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(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题十五 直线与圆练习 理


专题限时集训(十五) [直线与圆]
(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练夯知识 1. 已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 m:x-2y+2=0 平行,则 tan 2α 的值为( ) 4 A. 3 3 B. 4 4 C. 5 2 D. 3 2 2 2. 直线 x+y=5 和圆 O:x +y -4y=0 的位置关系是( ) A. 相离 B.相切 C.相交不过圆心 D.相交过圆心 3. 设直线 l1: 2x-my-1=0, l2: (m-1)x-y+1=0, 则“m=2”是“l1∥l2” 的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 4. 已知 p:a= 2,q:直线 x+y=0 与圆 x +(y-a) =1 相切,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 两条平行直线 l1:3x+4y-4=0 与 l2:ax+8y+2=0 之间的距离是__________. 提升训练强能力 2 2 2 6. 直线 l 与圆 x +y +2x-4y+1=0 相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点为抛物线 x = 4y 的焦点,则直线 l 的方程为( ) A. 2x+3y-3=0 B.x-y-1=0 C. x+y-1=0 D.x-y+1=0 7. 方程(x +y -2x) x+y-3=0 表示的曲线是( ) A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线 C.一个圆 D.一条直线 2 2 8. 已知点 A(-3,0),B(0,3),若点 P 在圆 x +y -2x=0 上运动,则△PAB 面积的最 小值为( ) A.6 B.6 2
2 2

1

3 2 3 2 C.6+ D.6- 2 2 2 2 2 2 9. 已知圆 C1:(x-a) +(y+2) =4 与圆 C2:(x+b) +(y+2) =1 相外切,则 ab 的最 大值为( ) 6 3 9 A. B. C. D.2 3 2 2 4 1 ax 10. 函数 f(x)=- e (a>0, b>0)的图像在 x=0 处的切线与圆 x2+y2=1 相切, 则 a+b

b

的最大值是( ) A.4 B.2 2 C. 2 D.2
?0≤y≤2 ? 于点 A、B,O 是原点,则∠AOB=________. 2 2 12.若直线 x-y-1=0 被⊙C:(x-a) +y =4 所截得的弦长为 2 2,则实数 a 的值为 ________. 2 2 13. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x +y =4,直线 l:12x-5y+c=0(其中 c 为常数),下列有关直线 l 与圆 O 的命题: ①当 c=0 时,圆 O 上有四个不同点到直线 l 的距离为 1; ②若圆 O 上有四个不同点到直线 l 的距离为 1,则-13<c<13; ③若圆 O 上恰有三个不同点到直线 l 的距离为 1,则 c=13; ④若圆 O 上恰有两个不同点到直线 l 的距离为 1,则 13<c<39; ⑤当 c=±39 时,圆 O 上只有一个点到直线 l 的距离为 1. 其中正确命题的序号为________.

11. 设不等式组?

? ?0≤x≤1,

确定的平面区域为 M, 圆 O:x +y =4 与区域 M 的边界相交

2

2

x2 y2 ? 3? 14.已知 F1,F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 A 是上顶点,点 P?1, ?在 a b ? 2? 椭圆上,且|PF1|+|PF2|=4. (1)求椭圆的方程; (2)若圆 C 的圆心在 y 轴上,且与直线 AF2 及 x 轴均相切,求圆 C 的方程.

→ → 15. 已知点 E(-2,0),F(2,0),曲线 C 上的动点 M 满足EM?FM=-3.定点 A(2,1), 由曲线 C 外一点 P(a,b)向曲线 C 引切线 PQ,切点为 Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求曲线 C 的方程; (2)若以点 P 为圆心的圆和曲线 C 有公共点,求半径取最小值时圆 P 的标准方程.

2

16. 在平面直角坐标系中,已知点 A(-2,0),B(2,0),点 P 为平面内一动点,且满 3 足 tan∠PAB?tan∠PBA= . 4 (1)求动点 P 的轨迹方程; 2 2 (2)若点 P 位于 y 轴左侧,过点 P 作圆 C:(x-1) +y =1 的两条切线分别交 y 轴于 M, N 两点,求|MN|的取值范围.

3

专题限时集训(十五) 【基础演练】 1 2tan α 4 1.A [解析] 依题意得 k=tan α = ,因此 tan 2α = = ,选 A. 2 2 1-tan α 3 2.A [解析] 圆 O 的圆心坐标为(0,2),半径为 2,圆心到直线 x+y=5 的距离 d= = 3 2

