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高中数学组卷解析 选择题

一.选择题(共 30 小题)

1. (2015?咸阳一模) 设 A 是整数集的一个非空子集, 对于 k∈A, 如果 k﹣1?A 且 k+1?A, 那么 k 是 A 的一个“孤立元”,给定 A={1,2,3,4,5},则 A 的所有子集中,只有一个“孤立元” 的集合共有( A.10 个 ) B.11 个 C.12 个 D.13 个

2.(2015?上海模拟)函数 y=m|x|与 件是( A. ) B.

在同一坐标系的图象有公共点的充要条

C.m≥1

D.m>1

3.(2014?荆州一模)已知 f(x)=x ﹣6x +9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c) =0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0; ③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0; ⑤abc<4; ⑥abc>4. 其中正确结论的序号是( A.①③⑤ ) C.②③⑤ D.②④⑥ B.①④⑥

3

2

4.(2014?祁东县校级模拟)如图所示,正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,E,F 分 别是棱 AA′,CC′的中点,过直线 E,F 的平面分别与棱 BB′、DD′交于 M,N,设 BM=x,x∈[0, 1],给出以下四个命题: ①平面 MENF⊥平面 BDD′B′; ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; ③四边形 MENF 周长 L=f(x),x∈[0,1]是单调函数; ④四棱锥 C′﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数; 以上命题中假命题的序号为( )

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A.①④

B. ②

C.③

D.③④

5.(2014?南昌模拟)给出定义:若 x∈(m﹣ ,m+ ](其中 m 为整数),则 m 叫做 实数 x 的“亲密的整数”,记作{x}=m,在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x﹣{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)在 x∈(0,1)上是增函数; ②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈z)对称; ③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; ④当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x)﹣lnx 有两个零点. 其中正确命题的序号是( A.②③④ ) C.①② D.②④ B.②③

6.(2014?仙游县校级模拟)设非空集合 S={x|m≤x≤n}满足:当 x∈S 时,有 x ∈S,给出 如下三个命题: ①若 m=1 则 S={1}; ②若 m=﹣ ,则 ≤n≤1; ③若 n= ,则﹣ ≤m≤0. ) C.②③ D.①②③

2

其中正确的命题的个数为( A. ①

B.①②

7.(2015?沈阳一模)函数 y= 的横坐标之和等于( A. 2 ) B. 4

的图象与函数 y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点

C.6

D. 8

8.(2015?南宁一模)f(x)=x ﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意的 x1∈[﹣1,2], 存在 x0∈[﹣1,2],使 g(x1)=f(x0),则 a 的取值范围是( A. B. C.[3,+∞) ) D.(0,3]

2

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9.(2015?中山市校级二模)函数

,则当 f(x)≥1 时,

自变量 x 的取值范围为( A. B.

) C. D.

10. (2014?东湖区校级三模)如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1, M、N 分别在 AD1,BC 上移动,并始终保持 MN∥平面 DCC1D1,设 BN=x,MN=y,则函数 y=f (x)的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

11.(2014?余杭区校级模拟)已知 f(x)=ax +bx +cx+d,g(x)=ax +2bx+3c(a≠0), 若 y=g(x)的图象如图所示,则下列图象可能为 y=f(x)的图象是( )

3

2

2

A.

B.

C.

D.

12.(2014?梅州一模)若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件:
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①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上; ②P、Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q, P]看作同一对“友好点对”), 已知函数 f(x)= A. 0 对 B. 1 对 ,则此函数的“友好点对”有( C.2 对 )

D. 3 对
2

13.(2014?陈仓区校级一模)已知函数 f(x)= ﹣f(x)=0 的不相等的实根个数( A. 5 B. 6 ) C.7 D. 8

,则方程 f (x)

14.(2014?阜阳校级一模)任意 a、b∈R,定义运算
x

,则 f(x)

=x*e 的(

) B. 最小值为 C. 最大值为 D.最大值为 e

A.最小值为﹣e

15.(2014?濮阳二模)已知函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的 不等实数 x1、x2,不等式(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立,则不等式 f(1﹣x)<0 的 解集为( ) A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,1)

16. (2014?扶沟县校级模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣4)=﹣f(x), 且 x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),甲,乙,丙,丁四位同学有下列结论: 甲:f(3)=1; 乙:函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是增函数; 丙:函数 f(x)关于直线 x=4 对称; 丁:若 m∈(0,1),则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,8]上所有根之和为﹣8. 其中正确的是( A.甲,乙,丁 ) B.乙,丙 C.甲,乙,丙 D.甲,丁

17.(2014?南昌模拟)已知 f(x)是 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2 ﹣2x a 是函数 g(x)=ln(x+1)﹣ 的正零点,则 f(﹣2),f(a),f(1.5)的大小关系是(

x

,又 )

A.f(1.5)<f(a)<fB.f(﹣2)<f(1.5) C.f(a)<f(1.5)<fD.f(1.5)<f(﹣2) (﹣2) <f(a) (﹣2) <f(a)

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18.(2014?渭南二模)已知函数 g(x)是 R 上的奇函数,且当 x<0 时 g(x)=﹣ln(1
2

﹣x),函数 是( ) B. D.

若 f(2﹣x )>f(x),则实数 x 的取值范围

A.(﹣2,1) C. (﹣1,2)

19.(2014?抚州模拟)图中的阴影部分由底为 1,高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的 两矩形所构成.设函数 S=S(a)(a≥0)是图中阴影部分介于平行线 y=0 及 y=a 之间的那一部分 的面积,则函数 S(a)的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

20.(2014?上饶一模)某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况, 小车从点 A 出发的运动轨迹如图所示. 设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 θ=∠AOP (> 0),练车时间为 t,则函数 θ=f(t)的图象大致为( )

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A .

B .

C .

D .

