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2017_2018高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(1)学案新人教A版必修5

2.1 数列的概念与简单表示法(1) 学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式, 并会用通项公式写出数列的任 意一项.3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式. 知识点一 数列及其有关概念 思考 1 数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是同一个数列吗? 答案 不是.顺序不一样. 思考 2 数列的记法和集合有些相似,那么数列与集合的区别是什么? 答案 数列中的数讲究顺序,集合中的元素具有无序性;数列中可以出现相同的数,集合中 的元素具有互异性. 梳理 (1)按照一定顺序排列的一列数称为数列, 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列 中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项), 排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项. (2) 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}. 知识点二 通项公式 思考 1 数列 1,2,3,4,…的第 100 项是多少?你是如何猜的? 答案 100.由前四项与它们的序号相同,猜第 n 项 an=n,从而第 100 项应为 100. 梳理 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫 做这个数列的通项公式. 思考 2 数列的通项公式 an=f(n)与函数解析式 y=f(x)有什么异同? 答案 如图,数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数 an =f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. * 不同之处是定义域,数列中的 n 必须是从 1 开始且连续的正整数,函数的定义域可以是任意 非空数集. 知识点三 数列的分类 思考 对数列进行分类,可以用什么样的分类标准? 答案 (1)可以按项数分类;(2)可以按项的大小变化分类. 1 梳理 (1)按项数分类,项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列. (2)按项的大小变化分类,从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;各项相等的数列叫做常数列;从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列. 类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例 1 写出下列数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 (1)1,- , ,- ; 2 3 4 1 9 25 (2) ,2, ,8, ; 2 2 2 (3)9,99,999,9 999;(4)2,0,2,0. 解 (1)这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负, 所以它的一个通项公式为 an= - n+1 n ,n∈N . * 1 4 9 16 25 (2)数列的项, 有的是分数, 有的是整数, 可将各项都统一成分数再观察: , , , , , …, 2 2 2 2 2 所以它的一个通项公式为 an= ,n∈N . 2 (3)各项加 1 后,变为 10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为 10 ,可得原数列的 一个通项公式为 an=10 -1,n∈N . (4)这个数列的前 4 项构成一个摆动数列,奇数项是 2,偶数项是 0,所以,它的一个通项公 式为 an=(-1) n+1 n * n2 * n +1,n∈N . * 反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中项的构成规 律,看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的变化而变化,确定变化部分随序 号变化的规律,继而将 an 表示为 n 的函数关系. 跟踪训练 1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 1 (1)- , ,- , ; 1×2 2×3 3×4 4×5 2 -1 3 -1 4 -1 5 -1 (2) , , , ; 2 3 4 5 (3)7,77,777,7 777. 解 (1)这个数列前 4 项的分母都是序号数乘以比序号数大 1 的数, 并且奇数项为负, 偶数项 为正,所以它的一个通项公式为 an= - n 2 2 2 2 n n+ ,n∈N . * 2 (2)这个数列的前 4 项的分母都是比序号大 1 的数,分子都是比序号大 1 的数的平方减 1,所 以它的一个通项公式为 an= n+ 2-1 * ,n∈N . n+1 7 7 7 7 7 7 (3)这个数列的前 4 项可以变为 ×9, ×99, ×999, ×9 999,即 ×(10-1), ×(100 9 9 9 9 9 9 7 -1), ×(1 000-1), 9 7 ×(10 000-1), 9 7 7 7 2 3 即 ×(10-1), ×(10 -1), ×(10 -1), 9 9 9 7 4 ×(10 -1), 9 7 n * 所以它的一个通项公式为 an= ×(10 -1),n∈N . 9 类型二 数列的通项公式的应用 例 2 已知数列{an}的通项公式 an= - n- n n+ n+ , n∈N*. (1)写出它的第 10 项; 2 (2)判断 是不是该数列中的项. 33 解 (1)a10= (2)令 - ×11 11 = . 19×21 399 10 n+1 n- n+ 2 2 = ,化简得 8n -33n-35=0, 33 7 解得 n=5(n=- 舍去). 8 2 2 2 当 n=5 时,a5=- ≠ .所以 不是该数列中的项. 33 33 33 引申探究 对于例 2 中的{an}. (1)求 an+1;(2)求 a2n. 解 (1)an+1= = - n+ n+1 - n+ n+1 - . n+ +1] n+ +1] n+ n+ - n- 2n (2)a2n= n+ n+ =