9 > 4=2,故直线与圆的位置关系是相离. 2 3.C [解析] 由于两直线方程中的常数项之比为- 1,所以两直线平行的充要条件是 2 m 2 m = ≠-1.由 = , 得 m(m-1)=2, 解得 m=2 或 m=-1.当 m=-1 时, 两直线重合, m-1 1 m-1 1 所以 m≠-1.故“m=2”是“l1∥l2”的充要条件. |a| 2 2 4. A [解析] 直线 x+y=0 与圆 x +(y-a) =1 相切的充要条件是 =1, 即 a=± 2, 2 所以 p 是 q 的充分不必要条件. 5.1 [解析] 由直线 l1:3x+4y-4=0 与 l2:ax+8y+2=0 平行可得 a=6,所以 l2 |-4-1| 的方程为 3x+4y+1=0,故两条直线间的距离 d= =1. 2 2 3 +4 【提升训练】 2 6.D [解析] 抛物线 x =4y 的焦点坐标为(0,1).根据圆的性质可知,直线 l 垂直于 点(0,1)与圆心(-1,2)的连线,点(0,1)与点(-1,2)的连线的斜率为-1,所以直线 l 的斜率为 1,又直线 l 过点(0,1),所以其方程为 y=x+1,即 x-y+1=0. ? ?x+y-3≥0, 2 2 7.D [解析] 依题意得 x+y-3=0或? 2 又圆(x-1) +y =1 与直线 x 2 ?x +y -2x=0, ? 2 2 +y-3=0 相离,且在直线下方,因此方程(x +y -2x) x+y-3=0 表示的曲线是一条直 线. 2 2 8.D [解析] 圆 x +y -2x=0 的圆心为(1,0),半径为 1,直线 AB 的方程为 x-y+3 2 2 =0.圆心到直线 AB 的距离 d=2 2,故圆 x +y -2x=0 上的点到直线 AB 的距离的最小值 1 3 2 为 2 2-1.因为|AB|=3 2,所以△PAB 面积的最小值为 ?(2 2-1)?3 2=6- . 2 2 9.C [解析] 由两圆外切得 d= (a+b) +0=3,得 a +2ab+b =9,因此 9≥4ab, 9 3 9 即 ab≤ ,当且仅当 a=b=± 时取等号,所以 ab 的最大值为 .选 C. 4 2 4 a 1 10.C [解析] ∵ f′(0)=- ,f(0)=- ,∴ f(x)的图像在 x=0 处的切线方程为
2 2 2

b

b

ax+by+1=0,∵它与圆 x2+y2=1 相切,∴

1

a +b2

2

=1,即 a +b =1.∵ a>0,b>0 时有

2

2

2 2 ?a+b?2≤a +b =1,∴a+b≤ 2,当且仅当 a=b= 2时取等号,∴a+b 的最大值是 2. ? 2 ? 2 2 2 ? ?

11.30° [解析] 由图形知 A(0,2),B(1, 3),因此∠AOB=30°. 12.-1 或 3 [解析] 半径 r=2,半弦长为 2,从而圆心到直线的距离 d= 2,由圆 心到直线的距离公式可得 a=-1 或 a=3. |c| |c| 13.①②⑤ [解析] 圆心 O 到直线 l 的距离为 ,当 <1 即-13<c<13 时,圆 O 13 13 上有四个不同点到直线 l 的距离为 1;当 c=±13 时,圆 O 上恰有三个不同点到直线 l 的距 离为 1;当 13<c<39 或-39<c<-13 时,圆 O 上恰有两 个不同点到直线 l 的距离为 1; 当 c=±39 时,圆 O 上只有一个点到直线 l 的距离为 1.故①②⑤正确.

4

2a=4, ? ? 9 ?a=2, x y 14.解: (1)依题意得? 解得? 因此椭圆的方程为 + =1. 4 3 1 4 ?b= 3, + =1, ? ?a b
2 2 2 2 2

(2)由题意得 A(0, 3),F1(1,0),直线 AF2 的方程为 3x+y- 3=0, 2 2 2 由 x 轴与圆相切,设圆的方程为 x +(y-m) =m , |m- 3| 3 则 =|m|,解得 m=- 3或 m= , 3 3+1 3? 2 1 ? = . 3? 3 → → 15.解:(1)设 M(x,y),则EM=(x+2,y),FM=(x-2,y), → → 2 2 ∴ EM?FM=(x+2,y)?(x-2,y)=x -4+y =-3, 2 2 故曲线 C 的方程为 x +y =1. (2)∵Q 为切点,∴PQ⊥OQ. 2 2 2 由勾股定理,得|PQ| =|OP| -|OQ| . 2 2 2 2 由|PQ|=|PA|,得(a +b )-1=(a-2) +(b-1) , 化简得 2a+b-3=0,即 b=-2a+3. 设圆 P 的半径为 R,∵圆 P 与曲线 C 有公共点, ∴|R-1|≤|OP|≤R+1,即 R≥||OP|-1|且 R≤|OP|+1. 2 ? 6? 9 2 2 2 2 |OP|= a +b = a +(-2a+3) = 5? a - ? + , ? 5? 5 故圆 C 的方程为 x +(y+ 3) =3 或 x +?y-
2 2 2

? ?

6 3 5 3 故当 a= 时,|OP|min= ,此时 b=-2a+3= , 5 5 5

Rmin=

3 5 -1, 5

2 2 2 ? 6? ? 3? ?3 5 ? . 故所求圆 P 的标准方程为?x- ? +?y- ? =? - 1 ? ? 5? ? 5? ? 5 ? 3 16.解:(1)设动点 P(x,y).因为 tan∠PAB?tan∠PBA= , 4 y y 3 所以- ? = (x≠±2), x+2 x-2 4 整理得 + =1(x≠±2). 4 3 故动点 P 的轨迹方程为 + =1(x≠±2). 4 3 (2)设点 P(x0,y0),则 + =1(-2<x0<0). 4 3 设切线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,则过点 P 的圆 C 的切线 PM 的方程是 y-y0=k1(x -x0), 令 x=0,得 yM=y0-k1x0,同理可得 yN=y0-k2x0. |k(1-x0)+y0| 设过点 P 的圆 C 的切线斜率为 k,则 =1, 2 1+ k 2 2 2 即 k (x0-2x0)+2ky0(1-x0)+y0-1=0, -2y0(1-x0) y2 0-1 所以 k1+k2= ,k1?k2= 2 , 2 x0-2x0 x0-2x0 所以|MN|=|yM-yN|=|x0||k1-k2|=

x2 y2

x2 y2

x2 y2 0 0

5

|x0| (k1+k2) -4k1k2=

2

x0-6 = x0-2

1-

4

x0-2

.

因为-2<x0<0,所以|MN|的取值范围是( 2, 3).

6


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