21.(2014?凉州区二模)已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且 f(x) 的导数 f′(x)在 R 上恒有 f′(x) A.(1,+∞) (x∈R),则不等式 f(x )< C.(﹣1,1)
2

的解集为(



B.(﹣∞,﹣1)

D.(﹣∞,﹣1)∪(1, +∞)

22.(2014?山东模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=﹣f (x),当 0≤x≤1 时, A.2n(n∈Z) ,则使 B.2n﹣1(n∈Z) 的 x 的值是( C.4n+1(n∈Z) ) D.4n﹣1(n∈Z)

23.(2014?张掖模拟)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[0,2]时,f(x)=(x﹣1)
2

,如果 g(x)=f(x)﹣log5|x﹣1|,则函数 y=g(x)的所有零点之和为( B. 4 C.6 D. 8



A. 2

24.(2014?宜昌三模)设函数 y=f(x)在区间(a,b)的导函数 f′(x),f′(x)在区 间(a,b)的导函数 f″(x),若在区间(a,b)上的 f″(x)<0 恒成立,则称函数 f(x)在区 间(a,b)上为“凸函数”,已知 函数 f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”,则 b﹣a 的最大值为( A. 1 B. 2 C.3 ,若当实数 m 满足|m|≤2 时, ) D. 4

25.(2014?揭阳校级三模)定义函数 y=f(x),x∈D,若存在常数 C,对任意的 x1∈D, 存在唯一的 x2∈D, 使得 , 则称函数 f (x) 在 D 上的几何平均数为 C. 已 ) D. 4 ,若|f(x)|≥ax 在 x∈[﹣ ) C.[0,1]
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知 f(x)=x,x∈[2,4],则函数 f(x)=x 在[2,4]上的几何平均数为( A. B. 2 26.(2014?嘉峪关校级模拟)已知 1,1]上恒成立,则实数 a 的取值范围( A.(﹣∞﹣1]∪[0, B.[﹣1,0] C.

D . [ ﹣1 , 0 )

+∞)

27.(2014?庐阳区校级模拟)若直角坐标平面内的两个点 P 和 Q 满足条件:①P 和 Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P 和 Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友 好点对”([P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”).已知函数 则此函数的“友好点对”有( A. 0 对 B. 1 对 ) C.2 对 D. 3 对 ,

28.(2014?黄山一模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)

= A.﹣1 B. 0

,则 f(2011)的值为( C.1

) D. 2

29.(2015?临潼区校级模拟)设函

,则函数 g(x)=f (x)﹣x 的零点的个数为( A. 3 个 B. 2 个 ) C.1 个 D. 0 个 ,当 x∈[0,1]时,f

30.(2015?钦州模拟)若函数 f(x)满足

(x)=x,若在区间(﹣1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是 ( A. ) B. C. D.

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一.选择题(共 30 小题) 1.(2015?咸阳一模)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k﹣1?A 且 k+1?A,那 么 k 是 A 的一个“孤立元”,给定 A={1,2,3,4,5},则 A 的所有子集中,只有一个“孤立元” 的集合共有( A.10 个 ) B.11 个 C.12 个 D.13 个

考点:元素与集合关系的判断. 专题:综合题;压轴题.

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分析:本题考查的是新定义和集合知识联合的问题.在解答时首先要明确集合 A 的所有子集是 什么,然后严格按照题目当中对“孤立元”的定义逐一验证即可.当然,如果按照“孤立元” 出现的情况逐一排查亦可. 解答:解:“孤立元“是 1 的集合:{1};{1,3,4};{1,4,5};{1,3,4,5}; “孤立元“是 2 的集合:{2};{2,4,5}; “孤立元“是 3 的集合:{3}; “孤立元“是 4 的集合:{4};{1,2,4}; “孤立元“是 5 的集合:{5};{1,2,5};{2,3,5};{1,2,3,5}. 共有 13 个; 故选 D. 点评:本题考查的是集合知识和新定义的问题. 在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确 定性,与集合子集个数、子集构成的规律.此题综合性强,值得同学们认真总结和归纳.

2. (2015?上海模拟) 函数 y=m|x|与 A. B.

在同一坐标系的图象有公共点的充要条件是 ( C.m≥1 D.m>1



考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与圆锥曲线的关系. 专题:计算题;压轴题;转化思想. 分析: “函数 y=m|x|与

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在同一坐标系的图象有公共点”等价于“方程 m|x|=

有实

数解”,由此能求出它的充要条件. 解答: 解:∵方程 m|x|= ∴m≥0, m x =x +1,即(m ﹣1)x ﹣1=0, 当 m=1 时,方程为﹣1=0 无意义 当 m≠1 时,有△ =4(m ﹣1)≥0,∴m≥1 或 m≤﹣1(舍). 综上知 m>1 故选 D. 点评:本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断,解题时要注意方程有实数解的应用. 3.(2014?荆州一模)已知 f(x)=x ﹣6x +9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现 给出如下结论: ①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0;
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3 2 2 2 2 2 2 2

有实数解,

③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0; ⑤abc<4; ⑥abc>4. 其中正确结论的序号是( A.①③⑤ ) C.②③⑤ D.②④⑥ B.①④⑥

考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;压轴题.

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分析:根据 f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0,确定函数的极值点 及 a、b、c 的大小关系,由此可得结论. 解答:解:求导函数可得 f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3) ∴当 1<x<3 时,f'(x)<0;当 x<1,或 x>3 时,f'(x)>0 所以 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,1)和(3,+∞) 单调递减区间为(1,3) 所以 f(x)极大值=f(1)=1﹣6+9﹣abc=4﹣abc, f(x)极小值=f(3)=27﹣54+27﹣abc=﹣abc 要使 f(x)=0 有三个解 a、b、c,那么结合函数 f(x)草图可知: a<1<b<3<c 及函数有个零点 x=b 在 1~3 之间,所以 f(1)=4﹣abc>0,且 f(3)=﹣abc<0 所以 0<abc<4 ∵f(0)=﹣abc ∴f(0)<0 ∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0 故答案为:②③⑤ 点评:本题考查函数的零点、极值点,解不等式,综合性强,利用数形结合可以使本题直观. 4.(2014?祁东县校级模拟)如图所示,正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,E,F 分别是棱 AA′,CC′的中点,过直线 E,F 的平面分别与棱 BB′、DD′交于 M,N,设 BM=x,x∈[0,1],给 出以下四个命题: ①平面 MENF⊥平面 BDD′B′; ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; ③四边形 MENF 周长 L=f(x),x∈[0,1]是单调函数; ④四棱锥 C′﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数; 以上命题中假命题的序号为( )

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A.①④

B. ②

C.③

D.③④

考点:命题的真假判断与应用.

