江西省南昌市第二中学2015届高三最后一卷数学文试题

南昌二中 2014-2015 学年度下学期 高三数学（文）试卷
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1、已知集合 M ? {?1,0,1, 2,3}, N ? {?2,0} ，则下列结论正确的是 A． N ? M B． M ? N ? N C． M ? N ? M D． M ? N ? ?0?

2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是 A． y ? 2
?x

B． y ? tan x

C． y ? x

3

D． y ? log3 x

3、已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? i 2015 (其中 i 为虚数单位)，则 z 的虚部为 A．

1 2

B． ?

1 2

C． i

1 2

D． ?

1 i 2

4、等比数列 ?an ? 为等差数列，且 a1 ? a7 ? a13 ? 4 ，则 a2 ? a12 的值为 A．

4 3

B．

8 3

C． 2

D． 4

? x ? 3 y ? 3 ? 0， ? 5、若实数 x ， y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0， 则 z ? 2 | x | ? y 的最大值为 ? y ? ?1， ?
（A） 13 （C） 3 （B） 11 （D） 1

6、投掷两枚骰子，则点数之和是 8 的概率为 A．

5 36

B．

1 6

C．

2 15

D．

1 12

7、在平面直角坐标系中，角 ? 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负 半轴重合，终边过点 P(? 3, ?1) ，则 sin(2? ?

?
2

)?
D． ?

A．

3 2

B． ?

3 2

C．

1 2

1 2

8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．

10 3

B．

5 3

C．

20 3

D．4

9、执行右下方的程序框图，如果输入的 N ? 4 ，那么输出的 S 的值为

1 1 1 ? ? 2 3 4 1 1 1 1 C．1 ? ? ? ? 2 3 4 5
A． 1 ? 10 、 在 四 面 体

1 1 1 ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 1 ? ? D．1 ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 5? 4 ? 3? 2
B． 1 ? S-ABC 中 ，

SA ?

平

面

A

B ,? C

? B1? A 2 C 0 ?,

S ?， A

2 A ?,

C

1 A

B

则该四面体的外接球的表面积为 A． 11? B． 7? C．

10? 3

D．

40? 3

11、已知 F 是抛物线 x2 ? 4 y 的焦点，直线 y ? kx ? 1 与该抛物线交于第 一象限内的零点 A, B ，若 AF ? 3 FB ，则 k 的值是

A． 3

B．

3 2

C．

3 3

D．

2 3 3

12 、已知函数 f ? x ? ? ?

x ?1 ? ?1 ? 1 ? x x ? (??, 2) ，设方程 f ? x ? ? 2 2 的根从小到大依次为 ? ?2 f ( x ? 2) x ? [2, ??)

x1, x2 ,?, xn ,?, n ? N ? ，则数列 { f ( xn )} 的前 n 项和为
A． n
2 2 B． n ? n

C． 2 ? 1
n

D． 2

n ?1

?1

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。. 13、已知向量 a ? (2,1), b ? ( x, ?1) ，且 a ? b 与 b 共线，则 x 的值为 14、函数 f ? x ? ? sin 2x ? 4sin x cos x( x ? R) 的最小正周期为
3

?

?

? ?

?

x2 y 2 2 15 、 若 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 截 抛 物 线 y ? 4 x 的 准 线 所 得 线 段 长 为 b ， 则 a b

a?

．
?x

16、设点 P、Q 分别是曲线 y ? xe (e 是自然对数的底数）和直线 y ? x ? 3 上的动点，则 P、 Q 两点间距离的最小值为

三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 （本小题满分 12 分） 在△ABC 中， a, b, c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边长，已知 2 sin A ? 3 cos A . (Ⅰ)若 a 2 ? c 2 ? b 2 ? m bc，求实数 m 的值；(Ⅱ)若 a ? 3 ，求△ABC 面积的最大值．

18、 （本小题满分 12 分） 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方 案如下： 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为 扇形，且每个扇形圆心角均为 15? ，边界忽略不计)即为中奖． 乙商场：从装有 3 个白球和 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(这些球除颜色外 完全相同)，如果摸到的是 2 个红球，即为中奖． 试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.

