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广东省中山一中等七校联合体2016届高三第二次(12月)联考数学理试题

广东省七校联合体 2016 届高三第二次联考试卷 数学理
参加学校:宝安中学 潮阳一中 桂城中学 南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学 第Ⅰ卷 )

一、选择题: 01.设复数 z 满足 z ? 3i ? 3 ? zi ,则 z ? ( A.3 B.-3 C.3i D.-3i 02.求值

cos20? ) ?( cos35? 1 ? sin 20? A. 2 B.- 2 2 2 C. 2 D .- 2

03.“a≤-3”是“f(x)=-|x+a|在[3,+∞)上为减函数”的什么条件( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.不充分不必要 04.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.6 种 B.10 种 C.12 种 D.24 种 05.设F 1 、F 2 是双曲线C的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使得∠F 1 AF 2 =90° ,且|AF 1 |=3|AF 2 |, 则其离心率为( )
B B B B B B B B B B B B

5 2 C. 15 2
A. A. 169? cm 3
P P

B. 10

2

D. 5

06. 如图一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 高 12cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为 8cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )

6 B. 676? cm 3 3 8788 ? cm 3 C. 3 D. 2197? cm 3 6
P P P P P

P

07.如图△ABC 中,D、E 分别是 AB 和 BC 的三等分点,若 AB ? a , AC ? b ,则 DE ? (

??? ?

?

??? ?

?

??? ?

???? ???? ? ? ? ? A. DE ? 1 a ? 1 b B. DE ? 2 a ? 1 b 3 3 3 3 ???? ???? ? 2? ? 1? 1 1 C. DE ? a ? b D. DE ? a ? b 3 3 2 2 1 08.已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图像大致为( ln( x ? 1)- x

)

)

09.执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2) 和实数a 1 ,a 2 ,…,a N ,输出A,B,则( ) A.A+B为a 1 ,a 2 ,…,a N 的和
B B B B B B B B B B B B

B. A ? B 为a 1 ,a 2 ,…,a N 的算术平均数

2

B

B

B

B

B

B

C.A和B分别是a 1 ,a 2 ,…,a N 中最大的数和最小的数 D.A和B分别是a 1 ,a 2 ,…,a N 中最小的数和最大的数
B B B B B B B B B B B B

2 10. ( x ? a )(2 x ? 1 ) 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中含 x 项为(

5

x

x

)

A.0
2

B. ? 80x
2

2

C. 80x D. 160x 11.如图一个圆柱被一个平面截去一部分后与半 球(半径 r =3)组成一个几何体,该几何图体 三视中的正视图和俯视图如图所示,则该几 何体的表面积为( ) A. 63? B. 80? C. 36 ? 27? D. 36 ? 45? 12.设函数 f ( x) ? ( x ? 2)ln x ? ax ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 , 则 a 的取值范围是( ) A. (0, 1 ? ln 3)

3 C. (1 ? ln 3 ,1) 3

B. ( 1 , 1 ? ln 3)

2 3 D. [1 ? ln 3 ,1) 3

第Ⅱ卷
二、填空题: 13.若函数 f ( x ) ?

4 ? x 2 为奇函数,则 a ? ____________ x?a ?2
16

2 y2 ? 1 的左顶点, 14.经过双曲线 x ?

9

虚轴上端点,右焦点的圆的方程是_____________

?x ? y ? 4 ? ?y ? x ? 2 x? y 15.若 x, y 满足约束条件 ? ,则 的最小值为_____________ x ?1 ?x ? 1 ? ?y ? 0 16.已知 a, b, c 分别为 △ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2, 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 △ABC 周长的最大值为__________
三、解答题 17.(本小题满分 12 分)

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? a ? 2 (n ? 2) , a ? 2 1 n 2 3 4 n 1 ⑴求 ?an ? 的通项公式;⑵设 bn ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn ? 3an ? 5?? 3an?1 ? 5?
已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 18.(本小题满分 12 分) 人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标, 常 用区间[0, 10]内的一个数来表示, 该数越接近 10 表示满意度越高. 为了解某地区居民的幸福感情况, 随机对该地区的男、女居民各 500 人进行了调查,调查数据如表所示: 幸福感指数 男居民人数 女居民人数 [0,2) 10 10 [2,4) 20 10 [4,6) 220 180 [6,8) 125 175 [8,10] 125 125

