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1.2函数及其表示(复习课)_图文

1.2 函数及其表示 (复习课)

一、函数的有关概念:
1.函数的概念:

设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f, 使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确 定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合 A到集合B的一个函数, 记作:y=f(x),x∈A.

x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域; 与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集 合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

注意:(1).
① “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示, 如“y=g(x)”; ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的 函数值,它是一个数,而不是f乘x.

(2)构成函数的三要素是什么?
定义域 对应关系 值域

2.
设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间, 表示为[a,b] ⒉满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间, 表示为(a,b)

⒊满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间,表示为[a,b)或(a,b]
这里的实数a,b叫做相应区间的端点

定义 {x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b}

名称 闭区间 开区间

符号 [a,b] (a,b)

数轴表示 a a a b b b

{x|a≤x < b} 半开半闭区间 [a,b)

{x|a<x ≤ b} 半开半闭区间 (a,b]

a

b

实数集R可以表示为(-∞,+ ∞) x≥a x >a
x≤b x<b
( -∞ ,b]
(a,+∞) (-∞,b) [a,+∞)

3. 几类函数的定义域:
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R . (2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母 不等于零的实数的集合 .

(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是 使根号内的 式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的, 那么函数定义域是使各部分式子都有意义 的实数集合.(即求各集合的交集)

(5)满足实际问题有意义.

4如何判断两个函数是否为同一函数?
1. 两个函数的定义域和对应关系完全一致, 即称这两个函数相等(或为同一函数)
2. 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对 应关系完全一致,而与表示自变量和函数值 的字母无关。

练习1、函数f ( x) ?

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域为( C )

?x A、 | x ? 0?

B、x | x ? ?1} { D、x | x ? 0} {

C、x | x ? 0, 且x ? ?1} {

1 练习2、已知f ( x) ? , 则函数f ? f ( x)?的定义域为( C ) x ?1 A、 | x ? 1} {x B、 | x ? -2} {x C、 | x ? 1, 且x ? -2} {x D、 | x ? 1, 或x ? -2} {x

练习3、下列说法中正确的有( A ) (1)y=f(x)与y=f(t)表示同一个函数 (2) y=f(x)与y=f(x+1)不可能是同一个函数 (3) f(x)=1与g(x)=x0是同一函数 (4)定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
练习4、下列各组函数表示同一函数的是(D )
x2 ?1 A、f ( x) ? 与g ( x) ? x ? 1 x ?1

B、f ( x) ? ? 2 x 3 与g ( x) ? x ? 2 x C、f ( x) ? x与g ( x) ? ( x ) 2 D、f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1与g (t ) ? t 2 ? 2t ? 1

二.函数的表示法
1. 列表法:就是利用表格形式来表示两个变量 的函数关系的方法。

2. 图象法:是用图象表示两个变量间的函数关 系的方法。

3、解析法(也叫公式法) 是用数学等式表示两个变量间的函数关系的方法。 解析式:表达函数关系的数学等式。

优点 缺点 解 函数关系清楚,可以用代 函数值随自变量变化 析 入法求函数值,便于用解 的规律不直观。 法 析式研究函数的性质;
图 是可以直观形象地表示出 在读取函数值时不够精 确。 象 函数的变化情况 法 列 可以直接从表中读出函 表 数值 法 经常不可能把所有的 对应值列入数表中,而 只能达到实际上大致够 用的程度。

4
所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同


分,有不同的对应法则的函数,对它应有以下两点 基本认识: (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几 个函数;

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值
域是各段值域的并集。

注意:

函数图象不一定是光滑的曲线(直线), 还可以是一些孤立的点,一些线段,一段曲 线等。

5.映射
设A,B是两个非空的集合,如果按某一个 确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一 个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个映射。
由此可知,映射是函数的推广,函 数是一种特殊的映射。

例.在下图中,图(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的 A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射?是不是函数关系?
A开平方B A 求正弦 B
1 2
3 - 3 2 - 2 1 - 300 450 600 900

2 2 3 2

9 4 1

(1) A 求平方 B
1 -1 2 -2 3 -3 1 4 9

1

(2) A 乘以2 B
1 2 3 1 2 3 4 5 6

1

(3)

(4)

映射f:A→B,可理解为以下4点: 1、A中每个元素在B中必有唯一的象

2、对A中不同的元素,在B中可以有相同的象
3、允许B中元素没有原象

4、A中元素与B中元素的对应关系,可以 是:一对一,多对一,但不能一对多

五.课堂练习:
1点(x,y)在映射f下的象是(2x-y,2x+y), (1)求点(2,3)在映射f下的像; (2)求点(4,6)在映射f下的原象. 答:(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7); (2)点(4,6)在映射f下的原象是(5/2,1) 2.设集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a}, 其中a,k∈N,映射f:A→B,使B中元素y=3x+1 与A中元素x对应,求a及k的值.

答:a=2 , k=5

六. 课外作业
1. 求下列函数的定义域
(1)
f (x) ? 1 x? | x |

(2)

1 1? x (4) 4 ? x2 f (x) ? x ?1

f (x) ?

1

(5) f ( x ) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1

2、求函数

y ? x ? 1 的值域
2

3、求函数 y ? x ? 4 x ? 6, x ? [1,5] 的值域 ,
R} , 4.在映射 f : A ? B中 ,A ? B ? {( x, y) | x, y ? ,且 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y)
则与A中的元素 (?1,2) 对应的B中的元素为(
(A) 3,1) (?
(B)1,3) (



( (C)?1,?3)

(D) 3,1) (