19、 （本小题满分 12 分） 已知 PA ? 平面 ABCD, CD ? AD, BA ? AD, CD ? AD ? AP ? 4, AB ? 1 。 （Ⅰ）求证： CD ? 平面 ADP ； （Ⅱ）若 M 为线段 PC 上的点，当 BM ? PC 时，求三棱锥 B ? APM 的体积。

20、 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (1, ) ，离心率为 。 2 a b 2 2

（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）不垂直与坐标轴的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，以 AB 为直径的圆过原点，且线段

3 AB 的垂直平分线交 y 轴于点 P (0, ? ) ，求直线 l 的方程。 2

21、 （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) ? x ?
3

5 2 7 x ? ax ? b , g ( x) ? x3 ? x 2 ? ln x ? b ， （ a ， b 为常数） ． 2 2

（Ⅰ）若 g ( x) 在 x ? 1 处的切线过点 (0 , ? 5) ，求 b 的值； （Ⅱ） 设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ， 若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? xf ?( x) 有唯一解， 求实数 b 的取值范围； （Ⅲ）令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ，若函数 F ( x) 存在极值，且所有极值之和大于 5 ? ln 2 ，求实 数 a 的取值范围． 请考生在第（22） 、 （23） （24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．(本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲

△ ABC 内接于圆 O ，AD 平分 ?BAC 交圆 O 于点 D ， 如图， 过点 B 作圆 O 的切线交直线 AD
于点 E .

（Ⅰ）求证： ?EBD ? ?CBD ； （Ⅱ）求证： AB ? BE ? AE ? DC . 23、 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程

1 ? x ? 2? t ? 2 ? (t 为参数） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 ? ，以坐标原点为极点， 3 ?y ? t ? ? 2

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为： ? ? 4 cos ? 。
（Ⅰ）直线 l 的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求直线 l 的曲线 C 交点的极坐标（ ? ? 0,0 ? ? ? 2? ）

24、 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ? a ? 2x ? 1 (a ? 0), g ? x ? ? x ? 2 。 （Ⅰ）当 a ? 1 时，求不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集； （Ⅱ）若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立，求实数 a 的取值范围。

（文科答案）
一、选择题： 1-5 DCABB 6-10 ADABD 11-12 DC

二、填空题： 14.

13.

-2

? 2

15.

2 5 5

16.

3 2 2

三、解答题： 17 ． 解 : (1) 由

A ? 3 c oAs ， 即 2 sin A ? 3cos A 两 边 平 方 得 2 s i2 n

(2 c oAs ? 1) ( cA o ?2 s) ? 0 ，
解得 cos A ?

1 或 cos A ? ?2 (舍)．而 a 2 ? c 2 ? b 2 ? mbc可以变形为 2

m 1 b2 ? c 2 ? a 2 m ? ，即 cos A ? ? ，所以 m ? 1 . 2 2 2bc 2
(2)由(1)知 cos A ?

1 b2 ? c2 ? a 2 1 3 ? ， ，则 sin A ? .又 2 2bc 2 2

所以 bc ? b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 ，即 bc ? a 2 ，当且仅当 b ? c 时等号成立． 故 S?ABC ?

1 a2 3 3 3 bcsin A ? ? ? . 2 2 2 4

18.解：设顾客去甲商场，转动圆盘，指针指向阴影部分为事件 A ，

试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为 ?r 2 （ r 为圆盘的半径)，阴影区域的面 积为 S ? 4 ?

1 ? 2 ? 2 ? r ? r . 2 12 6

? 2 r 1 6 所以， P( A) ? ? . 2 ?r 6

…………………5 分

设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件 B ，记盒子中 3 个白球为 a1 ，a2 ，a3 ，3 个 红球为 b1 ， b2 ， b3 ，记 ( x , y) 为一次摸球的结果，则一切可能的结果有： (a1 , a2 ) ，

(a1 , a3 ) ， (a1 , b1 ) ， (a1 , b2 ) ， (a1 , b3 ) ， (a2 , a3 ) ， (a2 , b1 ) ， (a2 , b2 ) ， (a2 , b3 ) ， (a3 , b1 ) ， (a3 , b2 ) ， (a3 , b3 ) ， (b1 , b2 ) ， (b1 , b3 ) ， (b2 , b3 ) ，共 15 种.
摸到的 2 个球都是红球有 (b1 , b2 ) ， (b1 , b3 ) ， (b2 , b3 ) ，共 3 种. 所以， P ( B ) ?

3 1 ? . 15 5

…………11 分

因为 P( A) ? P( B) ， 所以，顾客在乙商场中奖的可能大． 19. (1)证明： 因为 PA⊥平面 ABCD，PA ? 平面 ADP， 所以平面 ADP⊥平面 ABCD. ………………………………2 分 又因为平面 ADP∩平面 ABCD=AD，CD⊥AD， 所以 CD⊥平面 ADP. ………………………………………4 分 ………………12

(2)取 CD 的中点 F，连接 BF， 在梯形 ABCD 中，因为 CD=4，AB=2， 所以 BF⊥CD. 又 BF=AD=4，所以 BC= 2 5 . 在 ? ABP 中，由勾股定理求得 BP= 2 5 . 所以 BC=BP. ………………………………………………………7 分

又知点 M 在线段 PC 上，且 BM⊥PC， 所以点 M 为 PC 的中点. ………………………………………9 分

在平面 PCD 中过点 M 作 MQ∥DC 交 DP 于 Q，连接 QB，QA， 则 V三棱锥 B—APM ? V三棱锥 M—APB ? V三棱锥 Q—APB ? V三棱锥 B—APQ = ? ( ? 4 ? 2) ? 2 ? . ……

1 3

1 2

8 3

12 分

? c 3 = ? ? 2 20．解： （Ⅰ）由题意得 ? a ，解得 a =2 ， b ? 1 ． 1 3 ? ? ?1 ? ? a 2 4b 2
所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y2 ? 1 ． 4

…………… 4 分

（Ⅱ）设直线 l 的方程设为 y ? kx ? t ，设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，

? y ? kx ? t ? 联立 ? x 2 消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
则有 x1 ? x2 ?