根据表格,解答下面的问题: (Ⅰ)在右图中绘出频率分布直方图,并估算该地区居民幸福感指数的平均值; (Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于 6,则认为其幸福.为了进一步了解居民的幸福满意度,调查组又在 该地区随机抽取 4 对夫妻进行调查,用 X 表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数,求 X 的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率). 19.(本小题满分 12 分) 如图是某直四棱柱被平面 α 所截得的部分, 底面 ABCD 是矩形,侧棱 GC、ED、FB 都垂 直于底面 ABCD,GC=3,AB= 2 2 ,BC= 5 , 四边形 AEFG 为菱形,经过 C 且垂直于 AG 的 平面与 EG、AG、FG 分别交于点 M、H、N; ⑴求证:CN⊥BH; ⑵求面 AFGE 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值。 20.(本小题满分 12 分)
2 y P( 4 , b ) 是 椭圆 C : x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A, 3 3 a b C 上的一点,以 AP 为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F. ⑴求椭圆 C 的方程; 2

⑵设过点 M (2 , 0) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 D、E 两点,求 △ODE 面积的最大值

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)x ? 2ln x ? a ? 2 , g( x) ? xe
1? x

⑴若函数 f ( x ) 在区间 (0, 1 ) 无零点,求实数 a 的最小值; 的取值范围.

2 ⑵若对任意给定的 x0 ?(0, e] ,方程 f ( x) ? g( x0 ) 在 (0, e] 上总存在两个不等的实根,求实数 a

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则 按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C,∠APC 的平分线 分别交 AB、AC 于点 D、E, ⑴证明:∠ADE=∠AED; ⑵若 AC=AP,求 PC 的值.

PA

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. x ? 4cos ? x ? 3 ? cos t 已知曲线 C 1 : (t 为参数), C 2 : ( ? 为参数). y ? 3sin ? y ? 2 ? sin t ⑴化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; ⑵若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ? ? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 : ? ? cos? ? 2sin ? ? ? 7 距离的最大值.

?

?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a . ⑴若 f ? x ? ? m ? m ? 0? 的解集为 x ? ? ??,1? ? ? 7, ??? ,求实数 a, m 的值; ⑵当 a ? ?1 时,当 x ? ?2 时,不等式 f ? x ? ? t ? f ? x ? 2? 恒成立,求 t 的取值范围.

七校联合体 2016 届高三第二次联考试卷 理科数学(答案)
一、选择题:CCDCBD、ABCADB 二、填空题: -2 三、解答题 17.解:⑴当 n≥2 时,

x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 y ? 15 ? 0 4

4 3

6

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? a ? 2 ……① n 2 3 4 n a a a a ∴ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? an?1 ? 2 ……②【1 分】 2 3 4 n ?1 a a ) 【3 分】 ∴②-①得 n ? an?1 ? an ,即 n ?1 ? n ? 2 (n ? 2 …… an n ?1 n ?1 a 由 1 ? a2 ? 2 ,得 a2 ? 3 ……【4 分】 2 a a a ∴ an ? a2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 3 ? 4 ? 5 ??? n ? 1 ? n ? 1 (n ? 3 ) ……【6 分】 a 2 a3 an ?1 3 4 n ∵ a1 ? 2 、 a2 ? 3 都满足上式 ∴ an ? n ? 1 ……【7 分】 1 1 ⑵ bn ? ? 1 ( 1 ? 1 ) ……【9 分】 ? ? 3an ? 5?? 3an?1 ? 5? ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? 3 3n ? 2 3n ? 1 ∴ Bn ? 1 ?(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 3? 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 ? 频率 组距 ……【12 分】 ? 1 (1 ? 1 ) ? n 3 3n ? 1 3n ? 1
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 O
0.01 0.015

18.解:(1)频率分布直方图如右……【3 分】 所求的平均值为: 0.01× 2× 1+0.015× 2× 3+0.2× 2× 5 +0.15×2×7+0.125×2×9=6.46……【5 分】 (2) 男居民幸福的概率为 250 ? 0.5 500 女居民幸福的概率为 300 ? 0.6 500

0.20
0.15
0.125

2

4

6

8

10 幸福感指数

故一对夫妻都幸福的概率为 0.5×0.6=0.3……【7 分】 因此 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 X~B(4,0.3) ……【8 分】 ∴ P( X ? 0) ? C4 ? (1 ? 0.3) ? 0.2401 , P( X ? 1) ? C4 ? 0.3 (1 ? 0.3) ? 0.4116
0 4 1 1 3 2 3 P( X ? 2) ? C4 ? 0.32(1 ? 0.3)2 ? 0.2646 , P( X ? 3) ? C4 ? 0.33(1 ? 0.3) ? 0.0756 4 P( X ? 4) ? C4 ? (1 ? 0.3)4 ? 0.0081 ,