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专题:压轴题;空间位置关系与距离. 分析:①利用面面垂直的判定定理去证明 EF⊥平面 BDD'B'.②四边形 MENF 的对角线 EF 是固 定的,所以要使面积最小,则只需 MN 的长度最小即可.③判断周长的变化情况.④求出 四棱锥的体积,进行判断. 解答:解:①连结 BD,B'D',则由正方体的性质可知,EF⊥平面 BDD'B',所以平面 MENF⊥平 面 BDD'B',所以①正确. ②连结 MN,因为 EF⊥平面 BDD'B',所以 EF⊥MN,四边形 MENF 的对角线 EF 是固定 的, 所以要使面积最小, 则只需 MN 的长度最小即可, 此时当 M 为棱的中点时, 即 x= 时, 此时 MN 长度最小,对应四边形 MENF 的面积最小.所以②正确. ③因为 EF⊥MN, 所以四边形 MENF 是菱形. 当 x∈[0, ]时, EM 的长度由大变小. 当 x∈[ , 1]时,EM 的长度由小变大.所以函数 L=f(x)不单调.所以③错误. ④连结 C'E,C'M,C'N,则四棱锥则分割为两个小三棱锥,它们以 C'EF 为底,以 M,N 分别为顶点的两个小棱锥.因为三角形 C'EF 的面积是个常数.M,N 到平面 C'EF 的距离 是个常数,所以四棱锥 C'﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数,所以④正确. 所以四个命题中③假命题. 所以选 C.

点评:本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式, 本题巧妙的把立体 几何问题和函数进行的有机的结合, 综合性较强, 设计巧妙, 对学生的解题能力要求较高.

5.(2014?南昌模拟)给出定义:若 x∈(m﹣ ,m+ ](其中 m 为整数),则 m 叫做实数 x 的 “亲密的整数”,记作{x}=m,在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x﹣{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)在 x∈(0,1)上是增函数;
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②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈z)对称; ③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; ④当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x)﹣lnx 有两个零点. 其中正确命题的序号是( A.②③④ ) C.①② D.②④ B.②③

考点:命题的真假判断与应用. 专题:压轴题.

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分析: ①x∈(0,1)时,m= ,可得 f(x)=|x﹣{x}|=|x﹣ |,从而可得函数的单调性; ②利用新定义,可得{k﹣x}=k﹣m,从而可得 f(k﹣x)=|k﹣x﹣{k﹣x}|=|k﹣x﹣(k﹣m) |=|x﹣{x}|=f(x); ③验证{x+1}={x}+1=m+1,可得 f(x+1)=|(x+1)﹣{x+1}|=|x﹣{x}|=f(x); ④由上,在同一坐标系中画出函数图象,即可得到当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x) ﹣lnx 有两个零点. 解答: 解:①x∈(0,1)时,m= ,∴f(x)=|x﹣{x}|=|x﹣ |,函数在(﹣∞, )上是减函数, 在( ,+∞)上是增函数,故①不正确; ②∵x∈(m﹣ ,m+ ],∴k﹣m﹣ <k﹣x≤k﹣m+ (m∈Z) ∴{k﹣x}=k﹣m ∴f(k﹣x)=|k﹣x﹣{k﹣x}|=|k﹣x﹣(k﹣m)|=|x﹣{x}|=f(x) ∴函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈z)对称,故②正确; ③∵x∈(m﹣ ,m+ ],∴﹣ <(x+1)﹣(m+1)≤ , ∴{x+1}={x}+1=m+1,∴f(x+1)=|(x+1)﹣{x+1}|=|x﹣{x}|=f(x), ∴函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; ④由题意,当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x)﹣lnx 有两个零点. ∴正确命题的序号是②③④ 故选 A. 点评:本题为新定义题目,考查了函数奇偶性,周期性,单调性,对称性的判断,解题的关键是 读懂定义内涵,尝试探究解决,属于中档题. 6.(2014?仙游县校级模拟)设非空集合 S={x|m≤x≤n}满足:当 x∈S 时,有 x ∈S,给出如下三 个命题: ①若 m=1 则 S={1}; ②若 m=﹣ ,则 ≤n≤1; ③若 n= ,则﹣ ≤m≤0. )
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2

其中正确的命题的个数为(

A. ①

B.①②

C.②③

D.①②③

考点:命题的真假判断与应用. 专题:证明题;压轴题.

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分析:由定义设非空集合 S={x|m≤x≤n}满足:当 x∈S 时,有 x2∈S,当 x=n 时,n2∈S 即 n2≤n,解 得 0≤n≤1,当 x=m 时,m ∈S 即 m ≥m,解得 m≤0,或 m≥1.令 m=1,根据 m 的范围,可 判断①的真假;令 m=﹣ ,由 m = ∈S 得 ≤n,结合 n 的取值范围,可判断②的真假;
2 2 2

令 n= ,根据 m ∈S,可得

2

,解不等式组,求出 m 的范围,可判断③的

真假. 解答:解:由定义设非空集合 S={x|m≤x≤n}满足:当 x∈S 时,有 x2∈S,当 x=n 时,n2∈S 即 n2≤n, 解得 0≤n≤1 当 x=m 时,m ∈S 即 m ≥m,解得 m≤0,或 m≥1 若 m=1,由 1=m≤n≤1,可得 m=n=1,即 S={1},故①正确; ②m=﹣ ,m = ∈S,即 ≤n,故 ≤n≤1,故②正确;
2 2 2

对于③若 n= ,由 m ∈S,可得

2

解得﹣

≤m≤0,故③正确;

故选 D 点评:本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题,解答的关键是对新定义 的概念的正确理解,列出不等关系转化为不等式问题解决.