4t 2 ? 4 ?8kt x x ? ， 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

…………… 6 分

? ? 0 ? 4k 2 ? 1 ? t 2

y1 ? y2 ? kx1 ? t ? kx2 ? t ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ?

2t 1 ? 4k 2

y1 y2 ? ? kx1 ? t ?? kx2 ? t ? ? k 2 x1x2 ? kt ? x1 ? x2 ? ? t 2
? k2
2 2 t2 ? 4 ? ?2kt ? 2 4t ? 4k ? kt ? t ? ? 2 ? 4 ? k2 4 ? k2 ? 4?k ?

因为以 AB 为直径的圆过坐标原点，所以 OAg OB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

uur uu u r

t 2 ? 4 4t 2 ? 4k 2 x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 0 ? 5t 2 ? 4 ? 4k 2 …………… 8 分 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
? ? 0 ? 4k 2 ? 1 ? t 2 ? t ? ?

3 3 或t ? ， 2 2
x1 ? x2 y ? y2 ?4kt t ? ? ，n ? 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 3 ? ?n t 1 1 ? 得 ………… 10 分 ?? ? 2 2 1 ? 4k 2 k ?m

又设 A, B 的中点为 D ? m, n ? ，则 m ?

因为直线 PD 于直线 l 垂直，所以 kPD

1 ? t ?t1 ? 1 ? ? ? 2 由 ?1 ? 4k 2 解得 ? 3， t2 ? ? ?5t 2 ? 4 ? 4k 2 ? 5 ? ?

3 时， ? ? 0 不成立. 5 1 当 t ? 1 时， k ? ? ， 2 1 1 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .… 2 2
当t ? ?

12 分

解法二 （Ⅱ）设直线 l 的斜率为 k ，设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ， A, B 的中点为 D ? x0 , y0 ? ， 所以 k ?

x ? x2 y1 ? y2 ， x0 ? 1 2 x1 ? x2

， y0 ?

y1 ? y2 2

? x12 ? y12 ? 1 ? ? 4 由题意 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ? 4
(1) 式 ?(2) 式得

(1)
，

(2)

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ?
4

? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ?

y 1 1 ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? ?0? ?k 0 ?0 4 x0 4 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ?

又因为直线 PD 与直线 l 垂直，所以

y0 ? x0

3 2 ?k ? ?1

y0 ?1 ?4 ? k x ? 0 1 ? 0 ? ? y0 ? 由? 解得 ? 2 3 ? y0 ? 2 ? ? x0 ? ?2k ?k ? ?1 ? ? x0

…………… 6 分

2 设直线 l 的方程设为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ? y ? kx ? 2k ?

1 ， 2

1 ? y ? kx ? 2k 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 联立 ? 消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 4k ? k ? 1? x ? ? 4k ? 1? ? 4 ? 0 2 ? x ? y2 ? 1 ? ? 4

x1 ? x2 ? 2x0 ? ?4k ， x1 x2
2

? 4k ?

2

? 1? ? 4
2

1 ? 4k 2
2

? 2 1? 2 2 2 4 ? 2k ? ? ? 4k 4 k ? 1 ? 4 ? ? 1 2 ? ? ? ? 2k 2 ? 4k 2 ? 1? ? ? 2k 2 ? ? = ? y1 y2 ? k 2 2 4 ? k 1 ? 4k 2 2 ? ? ??? ??? ? 因为以 AB 为直径的圆过坐标原点，所以 0 A? OB ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

? 2 1? 2k ? ? ? 4k 2 4k 2 ? 1? ? 4 4 ? 2 ? 2? ? 2 x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 0 ? 5 4 k ? 1 ? 16 ?1 ? k 2 ? ? ? 2 2 1 ? 4k 4?k
2

2

解得 k ? ?

1 ， 2

所以直线 l 的方程为 y ?

1 1 x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .… 2 2

12 分

21. 解： （Ⅰ）设 g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? kx ? 5 ， 因为 g ?( x) ? 3 x ? 7 x ?
2

1 , g ?(1) ? 11 ， x

所以 k ? 11 ，故切线方程为 y ? 11x ? 5 . 当 x ? 1 时， y ? 6 ，将 (1, 6) 代入 g ( x) ? x ?
3

7 2 x ? ln x ? b ， 2
…………………………3 分

得b ?

