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黑龙江省大庆实验中学2011-2012学年高二下学期期末考试 数学文

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大庆实验中学 2011--2012 学年度上学期期末考试

高二数学试题(文科)

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的).

1.椭圆 x2 ? 25

y2 9

? 1上一点 M

到焦点 F1 的距离为 2,N

是 MF1 的中点,则

ON

等于(



A.2

B. 4

C. 6

D. 3 2

2.曲线 y ? sin x ? 1 在点 M (? ,0) 处的切线的斜率为(

)

sin x ? cos x 2

4

A. 1 2

B. ? 1 2

C. ? 2 2

2
D.
2

3.在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:

9.4 8 . 4 9 . 4 9 . 9 9 . 6 9 . 4 9.7

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 (

)

A. 9.4,0.484 B. 9.4,0.016

C. 9.5, 0.04 D. 9.5,0.016

4.右面程序执行后输出的结果是(



A. –1

B. 0

C. 1

D. 2

5.已知双曲线 C: x 2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 9 16

n=5 s=0 WHILE s<15
s=s+n n=n-1 WEND PRINT n END

为双曲线 C 的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则Δ PF1F2 的面积等于(

)

A.24

B.36

C.48

D.96

6.把容量为 1000 的某个样本数据分为 10 组,并填写频率分布表.若前 3 组的频率依次构

成公差为 0.05 的等差数列,且后 7 组的频率之和是 0.79,则前 3 组中频率最小的一组的

频数是(

)

A.24

B.30

C.16 D.20

7.“a≠1 或 b≠2”是“a+b≠3”的(



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要

8.一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形内爬行,某时刻此蚂蚁距三角形

三个顶点的距离均超过 1 的概率为(

)

A.1? 3? 12

B. 1? 3? 24

C. 3? 12

D. 3? 24

9.按如图 1 所示的程序框图运算,若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范

围是( )

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A.

? ??

2007 4

,

2009 2

? ??

B. ?? ?

2009 4

,

2011 2

? ??

C.

?? ?

502

,

2011 2

? ??

D. ?? ?

2009 4

,505

? ??

10.设 F 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,当→FA+→FB+→FC=

0 ,且|→FA|+|F→B|+|→FC|=3 时,此抛物线的方程为(

)

A. y 2 ? 2x B. y 2 ? 4x

C. y 2 ? 6x

D. y 2 ? 8x

11.设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离 a2 b2

心率为(



A. 5 4

B. 5

C. 5

2

D. 5

12.若椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

?

1

的焦点在

x

1 轴上,过点(1,2)作圆

x

2

? y2

? 1 的切线,切点分别

为 A、B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是(



A. x2 ? y2 ? 1 94

B. x2 ? y2 ? 1 45

C. x 2 ? y 2 ? 1 54

D. x2 ? y2 ? 1` 95

第Ⅱ卷(共 90 分) 二.填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上). 13.有下列命题

①命题“ ? x∈R,使得 x2 ?1 ? 3x ”的否定是“ ? x∈R,都有 x2 ?1 ? 3x ”;
②设 p、q 为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“ ? p∧ ? q 为真命题”;
③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件;

④若函数 f (x) ? (x ?1)(x ? a) 为偶函数,则 a ? ?1 ;

其中所有正确的说法序号是

.

14.将一骰子(六个面标有 1—6 个圆点的正方体)抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n , 则函数 y ? 2 mx3 ? nx ?1 在[1, ??) 上为增函数的概率是__________(结果用分数表示). 3

15.已知函数

f

(x) 是定义在

R

上的奇函数,

f

(1)

?

0 ,当

x

?

0 时,

xf

?(x) ? x2

f

(x)

?

0,

则不等式 x2 f (x) ? 0 的解集是________________.

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16.已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0)

的左、右焦点分别为 F1(?c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存

在一点 P 使

a

?

c

,则该椭圆的离心率的取值范围

sin ?PF1F2 sin ?PF2F1





三.解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).