7.(2015?沈阳一模)函数 y= 标之和等于( A. 2 ) B. 4

的图象与函数 y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐

C.6

D. 8

考点:奇偶函数图象的对称性;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 专题:压轴题;数形结合. 分析: 的图象由奇函数

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的图象向右平移 1 个单位而得,所以它的图象关于点

(1,0)中心对称,再由正弦函数的对称中心公式,可得函数 y2=2sinπx 的图象的一个对 称中心也是点(1,0),故交点个数为偶数,且每一对对称点的横坐标之和为 2.由此不 难得到正确答案. 解答: 解:函数 如图
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,y2=2sinπx 的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象

当 1<x≤4 时,y1<0 而函数 y2 在(1,4)上出现 1.5 个周期的图象, 在 在 和 和 上是减函数; 上是增函数.

∴函数 y1 在(1,4)上函数值为负数,且与 y2 的图象有四个交点 E、F、G、H 相应地,y1 在(﹣2,1)上函数值为正数,且与 y2 的图象有四个交点 A、B、C、D 且:xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为 8 故选 D

点评:发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口,讨论函数 y2=2sinπx 的单调性找出区间 (1,4)上的交点个数是本题的难点所在. 8.(2015?南宁一模)f(x)=x ﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意的 x1∈[﹣1,2],存在 x0∈[﹣1,2],使 g(x1)=f(x0),则 a 的取值范围是( A. B. C.[3,+∞) ) D.(0,3]
2

考点:函数的值域;集合的包含关系判断及应用. 专题:计算题;压轴题.

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分析:先求出两个函数在[﹣1, 2]上的值域分别为 A、 B, 再根据对任意的 x1∈[﹣1, 2], 存在 x0∈[﹣ 1,2],使 g(x1)=f(x0),集合 B 是集合 A 的子集,并列出不等式,解此不等式组即 可求得实数 a 的取值范围,注意条件 a>0. 解答:解:设 f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),在[﹣1,2]上的值域分别为 A、B, 由题意可知:A=[﹣1,3],B=[﹣a+2,2a+2] ∴ ∴a≤ 又∵a>0, ∴0<a≤ 故选:A 点评:此题是个中档题.考查函数的值域,难点是题意的理解与转化,体现了转化的思想.同时 也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,
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9.(2015?中山市校级二模)函数 x 的取值范围为( A. B. ) C.

,则当 f(x)≥1 时,自变量

D.

考点:分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题:计算题;压轴题;分类讨论.

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分析:根据题意分两种情况 x>2 和 x≤2, 代入对应的解析式列出不等式求解, 最后必须解集和 x 的范围求交集. 解答: 解:∵ ,∴分两种情况:

①当 x>2 时,由 f(x)≥1 得,

,解得 2<x≤3,

②当 x≤2 时,由 f(x)≥1 得,|3x﹣4|≥1,即 3x﹣4≥1 或 3x﹣4≤﹣1, 解得,x≤1 或 x≥ ,则 x≤1 或 ≤x≤2. 综上,所求的范围是 故选 D. 点评:本题考查了分段函数求不等式的解集,根据解析式对 x 分两种情况,代入对应的关系式列 出不等式求解,注意解集要和 x 的范围求交集. 10.(2014?东湖区校级三模)如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,M、N 分别在 AD1,BC 上移动,并始终保持 MN∥平面 DCC1D1,设 BN=x,MN=y,则函数 y=f(x) 的图象大致是( ) .

A.

B.

C.

D.

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考点:函数的图象与图象变化;直线与平面平行的性质. 专题:压轴题;数形结合.

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分析:由 MN∥平面 DCC1D1,我们过 M 点向 AD 做垂线,垂足为 E,则 ME=2AE=BN,由此易 得到函数 y=f(x)的解析式,分析函数的性质,并逐一比照四个答案中的图象,我们易 得到函数的图象. 解答:解:若 MN∥平面 DCC1D1, 则|MN|= =

即函数 y=f(x)的解析式为 f(x)= (0≤x≤1)

其图象过(0,1)点,在区间[0,1]上呈凹状单调递增 故选 C 点评:本题考查的知识点是线面平行的性质,函数的图象与性质等,根据已知列出函数的解析式 是解答本题的关键. 11.(2014?余杭区校级模拟)已知 f(x)=ax +bx +cx+d,g(x)=ax +2bx+3c(a≠0),若 y=g (x)的图象如图所示,则下列图象可能为 y=f(x)的图象是( )
3 2 2

A.

B.

C.

D.

考点:函数的图象与图象变化.

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专题:压轴题;函数的性质及应用. 分析:由 g(x)=ax2+2bx+3c(a≠0)的图象可得 a<0,b>0,c<0,且 b2=3ac.再由 f′(x) =3ax +2bx+c,由于它的判别式△ ′=4b ﹣12ac=0,故 f′(x)≤0 恒成立,故 f(x)在 R 上 是减函数,由此得到结论. 解答: 2 2 解:由 g(x)=ax +2bx+3c(a≠0)的图象可得,a<0,﹣ >0,3c<0,△ =4b ﹣12ac=0. 化简可得 a<0,b>0,c<0,且 b =3ac. 由 f(x)=ax +bx +cx+d 可得 f′(x)=3ax +2bx+c,由于它的判别式△ ′=4b ﹣12ac=0, 故由二次函数的性质可得 f′(x)≤0 恒成立,故 f(x)在 R 上是减函数,结合图象,只有 C 满足条件, 故选 C. 点评:本题主要考查二次函数的性质,函数的恒成立问题,利用导数研究函数的单调性,属于基
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3 2 2 2 2 2 2

础题. 12.(2014?梅州一模)若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件: ①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上; ②P、Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q, P]看作同一对“友好点对”), 已知函数 f(x)= A. 0 对 B. 1 对 ,则此函数的“友好点对”有( C.2 对 )

D. 3 对

考点:分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题:压轴题;新定义.

