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高中数学 选修4-4参数方程讲义


——基础梳理—— 1.椭圆的参数方程 x y (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是__________.规定参数 φ 的取值范围为 a b __________. (2)中心在(h,k)的椭圆的普通方程为 2.双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 - =1(a>0,b>0)的参数方程是__________.规定参数 φ 的取值范围 a2 b2 为__________. y2 x2 (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线 - =1(a>0,b>0)的参数方程是__________. a2 b2 3.抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为__________,t∈__________. (2)参数 t 的几何意义是__________. [答案]
?x=acosφ ? 1.(1)? ?y=bsinφ ? ? ?x=h+acosφ (2)? ?y=k+bsinφ ? ?x=asecφ ? 2.(1)? ? ?y=btanφ ? ?x=btanφ (2)? ?y=asecφ ? ? ?x=2pt2 3.(1)? ? ?y=2pt
2 2

- a2



- b2

=1,则其参数方程为__________.

(φ 为参数) [0,2π )

(φ 为参数) π 3π (φ 为参数) [0,2π ),且 φ ≠ ,φ ≠ 2 2

(φ 为参数)

(t 为参数) (-∞,+∞)

(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数

自主演练 1.已知方程 x2+my2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则() A.m<1 B.-1<m<1 C.m>1 D.0<m<1 y2 1 [解析]方程化为 x2+ =1,若要表示焦点在 y 轴上的椭圆,需要 >1,解得 0<m<1.故应选 D. 1 m m

2.已知 90°<θ <180°,方程 x +y cosθ =1 表示的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2 2 [解析]当 90°<θ <180°时,-1<cosθ <0,方程 x +y cosθ =1 表示的曲线是双曲线.故应选 C. [答案]C ? ?x=a+rcosθ , 3.直线 y=ax+b 经过第一、二、四象限,则圆? (θ 为参数)的圆心位于第几象限() ?y=b+rsinθ ? A.一 B.二 C.三 D.四

2

2

[解析]直线 y=ax+b 经过第一、二、四象限,则 a<0,b>0,而圆心坐标为(a,b),所以位于第二象限. [答案]B
? ?x=acos θ , 4.椭圆? ?y=bsin θ ?

(θ 为参数),若 θ ∈[0,2π ],则椭圆上的点(-a,0)对应的 θ 为( ) 3 D. π 2

A.π

π B. 2

C.2π

[解析]由已知 acosθ =-a,∴cosθ =-1,又 θ ∈[0,2π ],∴θ =π .故选 A. [答案]A

? ?x=5cosθ , 5.二次曲线? ?y=3sinθ ?

(θ 是参数)的左焦点的坐标为__________.

x2 y2 [解析]原方程消去参数 θ ,得普通方程为 + =1.它是焦点在 x 轴上的椭圆,a2=25,b2=9,c2=a2-b2=16, 25 9 c=4,所以左焦点坐标是(-4,0).
?x=4secθ , ? 6.圆锥曲线? ?y=3tanθ ?

(θ 是参数)的渐近线方程是________________,实轴长是__________.

x ? ?4=secθ , [解析]原方程可化为? y ?3=tanθ , ?

x2 y2 因为 sec2θ -tan2θ =1, 所以 - =1.它是焦点在 x 轴上的双曲线, ∴ 16 9

3 a2=16.∴双曲线的渐近线为 y=± x,且实轴长为 8. 4 3 [答案]y=± x 4 8

——题型探究—— 题型一 椭圆的参数方程及应用

x y 【例 1】 已知 A, B 分别是椭圆 + =1 的右顶点和上顶点, 动点 C 在该椭圆上运动, 求△ABC 的重心 G 的轨迹方程. 36 9 【分析】△ABC 的重心 G 取决于△ABC 的三个顶点的坐标,为此需要把动点 C 的坐标表示出来,可考虑用参数方程的 形式. 【解析】由题意知 A(6,0),B(0,3),由于动点 C 在椭圆上运动,故可设动点 C 的坐标为(6cosθ ,3sinθ ),点 G 的 6+0+6cosθ x= ? ? 3 坐标设为 (x, y),由三角形重心的坐标公式可得? 0+3+3sinθ y= ? ? 3
2

2

2

?x=2+2cosθ ? ,即? ?y=1+sinθ ?

,消去参数 θ 得到

- 2 +(y-1) =1. 4 【评析】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得很简单,运算更简便. 变式训练 x2 y2 在椭圆 + =1 中有一内接矩形,问内接矩形的最大面积是多少? 25 16
? ?x=5cost, [解析]椭圆的参数方程为? ?y=4sint ?