17.(本题满分 10 分)已知命题 p : x2 ? 8x ? 20 ? 0, q : x2 ? 2x ?1? m2 ? 0(m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1.2.3.4.5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得 到频率分布表如下:

X

1

2

3

4

5

f

a

0.2

0.45

b

c

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,

求 a、b、c 的值;

(2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2

件日用品记为 y1,y2,现从 x1, x2 , x3 , y1, y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品
被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等

的概率.

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x 2 ? a ln x. (1)当 a ? ?2e时, 求函数f (x) 的单调区间;
(2)若函数 g( x) ? f ( x) ? 2 在[1,3]上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

20.(本小题满分

12

分)已知椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) , A, B 分别为左、上顶点,F 为

右焦点,过 F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 C,且直线 AB 与直线 OC 平行.
(1)求椭圆的离心率;

(2)已知定点 M( 3,0 ), P 为椭圆上的动点,若 ?OMP的重心轨迹经过点 (1,1) ,求

椭圆的方程.

21. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=±1 处取得极值.
(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4;

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(Ⅲ)若过点 A(1,m)(m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.

22.(本小题满分 12

分)已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

?(1 a

?b

?

0) 的离心率 e

?

6 ,过点 A (0, ?b) 3

和 B (a, 0) 的直线与原点的距离为

3
.

2

y

(1)求椭圆的方程;

P

(2)设 F1、F2 为椭圆的左、右焦点,过 F2 作直线交椭圆

F1

o

F2 B x

于 P 、 Q 两点,求 ?PQF1 的内切圆半径 r 的最大值.
高二数学试题(文科)答案

AQ

一、选择题:1-5:BADBC 6-10:DBBAA 11-12:DC

二、填空题:13.②④ 三、解答题:

14. 5 6

15. (?1,0) ? (1,??)

? ? 16. 2 ?1,1

17.解:由 x2 ? 8x ? 20 ? 0 ? x ? ?2 或 x ?10 , 即命题 p 对应的集合为 A ? {x x ? ?2或 x ? 10},

由 x2 ? 2x ?1? m2 ? 0(m ? 0) ? [x ? (1? m)]?[x ? (1? m)] ? 0(m ? 0)

? x ?1? m或 x ?1? m(m ? 0)

………4 分

即命题 q 对应的集合为 B ? {x x ?1? m 或 x ? 1? m, m ? 0},

因为 p 是 q 的充分不必要条件,知 A 是 B 的真子集. ………6 分

?m ? 0 故有 ??1? m ? ?2 ,解得
??1? m ? 10

0 ? m ? 3.实数 m 的取值范围是 (0,3] . ………10 分

18. 解:(I)由频率分布表得 a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1,即a+b+c=0.35 ,

因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b ? 3 ? 0.15, …2 分 20

等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c ? 2 ? 0.1,………4 分 20

从而 a ? 0.35 ?b ? c ? 0.1, 所以 a ? 0.1,b ? 0.15,c ? 0.1.

………6 分

(II)从日用品 x1, x2 , x3 , y1, y2 中任取两件,所有可能的结果为: {x1, x2},{x1, x3},{x1, y1},{x1, y2},{x2 , x3},{x2, y1},{x2, y2},{x3, y1},{x3, y2},{y1, y2} ,…8


设事件 A 表示“从日用品 x1, x2 , x3, y1, y2 中任取两件,其等级系数相等”,则 A 包含的 基本事件为:{x1, x2},{x1, x3},{x2, x3},{y1, y2} 共 4 个,………10 分 又基本事件的总数为 10,故所求的概率 P( A) ? 4 ? 0.4.………12 分
10

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19.解:(I)函数 f (x)的定义域为(0,??).

当 a ? ?2e时, f ?(x) ? 2x ? 2e ? 2(x ? e)( x ? e) .

x

x

当 x 变化时, f ?(x), f (x) 的变化情况如下:

…………2 分

x f ?(x) f (x)

(0, e )


e
0 极小值

( e,??)
+

由上可知,函数 f (x)的单调递减区间是 (0, e ) ,单调递增区间是 ( e,??). …6 分

(II)由 g(x) ? x2 ? a ln x ? 2 ,得g?(x) ? 2x ? a ? 2 .

x

x x2

又函数 g(x) ? x2 ? a ln x ? 2 为[1,3]上单调减函数, x

则 g?(x)

? 0 在[1,3]上恒成立,所以不等式 2x ?

