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高中数学成才之路选修2-3 1.3.2


选修 2-3

第一章

1.3

1.3.2

一、选择题 1 . 若 (3 x - 导学号 03960251 ( A.第 3 项 C.第 5 项 [答案] C [解析] 令 x=1,得出(3 x- ∴(3 x- 1 n ) 的展开式中各项系数和为(3-1)n=256,解得 n=8; x 1 n ) 的 展 开 式 中 各 项 系 数 之 和 为 256 , 则 展 开 式 的 常 数 项 是 x ) B.第 4 项 D.第 6 项

1 8 ) 的展开式通项公式为: x


Tr+1=Cr (3 x)8 r· (- 8·

1 r - - ) =(-1)r· 38 r · Cr x4 r, 8· x

令 4-r=0,解得 r=4. ∴展开式的常数项是 Tr+1=T5,即第 5 项.故选 C.
1 n 1 n 2.若 9n+Cn 9n 1+?+Cn 9+Cn +1· +1· +1是 11 的倍数,则自然数 n 为 导学号 03960252
- -

(

) A.奇数 C.3 的倍数 [答案] A [解析]
1 9n+C1 9n 1+?+Cn 9+Cn n+1· n+1· n+1
- -

B.偶数 D.被 3 除余 1 的数

1 + 1 n n-1 2 n n+1 = (9n 1+C1 n+19 +?+Cn+19 +Cn+19+Cn+1)- 9 9 1 1 1 + + = (9+1)n 1- = (10n 1-1)是 11 的倍数, 9 9 9 ∴n+1 为偶数,∴n 为奇数. 1 3.(2016· 潍坊市五校联考)已知(x2- )n 的展开式中,常数项为 15,则 n 的值可以为 x 导学号 03960253 ( A.3 C.5 [答案] D ) B .4 D.6

[解析] 通项

1 2 n-r 2n-3r Tr+1=Cr (- )r=(-1)rCr ,当 n(x ) nx x

2n 2 r= n 时为常数项,即(-1)3 nC 3 3 n

2

=15,经检验 n=6. 1 4.若 a 为正实数,且(ax- )2016 的展开式中各项系数的和为 1,则该展开式第 2016 项 x 为 导学号 03960254 ( A. x
2016

) 1 B.- 2016 x 4032 D.- 2014 x

1

4032 C. 2014 x [答案] D

[解析]由条件知,(a-1)2016=1,∴a-1=± 1, ∵a 为正实数,∴a=2. ∴展开式的第 2016 项为: 1 T2016=C2015 (2x)· (- )2015 2016· x =-2C1 x 2016·
-2014

=-4032x

-2014

,故选 D.

a 1 5. (湖北高考)若二项式(2x+ )7 的展开式中 3的系数是 84, 则实数 a= 导学号 03960255 x x ( ) A.2 C.1 [答案] C a 7-r a r 7-r r 7-2r [解析] 二项式(2x+ )7 的通项公式为 Tr+1=Cr ( ) =Cr ax , 令 7-2r=-3, 7(2x) 72 x x 1 2 5 得 r=5.故展开式中 3的系数是 C5 72 a =84,解得 a=1. x 6.(2016· 南安高二检测)233 除以 9 的余数是 导学号 03960256 ( A.8 C.2 [答案] A [解析]
10 C11 -1)+8, 10 2 9 10 10 1 9 233= (23)11= (9- 1)11 = 911-C1 11 9 + C 11 9 + ? + C 11 9 - 1 = 9(9 - C 11 9 + ? +

5 B. 4 D. 2 4

)

B .4 D.1

∴233 除以 9 的余数是 8.故选 A. 二、填空题

1 ?n 2 7.若? ?x +x3? 展开式的各项系数之和为 32,则 n=________,其展开式中的常数项为 ________(用数字作答). 导学号 03960257 [答案] [解析] 5 10
- ? 1 ?r r 10-5r 令 x=1,得 2n=32,得 n=5,则 Tr+1=Cr (x2)5 r· x ,令 10-5r 5· ?x3? =C5·

=0,r=2.故常数项为 T3=10. a 8.已知(x- )8 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和 x 是________. 导学号 03960258 [答案] 1 或 38 [解析] a 8-r Tr+1=Cr (- )r 8x x
-2r

=(-a)r· Cr x8 8· 由条件知,a
4

,令 8-2r=0 得 r=4,

C4 2, 8=1120,∴a=±

令 x=1 得展开式各项系数的和为 1 或 38. 3 9.在二项式( x+ )n 的展开式中,各项系数之和为 A,各项二项式系数之和为 B,且 A x +B=72,则 n=________. 导学号 03960259 [答案] 3