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2 分析:根据题意: “友好点对”, 可知, 欲求 f (x) 的“友好点对”, 只须作出函数 y=﹣x ﹣4x (x≤0)

解答:解:根据题意:当 x>0 时,﹣x<0,则 f(﹣x)=﹣(﹣x)2﹣4(﹣x)=﹣x2+4x, 可知,若函数为奇函数,可有 f(x)=x ﹣4x, 则函数 y=﹣x ﹣4x(x≤0)的图象关于原点对称的函数是 y=x ﹣4x 由题意知,作出函数 y=x ﹣4x(x>0)的图象, 看它与函数 f(x)=log2x(x>0)交点个数即可得到友好点对的个数. 如图,
2 2 2 2

的图象关于原点对称的图象,看它与函数 f(x)=log2x(x>0)交点个数即可.

观察图象可得:它们的交点个数是:2. 即 f(x)的“友好点对”有:2 个. 故答案选 C. 点评:本题主要考查了奇偶函数图象的对称性,以及数形结合的思想,解答的关键在于对“友好 点对”的正确理解,合理地利用图象法解决.

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13.(2014?陈仓区校级一模)已知函数 f(x)= =0 的不相等的实根个数( A. 5 B. 6 ) C.7

,则方程 f (x)﹣f(x)

2

D. 8

考点:分段函数的解析式求法及其图象的作法;根的存在性及根的个数判断. 专题:计算题;压轴题;转化思想.

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分析:方程 f2(x)﹣f(x)=0 可解出 f(x)=0 或 f(x)=1,方程 f2(x)﹣f(x)=0 的不相等 的实根个数即两个函数 f(x)=0 或 f(x)=1 的所有不相等的根的个数的和,根据函数 f (x)的形式,求方程的根的个数的问题可以转化为求两个函数 y=0,y=1 的图象与函数 f (x)的图象的交点个数的问题. 解答:解:方程 f2(x)﹣f(x)=0 可解出 f(x)=0 或 f(x)=1, 方程 f (x)﹣f(x)=0 的不相等的实根个数即两个函数 f(x)=0 或 f(x)=1 的所有不 相等的根的个数的和,方程的根的个数与两个函数 y=0,y=1 的图象与函数 f(x)的图象的交点个数相同, 如图,由图象,y=1 的图象与函数 f(x)的图象的交点个数有四个,y=0 的图象与函数 f (x)的图象的交点个数有三个, 故方程 f (x)﹣f(x)=0 有七个解, 应选 C.
2 2

点评:本题考点是分段函数,考查解分段函数类型的方程,求其根的个数,此类题常转化为求函 数交点的个数,用图象法来求解.

14.(2014?阜阳校级一模)任意 a、b∈R,定义运算 的( )
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,则 f(x)=x*e

x

A.最小值为﹣e

B.

最小值为

C.

最大值为

D.最大值为 e

考点:函数单调性的性质. 专题:压轴题;新定义.

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分析:先由定义求出 f(x)的表达式,在利用分段函数求值域分段找的方法求出函数的最值. 解答: 解:由题中定义可得 f(x)= ,

∴f′(x)=



当 x≤0 时,f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数,在(﹣1,0)上为增函数, 所以 f(x)在 x=﹣1 时取极小值 f(﹣1)=﹣ , 当 x>0 时,f(x)在(1,+∞)上为增函数,在(0,1)上为减函数, 所以 f(x)在 x=1 时取极小值 f(1)=﹣ , 又因为 f(﹣1)=f(1)=﹣ , 所以 f(x)=x*e 的最小值为﹣ , 故选 B. 点评:本题在考查新定义的基础上,又考查了分段函数求值域的方法,关于新定义的题,关键在 于理解新定义,并会用新定义解题. 15.(2014?濮阳二模)已知函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1、x2,不等式(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立,则不等式 f(1﹣x)<0 的解集为( A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,1) 考点:奇偶性与单调性的综合. )
x

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专题:计算题;压轴题;转化思想. 分析:先利用不等式(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立得到函数 f(x)是定义在 R 上的减 函数;再利用函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数得到函数 f(x)过(1,0)点,二者 相结合即可求出不等式 f(1﹣x)<0 的解集. 解答:解:由不等式(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立得,函数 f(x)是定义在 R 上的减 函数 ①. 又因为函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,所以有函数 f(x+1)过点(0,0); 故函数 f(x)过点(1,0)②. ①②相结合得:x>1 时,f(x)<0. 故不等式 f(1﹣x)<0 转化为 1﹣x>1?x<0. 故选 C.
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点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题.关键点有两处:①判断出函数 f(x) 的单调性;②利用奇函数的性质得到函数 f(x)过(1,0)点. 16. (2014?扶沟县校级模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣4)=﹣f(x),且 x∈[0, 2]时,f(x)=log2(x+1),甲,乙,丙,丁四位同学有下列结论: 甲:f(3)=1; 乙:函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是增函数; 丙:函数 f(x)关于直线 x=4 对称; 丁:若 m∈(0,1),则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,8]上所有根之和为﹣8. 其中正确的是( A.甲,乙,丁 ) B.乙,丙 C.甲,乙,丙 D.甲,丁

考点:奇偶性与单调性的综合.