∴X 的分布列为

X p

0 0.2401

1 0.4116

2 0.2646

3 0.0756

4 0.0081 ……【11 分】

∴ E( X ) ? np ? 4 ? 0.3 ? 1.2

……【12 分】

19.⑴证:连结 BH,由题知 AB⊥面 BCGF 又∵CN ? 面 BCGF,∴AB⊥CN ……【1 分】 ∵AG⊥面 CMN,∴AG⊥CN ……【2 分】 又∵AG∩AB=A,AG、AB ? 面 BAH,∴CN⊥面 BAH……【4 分】 又∵BH ? 面 BAH,∴CN⊥BH ……【5 分】 ⑵解:以 DA、DC、DE 为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系……【6 分】 ∵四边形 AEFG 为菱形,可设 AE=EG=a,DE=b
2 2 由 AE ? AD ? DE ,得 a ? 5 ? b
2 2 2

由 EG ? (GC ? DE ) ? DC ,得 a ? (3 ? b) ? 8 以上面两式解得:a=3,b=2 ……【8 分】
2 2 2 2 2

∴ E(0,0, 2) 、 A( 5,0,0) 、 G(0,2 2,3)

? ? ??? ? n ? AE ? 0 ? 由 ? ? ???? ,解得 n ? (8, ? 10,4 5) 为面 AFGE 的一个法向量……【10 分】 ? n ? AG ? 0 ? 由题知 m ? (0,0,1) 为面 ABCD 的一个法向量 ? ? ? ? ∴ cos ? n, m ?? n ??m ? ? 2 770 ,∴所求二面角的余弦值为 2 770 ……【12 分】 77 77 n m ??? ? 20.解:⑴由题知: A ? 0, b ? , F ? c,0? ,∴ AF ? ? c, ?b ? , FP ? 4 ? c, b 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 ∵ AF ? FP ,? AF ? FP ? 0 ,即 4 c ? c ? b ? 0 ……【1 分】 3 3

∴ AE ? (? 5,0,2) 、 AG ? (? 5,2 2,3)

??? ?

????

?

?

?4? ?b? 又 3 ? 3
2

2

a

2

b

2

? 1 且 a 2 ? b2 ? c 2 ,

……【2 分】
2

2 ∴ b ? c ? 1, a ? 2 ,∴椭圆 C 的方程为: x ? y ? 1 ……【4 分】

2

⑵依题意可设动直线 l 的方程为: y ? k ? x ? 2? ? k ? 0 ? 设 D ? x1, y1 ? , E ? x2, y2 ?
2 ? ?x ? y ?1 由? 2 可得 ? ? y ? k ? x ? 2? 2

k 2 ? x2 ? 8k 2 x? 8 k2 ? 2 ?…… 0 【5 分】 ?1 ? 2

2 则 ? ? 64k 4 ? 4 ?1 ? 2k 2 ??8k 2 ? 2 ? ? 0 ,解得 0 ? k ? 1 ……【6 分】

2

由韦达定理可得 x1 ? x2 ?

8k , x x ? 8k ? 2 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

……【7 分】

∴ DE ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? ? 4x1x2

2

? 1? k2

8k 8k ? 2 ? 2 ?1 ? ? ?41 2k ? 2k
2 2 2 2 2

2 1 ? k 2 1 ? 2k 2 ……【8 分】 1 ? 2k 2

设点 O 到直线 l 的距离为 d , 则 d ?

2k 1? k2

∴ S?ODE ? 1 DE d ? 2 2

2

k 2 ? 2k 4 2 ?1 ? 2k 2 ?

?2 2 ?

1 ? 3 ? 1 ……【10 分】 1 ?3 1 2 ?1 ?2 2 ? 2 2 2 16 2 2 2k ? 1 4 1 ? 2k ?1 ? 2k ?

?

?