(t 为参数),设第一象限内椭圆上任一点 M(x,y),由椭圆的对称性,知内

接矩形的面积为 S=4xy=4?5cost?4sint=40sin2t. π π 5 π 当 t= 时,面积 S 取得最大值 40,此时,x=5cos = 2,y=4sin =2 2,因此,矩形在第一象限的顶点 4 4 2 4 为?

?5 2,2 2?,此时内接矩形的面积最大,且最大面积为 40. ? ?2 ?
题型二 双曲线的参数方程及应用 【例 2】求点 M0(0,2)到双曲线 x2-y2=1 的最小距离(即双曲线上任一点 M 与点 M0 距离的最小值). 【分析】化双曲线方程为参数方程,对|MM0|建立三角函数求最值.
? ?x=sec θ , 【解析】把双曲线方程化为参数方程? ?y=tan θ . ?

设双曲线上动点 M(sec θ ,tan θ ), 则|M0M|2=sec2θ +(tan θ -2)2=(tan2θ +1)+(tan2θ -4tan θ +4)=2tan2θ -4tan θ +5=2(tan θ -1)2 π +3,当 tan θ -1=0 即 θ = 时,|M0M|2 取最小值 3,此时有|M0M|= 3,即 M0 点到双曲线的最小距离为 3. 4 【评析】在求解一些最值问题时,用参数方程来表示曲线的坐标,将问题转化为三角函数求最值,能简化运算过程.

变式训练 设 P 为等轴双曲线 x2-y2=1 上的一点,F1,F2 为两个焦点,证明:|F1P|?|F2P|=|OP|2.

?x=sec θ , ? [解析]如图所示, 设双曲线上的动点为 P(x, y), 焦点 F1(- 2, 0), F2( 2, 0), 双曲线的参数方程为? ? ?y=tan θ ,

得 ( |F1P| ? |F2P| )2 = [(sec θ + 2 )2 + tan2θ ]?[(sec θ - 2 )2 + tan2θ ] = (sec2θ + 2 2 sec θ + 2 + tan2θ )?(sec2θ -2 2sec θ +2+tan2θ )=(2sec2θ +1)2-(2 2sec θ )2 =4sec4θ -4sec2θ +1=(2sec2θ -1)2, 又|OP|2=sec2θ +tan2θ =2sec2θ -1, 由此得|F1P|?|F2P|=|OP|2.

题型三 抛物线的参数方程及应用 【例 3】如图,O 是直角坐标原点,A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点,且 OA⊥OB,点 A,B 在什么 位置时,△AOB 的面积最小?最小值是多少?

【分析】利用抛物线的参数方程,将△AOB 面积用其参数表示,再利用均值不等式求最值. 【解析】根据题意,设点 A,B 的坐标分别为(2pt2 1,2pt1),(2pt2 2,2pt2)(t1≠t2,且 t1?t2≠0),则

|OA|= |OB|=

1 2 2

+ + → →

=2p|t1| t2 1+1, =2p|t2| t2 2+1.

因为 OA⊥OB,所以OA?OB=0,即 2pt2 1?2pt2+2pt1?2pt2=0,所以 t1?t2=-1.

△AOB 的面积为 1 S△AOB= |OA|?|OB| 2 1 = ?2p|t1| t2 1+1?2p|t2| t2 2+1 2 =2p2|t1t2| 2 1+ 2+

=2p2 t2 1+t2 2+2 =2p2 1 t2 1+ +2 t2 1

≥2p2 2+2=4p2. 1 当且仅当 t2 1= ,即 t1=1,t2=-1 时,等号成立. t2 1 所以点 A,B 的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p)时,△AOB 的面积最小,最小值为 4p2. 变式训练 已知抛物线 y2=2px,过顶点两弦 OA⊥OB,求以 OA、OB 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程. [解析]设 A(2pt2 1,2pt1),B(2pt2 2,2pt2), 则以 OA 为直径的圆的方程为 x2+y2-2pt2 1x-2pt1y=0, 以 OB 为直径的圆的方程为 x2+y2-2pt2 2x-2pt2y=0, 即 t1,t2 为方程 2pxt2+2pty-x2-y2=0 的两根, - ∴t1t2= + 2px .