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专题:压轴题;操作型;函数的性质及应用. 分析:取 x=1,得 f(3)=﹣f(﹣3)=1;f(x﹣4)=f(﹣x),则 f(x﹣2)=f(﹣x﹣2);奇 函数 f(x),x∈[﹣2,2]时,函数为单调增函数,利用函数 f(x)关于直线 x=﹣2 对称, 可得函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数;若 m∈(0,1),则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,8]上有 4 个根,其中两根的和为﹣6× 2=﹣12,另两根的和为 2× 2=4,故可得结论. 解答: 解:取 x=1,得 f(1﹣4)=﹣f(1)=﹣ 故甲的结论正确; 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣4)=﹣f(x),则 f(x﹣4)=f(﹣x),∴f(x ﹣2)=f(﹣x﹣2),∴函数 f(x)关于直线 x=﹣2 对称,故丙不正确; 奇函数 f(x),x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),∴x∈[﹣2,2]时,函数为单调增函数, ∵函数 f(x)关于直线 x=﹣2 对称,∴函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数,故乙不正确; 若 m∈(0,1),则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,8]上有 4 个根,其中两根的和为 ﹣6× 2=﹣12,另两根的和为 2× 2=4,所以所有根之和为﹣8.故丁正确 故选 D 点评:本题考查函数的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. =﹣1,所以 f(3)=﹣f(﹣3)=1,

17.(2014?南昌模拟)已知 f(x)是 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2 ﹣2x 数 g(x)=ln(x+1)﹣

x

,又 a 是函 )

的正零点,则 f(﹣2),f(a),f(1.5)的大小关系是(

A.f(1.5)<f(a)<fB.f(﹣2)<f(1.5) C.f(a)<f(1.5)<fD.f(1.5)<f(﹣2) (﹣2) <f(a) (﹣2) <f(a)

考点:奇偶性与单调性的综合.

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专题:常规题型;综合题;压轴题. 分析:本题考查的是函数的单调性与奇偶性的综合类问题. 在解答时可先结合零点定理获得 a 与 1.5 和 2 的关系:1.5<a<2,然后利用求导获得函数 f(x)的单调性,再有单调性即可获 得问题的解答. 解答: 解:当 a>0 时,易知 g(x)为增函数,而且 g(2)=ln3﹣1>0,g(1.5)=ln2.5﹣ <lne
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﹣1=0,于是由零点存在定理可知在区间(1.5,2)内 g(x)存在零点,再由单调性结合 题意可知 a 就为这个零点,因此有 1.5<a<2.又当 x≥0 时,直接求导即得 , 于是当 x>1 时, 我们有 f' (x) >2ln2﹣1=ln2 ﹣1>lne﹣1=0, 由此可见 f(x)在(1,+∞)上单调增,可见必有 f(1.5)<f(a)<f(2),而又由于 f (x)为偶函数,所以 f(1.5)<f(a)<f(﹣2). 故选 A. 点评:本题考查的是函数的单调性与奇偶性的综合类问题.在解答时充分体现了零点定理、导数 知识的灵活应用. 其中数形结合的思想、 问题转化的思想在题目中也得到了充分的展现. 值 得同学们体会和反思. 18.(2014?渭南二模)已知函数 g(x)是 R 上的奇函数,且当 x<0 时 g(x)=﹣ln(1﹣x), 函数 A.(﹣2,1) C. (﹣1,2) 若 f(2﹣x )>f(x),则实数 x 的取值范围是( B. D.
2 2



考点:奇偶性与单调性的综合;函数单调性的性质. 专题:计算题;压轴题;函数的性质及应用.

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分析:根据奇函数 g(x)当 x<0 时 g(x)=﹣ln(1﹣x),可得当 x>0 时,g(x)=ln(1+x).结 合 f(x)表达式可得 f(x)在其定义域上是增函数,得 f(2﹣x )>f(x)等价于 2﹣x >x,解之即得本题答案. 解答:解:∵奇函数 g(x)满足当 x<0 时,g(x)=﹣ln(1﹣x), ∴当 x>0 时,g(﹣x)=﹣ln(1+x)=﹣g(x), 得当 x>0 时,g(x)=﹣g(﹣x)=ln(1+x) ∴f(x)的表达式为
3 2 2



∵y=x 是(﹣∞,0)上的增函数,y=ln(1+x)是(0,+∞)上的增函数, ∴f(x)在其定义域上是增函数, 由此可得:f(2﹣x )>f(x)等价于 2﹣x >x, 解之得﹣2<x<1 故选 A
2 2

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点评:本题给出分段函数,要我们解关于 x 的不等式,着重考查了基本初等函数的单调性和函数 的奇偶性等知识,属于中档题. 19.(2014?抚州模拟)图中的阴影部分由底为 1,高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两矩形 所构成.设函数 S=S(a) (a≥0)是图中阴影部分介于平行线 y=0 及 y=a 之间的那一部分的面积, 则函数 S(a)的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

考点:函数的图象.

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专题:计算题;压轴题. 分析:先观察原图形面积增长的速度, 然后根据增长的速度在图形上反映出切线的斜率进行判定 即可. 解答:解:根据图象可知在[0,1]上面积增长的速度变慢,在图形上反映出切线的斜率在变小; 在[1,2]上面积增长速度恒定,在[2,3]上面积增长速度恒定, 而在[1,2]上面积增长速度大于在[2,3]上面积增长速度, 故选:C 点评:本题主要考查了函数的图象,同时考查了识图能力以及分析问题和解决问题的能力,属于 基础题. 20.(2014?上饶一模)某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况,小车从 点 A 出发的运动轨迹如图所示.设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 θ=∠AOP(>0), 练车时间为 t,则函数 θ=f(t)的图象大致为( )

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A .

B .

C .

D .

考点:函数的图象.

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专题:压轴题;函数的性质及应用. 分析:题干错误:θ=∠AOP(>0),应该去掉括号. 根据视角 θ=∠AOP 的值的变化趋势,可得函数图象的单调性特征,从而选出符合条件的 选项. 解答:解:根据小车从点 A 出发的运动轨迹可得,视角 θ=∠AOP 的值先是匀速增大,然后又减 小,接着基本保持不变,然后又减小,最后又快速增大, 故选 D. 点评:本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征,属于基础题. 21.(2014?凉州区二模)已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且 f(x)的导数 f′(x)在 R 上恒有 f′(x) A.(1,+∞) (x∈R),则不等式 f(x )< C.(﹣1,1)
2

的解集为(



B.(﹣∞,﹣1)

D.(﹣∞,﹣1)∪(1, +∞)

考点:抽象函数及其应用. 专题:计算题;压轴题.