2 x2

?

a x

?

0 在[1,3]上恒成立.

即 a ? 2 ? 2x 2 在[1,3]上恒成立. x

…………10 分

又 ? ?( x)

?

?

2 x2

? 4x

?

0, ??(x)

?

2 x

? 2x2 在[1,3]为减函数,

所以?(x)的最小值为?(3) ? ? 52 . 即 a 的取值范围为 (??,? 52)

3

3

…12 分

解:

20.(1)直线 AB 的斜率 kAB

?

b a

,将 x

? c 代入椭圆方程得

y2 b2

?1?

c2 a2

?

b2 a2

,2



得点 C(c, b2 a

) ,于是 kOC

?

b2 ac

,由

b a

?

b2 ac

得b ? c

………4 分

?椭圆的离心率为 c ? c ? 2 a c2 ? b2 2

(2)设椭圆方程为

x2 2b2

?

y2 b2

?1,

设动点 P 的坐标为 (x0 , y0 ) , ?OMP重心 G 的坐标为 (x, y) ,

则有 x

?

x0 ? 3 , y 3

?

y0 3

,于是有

x0

? 3x ? 3,

y0

? 3y





……6 分 ………8

代入椭圆方程并整理得 9(x ?1)2 ?18 y2 ? 2b2 ? 0 ,

………10 分

因轨迹经过点 (1,1) ,得 b2 ? 9 ,?椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1 18 9

………12 分

21. 解:(I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,

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?3a ??3a

? ?

2b 2b

? ?

3 3

? ?

0 , 0

解得 a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x………2 分

(II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),

当-1<x<1 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间[-1,1]上为减函数,

fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2……………………………………4 分 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4…………………………6 分 (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x3-3x,∴点 A(1,m)不在曲线上.

设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0 ? x03 ? 3x0 .



f

?(x0 )

?

3( x02

? 1)

,故切线的斜率为 3(x02

?1)

?

x03

? 3x0 ? m x0 ?1



整理得 2x03 ? 3x02 ? m ? 3 ? 0 .∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线,

∴关于 x0 方程 2x03 ? 3x02 ? m ? 3 =0 有三个实根.……………………8 分

设 g(x0)= 2x03 ? 3x02 ? m ? 3 ,则 g′(x0)=6 x02 ? 6x0 , 由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.

∴函数 g(x0)= 2x03 ? 3x02 ? m ? 3 的极值点为 x0=0,x0=1………10 分

∴关于

x0 方程 2x03

? 3x02

? m ? 3 =0

有三个实根的充要条件是

?g(0) ? 0 ??g(1) ? 0

,解得-3<m<

-2.

故所求的实数 a 的取值范围是 (?3,?2) . ……12 分

22. ( 1 ) ? c ? 6 ,? a 2 ? 3b2 , 又 原 点 到 直 线 AB : bx ? ay ? ab ? 0 的 距 离 为 a3

ab ? 3 ,?b2 ? 1,?椭圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1……4 分

a2 ? b2 2

3

……5 分

? ? ? 2 3

t2 ?1 t2 ?3 2

?2

3

?

2?? ?

t2

1 ?

3

?

1 4

?2 ? ?

?

1, 8

……8



当1 t2 ?3

?

1 , 即t2 4

? 1时,

y1

?

y2

max

?

6, 2

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1

1

6

? S ?PQF1 ? 2 F1F2

y1 ? y2

?

?2 2

2?

2

?

3, ……10 分

1

1

? S?PQF1

?

2 ( PF1

?

QF1

?

PQ )r

?

?4 2

3r ? 2

3r

, ? rmax

?

2

3 2

?

1 2

… … 12



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