又 OA⊥OB,∴t1t2=-1, ∴x2+y2-2px=0(x≠0), ∴另一交点 Q 的轨迹是以(p,0)为圆心,p 为半径的圆(除去(0,0)点). 题型四 圆锥曲线参数方程的综合应用 x2 y2 【例 4】已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的动弦 BC 平行于虚轴,M、N 是双曲线的左、右顶点. a2 b2 (1)求直线 MB、CN 的交点 P 的轨迹方程; (2)若 P(x1,y1),B(x2,y2),求证:a 是 x1,x2 的比例中项. 【分析】将双曲线方程化为参数方程. (1)利用交轨法求解;(2)即 x1x2=a2 【解析】(1)由题意可设点 B(asec θ ,btan θ ),则点 C(asec θ ,-btan θ ),又 M(-a,0),N(a,0),∴直线 MB btan θ btan θ 的方程为 y= (x+a),直线 CN 的方程为 y= (x-a). asec θ +a a-asec θ

x2 y2 将以上两式相乘消去参数 θ ,得点 P 的轨迹方程为 + =1. a2 b2 a (2)证明:因为点 P 既在 MB 上,又在 CN 上,由两直线方程消去 y1 得 x1= ,而 x2=asec θ ,所以有 x1x2= sec θ a2,即 a 是 x1,x2 的比例中项. 【评析】利用圆锥曲线的参数方程解决圆锥曲线综合问题时要根据条件使用不同方法,如方程的思想、函数思想、 数形结合思想等. 变式训练 抛物线 y2=4x 的内接三角形的一个顶点在原点,其重心恰是抛物线的焦点,求内接三角形的周长. [解析]如图,y2=4x 焦点 F(1,0),设 A 点坐标为(4t2,4t),t 为参数,且 t>0,则 B 点坐标为(4t2,-4t). AF 斜率为 kAF= 4t , 4t2-1

∴AF:y=

4t (x-1). 4t2-1

而 OB 的中点(2t2,-2t)应在直线 AF 上, 4t ∴-2t= (2t2-1), 4t2-1 2 ∵t≠0,∴-1= (2t2-1), 4t2-1 3 6 ?3 ? ∴t2= ,t= ,∴A 点坐标为? , 6?, 8 4 ?2 ? 则|AB|=2 6,|OA|=

?3?2+ ?2? ? ?

6



33 . 2

∴△OAB 的周长为|AB|+2|OA|=2 6+ 33. 课内巩固

?x=4+5cosφ ? 1.椭圆? ?y=3sinφ ?

(φ 为参数)的焦点坐标为( ) B.(0,0),(-8,0) D.(0,0),(8,0) - 25 y2 =1,c2=16,c=4,中心(4,0),焦点在 x 轴上,∴焦点为(0,0), 9

A.(0,0),(0,-8) C.(0,0),(0,8)

[解析]利用平方关系化为普通方程



(8,0).也可以直接画出椭圆的示意图,排除 A,B,C.故应选 D.

?x= t, 2.与参数方程为? ?y=2 1-t
y2 A.x2+ =1 4 y2 B.x2+ =1(0≤x≤1) 4 y2 C.x2+ =1(0≤y≤2) 4 y2 D.x2+ =1(0≤x≤1,0≤y≤2) 4

(t 为参数)等价的普通方程为( )

y2 y2 [解析]x2=t, =1-t=1-x2,x2+ =1,而 t≥0,0≤1-t≤1,得 0≤t≤1,即 0≤x≤1,0≤y≤2. 4 4

? ?x=et-e-t, 3.参数方程? ?y=et+e-t ?

(t 为参数)表示的曲线是( B.双曲线的下支 D.圆

)

A.双曲线 C.双曲线的上支

y2 x2 [解析]由已知得 x+y=2et,y-x=2e-t,两式相乘得 y2-x2=4.又 y=et+e-t≥2.∴方程表示双曲线 - = 4 4 1 上支.

?x=3+17cos θ , ? 4.椭圆? ? ?y=8sin θ -2

(θ 为参数)的中心坐标为______.

[解析]将椭圆的参数方程化为普通方程得

- 172



+ 82

=1,∴椭圆的中心为(3,-2).

? ?x=2pt 5.若曲线? ?y=2pt2 ?

(t 为参数)上异于原点的不同两点 M1,M2 所对应的参数分别是 t1,t2,则弦 M1M2 所在直线

的斜率是__________. [解析]设 M1(2pt1,2pt2 1),M2(2pt2,2pt2 2), 2pt2 1-2pt2 2 t2 1-t2 2 ∴k= = =t1+t2. 2pt1-2pt2 t1-t2 [答案]t1+t2 6.求点 M0(2,0)到双曲线 y2-x2=1 的最小距离(即双曲线上任一点 M 与点 M0 距离的最小值).
? ?x=tanθ , [解析]把双曲线方程化为参数方程? ?y=sec θ . ?

设双曲线上动点 M(tan θ ,sec θ ), 则|M0M|2=sec2θ +(tan θ -2)2 =(tan2θ +1)+(tan2θ -4tan θ +4) =2tan2θ -4tan θ +5=2(tan θ -1)2+3, π 当 tan θ -1=0 即 θ = 时,|M0M|2 取最小值 3,此时有|M0M|= 3,即 M0 点到双曲线的最小距离为 3. 4


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