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分析: 设出函数 f(x)满足 f(1)=1,且 f(x)的导数 f'(x)在 R 上恒有 f′(x) 然后求出不等式的解集即可.

(x∈R),

解答:解:由题意:定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且 f(x)的导数 f′(x)在 R 上恒有 f′(x) (x∈R),
2

不妨设 f(x)=1,所以不等式 f(x )< ∞,﹣1)∪(1,+∞). 故选 D.

,化为

,即 x >1,解得 x∈(﹣

2

点评:本题是选择题,考查选择题的解法,本题就是利用特殊函数解答题目,只要选择适当的函
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数的表达式即可解答本题,选择不当,解答比较麻烦. 22.(2014?山东模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x), 当 0≤x≤1 时, A.2n(n∈Z) ,则使 B.2n﹣1(n∈Z) 的 x 的值是( C.4n+1(n∈Z) ) D.4n﹣1(n∈Z)

考点:函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题:计算题;压轴题.

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分析:根据 f(x)是奇函数且 f(x+2)=﹣f(x)求出函数的周期,以及﹣1≤x≤0 时的解析式, 然后求出在[﹣1,1]上满足方程 f(x)=﹣ 的解,最后根据周期性即可选得答案. 解答:解:∵f(x)是奇函数且 f(x+2)=﹣f(x), ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) ∴函数 f(x)的周期 T=4. ∵当 0≤x≤1 时,f(x)= x,又 f(x)是奇函数, ∴当﹣1≤x≤0 时,f(x)= x, 令 x=﹣ 解得:x=﹣1 而函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴方程 f(x)=﹣ 的 x 的值是:x=4k﹣1,k∈Z. 故选 D. 点评:本题主要考查函数的奇偶性和递推关系,利用函数的奇偶性和周期性结合来转化是关键, 属于中档题. 23.(2014?张掖模拟)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[0,2]时,f(x)=(x﹣1) ,如 果 g(x)=f(x)﹣log5|x﹣1|,则函数 y=g(x)的所有零点之和为( A. 2 考点:函数的周期性. B. 4 C.6 ) D. 8
2

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专题:压轴题;函数的性质及应用. 分析:先根据函数的周期性画出函数 y=f(x)的图象,以及 y=log5|x﹣1|的图象,结合图象可得 当 x>6 时,y=log5|x﹣1|>1,此时与函数 y=f(x)无交点,再根据 y=log5|x﹣1|的图象关 解答:解:由题意可得 g(x)=f(x)﹣log5|x﹣1|,根据周期性画出函数 f(x)=(x﹣1)2 的图 象 以及 y=log5|x﹣1|的图象, 根据 y=log5|x﹣1|在(1,+∞)上单调递增函数,当 x=6 时,log5|x﹣1|=1, ∴当 x>6 时,y=log5|x﹣1|>1,此时与函数 y=f(x)无交点. 再根据 y=log5|x﹣1|的图象和 f(x)的图象都关于直线 x=1 对称,结合图象可知有 8 个交 点,
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于直线 x=1 对称,可判定函数 g(x)=f(x)﹣log5|x﹣1|的零点个数及零点之和.

且函数 g(x)=f(x)﹣log5|x﹣1|的零点之和为 8, 故选 D.

点评:本题考查函数的零点,求解本题,关键是研究出函数 f(x)性质,作出其图象,将函数 g (x)=f(x)﹣|log5x|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮 点,此一转化使得本题的求解变得较容易,属于中档题. 24.(2014?宜昌三模)设函数 y=f(x)在区间(a,b)的导函数 f′(x),f′(x)在区间(a,b) 的导函数 f″(x),若在区间(a,b)上的 f″(x)<0 恒成立,则称函数 f(x)在区间(a,b) 上为“凸函数”,已知 在区间(a,b)上为“凸函数”,则 b﹣a 的最大值为( A. 1 B. 2 C.3 ,若当实数 m 满足|m|≤2 时,函数 f(x) ) D. 4

考点:函数恒成立问题;导数的运算.

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专题:压轴题;新定义;函数的性质及应用. 分析:利用函数总为“凸函数”,即 f″(x)<0 恒成立,转化为不等式恒成立问题,讨论解不等 式即可. 解答:解:当|m|≤2 时,f″(x)=x2﹣mx﹣3<0 恒成立等价于当|m|≤2 时,mx>x2﹣3 恒成立. 当 x=0 时,f″(x)=﹣3<0 显然成立. 当 x>0,x﹣ <m ∵m 的最小值是﹣2,∴x﹣ <﹣2,从而解得 0<x<1; 当 x<0,x﹣ >m ∵m 的最大值是 2,∴x﹣ >2,从而解得﹣1<x<0. 综上可得﹣1<x<1,从而(b﹣a)max=1﹣(﹣1)=2 故选 B. 点评:本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法, 关键是要理解题目所给信息 (新定义) , 考查知识迁移与转化能力,属于中档题. 25.(2014?揭阳校级三模)定义函数 y=f(x),x∈D,若存在常数 C,对任意的 x1∈D,存在唯 一的 x2∈D,使得 ,则称函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 C.已知 f ) D. 4

(x)=x,x∈[2,4],则函数 f(x)=x 在[2,4]上的几何平均数为( A. B. 2 C.
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考点:函数的值.