2

? 0 ? k 2 ? 1 ?1 ? 2k 2 ? 1 ? 2 2
∴当
2

1 ?1 ?1 ? 2 2 2k ? 1

1 ? 3 即 k ? ? 6 时, S△ODE 取得最大值,最大值为 2 2 ? 1 ? 2 6 4 2 2k ? 1 4 21.解:⑴记 l( x) ? (2 ? a)( x ? 1) , s( x) ? 2ln x ,则 f ( x) ? l( x) ? s( x) ∵ f ( x ) 在 (0, 1 ) 上无零点,∴直线 l( x ) 与曲线 s( x) 在 (0, 1 ) 上无交点 2 2 1 1 1 1 只需 l( ) ? s( ) ,即 (2 ? a)( ? 1) ? 2ln 2 2 2 2 解得 a ? 2 ? 4 ln 2 ,∴a 的最小值是 2 ? 4 ln 2 ……【4 分】 ⑵ g?( x) ? (1 ? x)e1? x , 在 (0,1) 上, g?( x) ? 0 , g( x) 单调增;在 (1 , e) 上, g?( x) ? 0 , g( x) 单调减 g(0) ? 0 , g(1) ? 1 , g(e) ? e2?e ? 0 ∴ g( x) 在 (0, e] 上的值域为 (0,1] ……【6 分】 f ?( x) ? (2 ? a)x ? 2 x a ? 2 ①当 时,在 (0, e] 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调减,不合题意……【7 分】 ②当 a ? 2 时,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 ? 0 2?a 2 2 ? e 时,即 2 ? ? a ? 2 时, (i)当 2?a e 在 (0, e] 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调减,不合题意……【8 分】 (ii)当 2 ? e 时,即 a ? 2 ? 2 时, e 2?a 在 (0, 2 ) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调减;在 ( 2 , e) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调增 2?a 2?a a ?3 a ?3 ∵ ?x1 ?(0, 2 ) ? (0, e 2 ) ,使得 f ( x1) ? (2 ? a) ? 0 ? 2 ln e 2 ? a ? 2 ? 1 ……【9 分】 2?a ∴要使方程 f ( x) ? g( x0 ) 在 (0, e] 上总存在两个不等的实根 a ? 2ln(2 ? a) ? 2ln 2 ? 0 2 ? ? ? f (2 ? a)? 0 ? 只需 ? ,即 ? ……(*) ……【10 分】 3 ? f (e) ? 1 ? ? ?a ? 2 ? e ? 1 h?( x) ? x ,令 h?( x) ? 0 得 x=0 令 h( x) ? x ? 2ln(2 ? x) ? 2ln 2 , x ? 2 ? 2 e x?2 在 (??,0) 上, h?( x) ? 0 , h( x) 单调增;在 (0, 2 ? 2 ) 上, h?( x) ? 0 , h( x) 单调减 e ∴ h( x)max ? h(0) ? 0 , ?a ? 2 ? 2 ? e ∴(*)式的解为 ? ……【11 分】 3 a ? 2 ? ? ? e ?1

∴a? 2?

3 ,∴实数 a 的取值范围是 (??,2 ? 3 ] ……【12 分】 e ?1 e ?1

22.解:(1)∵PA 是切线,AB 是弦,∴∠BAP=∠C 又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE ∴∠ADE=∠AED

…………【5 分】

(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴?APC∽?BPA, PC = AC ,

PA

AB

∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC, 由三角形的内角和定理知:∠C+∠APC+∠PAC=180? , ∵BC 是圆 O 的直径,∴∠BAC=90? ∴∠C+∠APC+∠BAP=90? ,∴∠C=∠APC=∠BAP=30? , 在 Rt?ABC 中, AC = 3 ,∴ PC = 3

AB

PA

…………【10 分】

23.解:⑴由 C 1 :

x ? 3 ? cos t 2 2 (t 为参数)可得 ? x ? 3? ? ? y ? 2? ? 1 y ? 2 ? sin t 2 x ? 4cos ? y2 ?1 由 C2 : ( ? 为参数)可得 x ? 16 9 y ? 3sin ?

?

?

…………【4 分】 ⑵由已知可得点 P ? 2, 2 ? ,Q ? 4cos? ,3sin ? ? ,则 M 1 ? 2cos? ,1 ? 3 sin ? 2 又直线 C3 : ? ? cos? ? 2sin ? ? ? 7 可化为: x ? 2 y ? 7 ? 0 设 M 到直线 C3 的距离为 d , 则 d ? 1 ? 2cos? ? 2 ? 3sin ? ? 7 ? 2cos? ? 3sin ? ? 8 5 5 13 sin ?? ? ? ? ? 8 ? (其中 tan ? ? 2 ) 3 5 ?? ? R ?sin ?? ? ? ? ? ? ?1,1? ∴ d 的最大值为 65 ? 8 5 …………【10 分】 5 24.解:⑴由题意可得 1 和 7 是方程 x ? a ? m 的两根 1? a ? m ∴ 解得 a ? 4, m ? 3 …………【4 分】 7?a ? m ⑵当 a ? ?1 时,不等式 f ? x ? ? t ? f ? x ? 2? 可化为 x ? 1 ? x ? 3 ? ?t ?2, x ? ?3 ? 令 g ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? ??2x ? 4, ?3 ? x ? ?1 ? ??2, x ? ?1

曲线 C 1 是以 C1 ? 3,2? 为圆心,以 1 为半径的圆; 曲线 C 2 是焦点在 x 轴上的椭圆;

?

?

?

当 x ? ?2 时, g ? x ? ? 0 ∴当 x ? ?2 时,不等式 f ? x ? ? t ? f ? x ? 2? 恒成立 只需满足 0 ? ?t 即可 ∴ t ? 0 ,∴ t 的取值范围为 ?0, ??? .

…………【10 分】


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