3 ． 2
2

（Ⅱ） f ' ? x ? ? 3x ? 5x ? a ， 由题意得方程 x ?
3

5 2 x ? ax ? b ? 3x 3 ? 5 x 2 ? ax ? x 有唯一解， 2

5 2 x ? x ? b 有唯一解． 2 5 2 3 2 令 h( x) ? 2 x ? x ? x ，则 h '( x) ? 6x ? 5x ? 1 ? (2x ? 1)(3x ? 1) ， 2 1 1 1 1 所以 h( x) 在区间 ( ??, ? ), ( ? , ??) 上是增函数，在区间 (? , ? ) 上是减函数. 2 3 2 3 1 1 1 7 又 h( ? ) ? ? , h( ? ) ? ? ， 2 8 3 54 故实数 b 的取值范围是 7 1 (??, ? ) U (? , ??) ． …………………………8 分 54 8
即方程 2 x ?
3

（Ⅲ） F ( x) ? ax ? x2 ? ln x, 所以 F '( x) ? ?

2 x 2 ? ax ? 1 . x
2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根， x

因为 F ( x) 存在极值，所以 F '( x) ? ? 即方程 2x
2

? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根，则有 ? =a 2 ? 8 ? 0 .

显然当 ? =0 时， F ( x) 无极值，不合题意； 所以方程必有两个不等正根．

1 ? x1 x2 ? ? 0， ? ? 2 2 记方程 2x ? ax ? 1 ? 0 的两根为 x 1 , x 2 ，则 ? ?x ? x ? a ， 1 2 ? ? 2

F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? ( x12 ? x22 ) ? (ln x1 ? ln x2 )
?
1 a2 a2 1 ? ? 1 ? ln ? 5 ? ln , 2 2 4 2

2 解得 a ? 16 ，满足 ? ? 0 .

又 x1 ? x2 ? 故 所

a ? 0 ，即 a ? 0 ， 2
求

a

的

取

值

范

围

是

(4,??) ．

…………………………14 分

22．试题解析： （1）∵BE 为圆 O 的切线，所以∠EBD=∠BAD 又∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ， ∴∠EBD =∠CAD 又∵∠CBD=∠CAD ，∴∠EBD=∠CBD （2）在△EBD 和△EAB 中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB ∴△EBD∽△EAB， ∴

BE BD ? AE AB

∴AB?BE=AE?BD ，又∵AD 平分∠BAC ∴BD=DC 故 AB?BE=AE?DC 考点：1、弦切角定理；2、相似三角形.

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 23．解析： （1）将直线 l : ? （ t 为参数）消去参数 t ，化为普通方程 ? y? 3t ? ? 2

3x ? y ? 2 3 ? 0 ，……………………2 分
将?

? x ? ? cos ? 代入 3x ? y ? 2 3 ? 0 得 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 .…………4 分 ? y ? ? sin ?

（2）方法一： C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .………………6 分 由?

? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ? ? ? x ?1 或 ? ? x ? 3 ………………8 分 解得： ? ? 2 2 ? ? ? x ? y ? 4x ? 0 ?y ? ? 3 ? ?y ? 3

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为： (2, 方法二：由 ?

5? ? ) ， (2 3, ) .………………10 分 3 6

? ? 3? cos ? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ，……………6 分 ? ? 4 cos ? ? ?

得： sin(2? ?

?
3

) ? 0 ，又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ………………8 分

?? ? 2 3 ? ? ?2 ? ? 所以 ? 5? 或 ? ? ?? ? ? ?? 3 ? 6 ?
所以 l 与 C 交点的极坐标分别为： (2,

5? ? ) ， (2 3, ) .………………10 分 3 6

24．解析： （1）当 a ? 1 时， | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 1|? x ? 2

1 ? ? x?? 2 ? 无解， ? ? ? ?4 x ? x ? 2

1 ? 1 1 ?? ? x ? 2?0? x? ， ? 2 2 ? ? 2 ? x+2

1 ? 1 2 ? x? 2 ? ? x ? ………………………3 分 ? 2 3 ? ?4 x ? x ? 2
综上，不等式的解集为 {x 0 ? x ? } .………………5 分

2 3

（2） | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1|? x ? 2 ，转化为 | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ? 0 令 h( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ，

1 ? ? ?5 x ? a ? 3, x ? ? 2 ? 1 a ? 因为 a>0,所以 h( x) ? ?? x ? a ? 1, ? ? x ? ， 2 2 ? a ? ? 3x ? a ? 1, x ? 2 ?
………………8 分 在 a>0 下易得 h( x ) min ?

a a ? 1 ,令 ? 1 ? 0, a 得 a ? 2.a ………………10 分 2 2