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专题:压轴题;新定义. 分析:根据已知中对于函数 y=f(x),x∈D,若存在常数 C,对任意 x1∈D,存在唯一的 x2∈D, 使得 ,则称函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 C.我们易得若

函数在区间 D 上单调递增, 则 C 应该等于函数在区间 D 上最大值与最小值的几何平均数, 由 f(x)=x,D=[2,4],代入即可得到答案. 解答:解:根据已知中关于函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 C 的定义, 结合 f(x)=x 在区间[2,4]单调递增 则 x1=2 时,存在唯一的 x2=4 与之对应 故 C= 故选 C. 点评:本题考查的知识点是函数单调性的性质,其中根据函数在区间上的几何平均数的定义,判 断出 C 等于函数在区间 D 上最大值与最小值的几何平均数,是解答本题的关键. =2

26.(2014?嘉峪关校级模拟)已知 恒成立,则实数 a 的取值范围( A.(﹣∞﹣1]∪[0, +∞) 考点:二次函数的图象;一次函数的性质与图象. 专题:计算题;压轴题;数形结合. 分析: 先画出函数 本题. 解答: B.[﹣1,0] ) C.[0,1]

,若|f(x)|≥ax 在 x∈[﹣1,1]上

D . [ ﹣1 , 0 )

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和|f(x)|的图象;利用图象再结合答案即可解决

解:函数

的图象如图:

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|f(x)|的图象如图: 因为|f(x)|≥ax 在 x∈[﹣1,1]上恒成立, 所以 y=ax 的图象应在 y=|f(x)|的图象的下方, 故须斜率为负,或为 0. 当斜率为负时,排除答案 A,C; 当 a=0,y=0 满足要求,排除 D. 故选 B. 点评:本题主要考查函数的图象.其中涉及到二次函数,一次函数,分段函数以及带绝对值的函 数的图象,是对函数的大汇总,在画整体带绝对值的函数图象时,注意起翻折原则是 X 轴上方的保持不变,X 轴下方的沿 x 轴对折. 27.(2014?庐阳区校级模拟)若直角坐标平面内的两个点 P 和 Q 满足条件:①P 和 Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P 和 Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对” ([P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”).已知函数 数的“友好点对”有( A. 0 对 ) B. 1 对 C.2 对 D. 3 对 ,则此函

考点:对数函数图象与性质的综合应用.

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专题:压轴题;新定义;函数的性质及应用.
2 分析:根据题意: “友好点对”, 可知, 欲求 f (x) 的“友好点对”, 只须作出函数 y=﹣x ﹣4x (x≤0)

的图象关于原点对称的图象,看它与函数 f(x)=log2x(x>0)交点个数即可. 解答:解:根据题意:当 x>0 时,﹣x<0,则 f(﹣x)=﹣(﹣x)2﹣4(﹣x)=﹣x2+4x, 可知,若函数为奇函数,可有 f(x)=x ﹣4x, 则函数 y=﹣x ﹣4x(x≤0)的图象关于原点对称的函数是 y=x ﹣4x 由题意知,作出函数 y=x ﹣4x(x>0)的图象, 看它与函数 f(x)=log2x(x>0)交点个数即可得到友好点对的个数. 如图, 观察图象可得:它们的交点个数是:2. 即 f(x)的“友好点对”有:2 个. 故答案选 C.
2 2 2 2

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点评:本题主要考查了奇偶函数图象的对称性,以及数形结合的思想,解答的关键在于对 “友好 点对”的正确理解,合理地利用图象法解决.

28. (2014?黄山一模) 定义在 R 上的函数 ( f x) 满足 ( f x) = 则 f(2011)的值为( A.﹣1 ) B. 0 C.1 D. 2



考点:对数的运算性质;函数的值. 专题:计算题;压轴题.

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分析:通过函数的表达式,利用 f(2011)推出 x>0 时,函数的周期,求出 f(2011)=f(1), 然后求解函数的值. 解答:解:f(2011)=f(2010)﹣f(2009)=f(2009)﹣f(2008)﹣f(2009)=﹣f(2008)= ﹣f(2007)+f(2006)=﹣[f(2006)﹣f(2005)﹣f(2006)]=f(2005). 函数 f(x),x>0 时,周期为 6, ∴f(2011)=f(1)=f(0)﹣f(﹣1) =log21﹣log22 =﹣1. 故选 A. 点评:本题主要考查对数的运算性质和有理数指数幂的化简求值的知识点, 解答本题的关键是熟 练对数的运算性质,此题难度一般.

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29.(2015?临潼区校级模拟)设函 ,则函数 g(x)=f (x)﹣x 的零点的个数为( A. 3 个 考点:函数的零点. B. 2 个 ) C.1 个 D. 0 个

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专题:计算题;压轴题;分类讨论;转化思想. 分析:根据 f(x)=x2﹣bx+c,f(﹣4)=f(0),f(﹣2)=﹣2 以及二次函数图象的对称性可得 ,即可求得函数的解析式,要求函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点的个数, 即求方程 f(x)=x 根的个数,解方程即可求得结果. 解答:解:∵x≤0 时,f(x)=x2﹣bx+c,f(﹣4)=f(0),f(﹣2)=﹣2 ∴
2

,解得
2



f(x)=x +4x+2,解方程 x +4x+2=x,得 x=﹣1,或 x=﹣2; 当 x>0 时,f(x)=2,解方程 2=x,得 x=2, 综上函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点的个数为 3 个, 故选 A. 点评:本题主要通过零点的概念来考查二次函数和分段函数及方程根的求法,解决分段函数问 题,一般是分段求解,体现了分类讨论的思想,函数的零点与方程的根之间的关系,体现 转化的思想,同时考查了运算能力,属中档题

30.(2015?钦州模拟)若函数 f(x)满足

,当 x∈[0,1]时,f(x)=x, )

若在区间(﹣1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( A. B. C. D.

考点:函数零点的判定定理. 分析: 根据

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专题:计算题;压轴题;数形结合. ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,求出 x∈(﹣1,0)时,f(x)

的解析式,由在区间(﹣1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,转化为两函数图 象的交点,利用图象直接的结论. 解答: 解:∵ ∴x∈(﹣1,0)时, ∴f(x)= ,
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,当 x∈[0,1]时,f(x)=x, ,

因为 g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点, 所以 y=f(x)与 y=mx+m 的图象有两个交点, 函数图象如图,由图得,当 0<m 故选 D. 时,两函数有两个交点

点评:此题是个中档题. 本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解 析式, 体现了转化的思想, 以及利用函数图象解决问题的能力, 体现了数形结合的思想. 也 考查了学生创造性分析解决问题的能力.

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