条件中没有说明 ω ? 0 ,所以周期应为
π 6

2π 2ω

? π , ω ? ? 1 ,再由图象关于直线

x ?

对称知 ω ? ? 1 .
π 2

评注:我们做习题时,当题目中未注明 A ? 0, ω ? 0, φ ? 情况,不要受到思维定势的负面影响. 例 3.已知已知 3 sin ? ? 2 sin
2 2

等条件时,就一定要考虑到一般

? ? 2 sin ? ,求 y ? sin ? ? sin
2

2

? 的取值范围.

错解:∵ 3 sin ? ? 2 sin
2

2

? ? 2 sin ? ,∴ sin
1 2 sin
2

2

? ? ?
1 2

3 2

sin

2

? ? sin ?
2

从而 y ? sin ? ? sin
2

2

? ? ?
? ?

? ? sin ? ? ?

(sin ? ? 1) ?

1 2

∵ sin α ? ? ? 1,1 ? ,∴ y ? ? ?

3 1? , 2 2? ?

剖析: sin α 范围求得不准确,不仅仅要知道 sin α ? ? ? 1,1 ? ,而且应注意到通过式子
3 sin ? ? 2 sin
2 2

? ? 2 sin ? , sin α 也会受到 sin β 的制约.实际上,∵ 0 ? sin

2

? ?1

? ?? ? ∴? ?? ? ?

3 2 3 2

sin ? ? sin ? ? 0
2

解得 0 ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? 1
2

2 3

,∴sinα =0 时, y min ? 0 ; sin ? ?

2 3

时,

y max ?

4 9

,即 0 ? sin ? ? sin
2

2

? ?

4 9



评注:正所谓“明枪易躲,暗箭难防” ,题中给出的范围和 sin α ? ? ? 1,1 ? 容易被人注意,但 是隐含条件却很容易被忽视,需要经验的积累与总结.


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