[解析] 由题意可知,B=2n,A=4n,由 A+B=72,得 4n+2n=72,∴2n=8,∴n=3. 三、解答题 10.设(1-2x)2017=a0+a1x+a2x2+?+a2017x2017(x∈R). 导学号 03960260 (1)求 a0+a1+a2+?+a2017 的值. (2)求 a1+a3+a5+?+a2017 的值. (3)求|a0|+|a1|+|a2|+?+|a2017|的值. [解析] (1)令 x=1,得:

a0+a1+a2+?+a2017=(-1)2017=-1① (2)令 x=-1,得:a0-a1+a2-?-a2017=32017② ①-②得: 2(a1+a3+?+a2015+a2017)=-1-32017, ∴a1+a3+a5+?+a2017=-


1+32017 . 2

(3)∵Tr+1=Cr 12017 r· (-2x)r 2017· =(-1)r· Cr (2x)r, 2017·

∴a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N*). ∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+?+|a2017| =a0-a1+a2-a3+?+a2016-a2017 =32017.

一、选择题 1 .若 n 为正奇数,则 7n + C 1 7n n· 导学号 03960261 ( A.0 C.7 [答案] C [解析]
- -1

+C2 7n n·

-2

1 +?+ C n 7 被 9 除所得的余数是 n ·


) B .2 D.8

n n n 1 n 1 1 原式=(7+1)n-Cn 9 +C2 9n 2-?+Cn 9(- n=8 -1=(9-1) -1=9 -Cn· n· n ·
- - -

1)n 1+(-1)n-1,n 为正奇数,(-1)n-1=-2=-9+7,则余数为 7.
π f′?0? 2.(2016· 上饶市高二检测)设函数 f(x)=(2x+a)n,其中 n=6? 2cosxdx, =-12, ? f?0?

?0

则 f(x)的展开式中 x4 的系数为 导学号 03960262 ( A.-240 C.-60 [答案] B B.240 D.60

)

?π [解析] ∵n=6? 2cosxdx=6sinx?2 =6, ? ? ?0 ?0
π

∴f(x)=(2x+a)6, ∴f′(x)=12(2x+a)5, ∵ f′?0? 12a5 =-12,∴ 6 =-12,∴a=-1. a f?0?

∴f(x)=(2x-1)6.
6 r 其展开式的通项 Tr+1=Cr (-1)r=(-1)rCr 26 rx6 r, 6(2x) 6·
- - -

2 4 令 6-r=4 得 r=2,∴f(x)展开式中 x4 的系数为(-1)2C6 · 2 =240,故选 B.

二、填空题 3.观察下列等式: 导学号 03960263 (1+x+x2)1=1+x+x2, (1+x+x2)2=1+2x+3x2+2x3+x4,

(1+x+x2)3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6, (1+x+x2)4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8, ?? 由以上等式推测:对于 n ∈ N*,若 (1 + x + x2)n = a0 + a1x + a2x2 +?+ a2nx2n ,则 a2 = ________. [答案] n?n+1? 2

n?n+1? [解析] 观察给出各展开式中 x2 的系数:1,3,6,10,据此可猜测 a2= . 2 4.设(3x-1)8=a8x8+a7x7+?+a1x+a0,则 导学号 03960264 (1)a8+a7+?+a1=________; (2)a8+a6+a4+a2+a0=________. [答案] (1)255 (2)32896

[解析] 令 x=0,得 a0=1. (1)令 x=1 得 (3-1)8=a8+a7+?+a1+a0,① ∴a8+a7+?+a2+a1=28-a0=256-1=255. (2)令 x=-1 得 (-3-1)8=a8-a7+a6-?-a1+a0.② ①+②得 28+48=2(a8+a6+a4+a2+a0), 1 ∴a8+a6+a4+a2+a0= (28+48)=32 896. 2 三、解答题 5.在(2x-3y)10 的展开式中,求: 导学号 03960265 (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和. [解析] 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+?+a10y10,(*) 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. (1)二项式系数和为
0 10 10 C10 +C1 10+?+C10=2 .

(2)令 x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1. 1-510 (3)x 的奇次项系数和为 a1+a3+a5+?+a9= ; 2

1+510 x 的偶次项系数和为 a0+a2+a4+?+a10= . 2 6.在二项式( x+ 1 2 x )n 的展开式中,前三项系数成等差数列. 导学号 03960266

(1)求展开式中的常数项; (2)求展开式中系数最大的项. [解析] 1 n n n?n-1? (1)二项式( x+ ) 的展开式中,前三项系数分别为 1, , , 2 8 2 x

n?n-1? 再根据前三项系数成等差数列,可得 n=1+ ,求得 n=8 或 n=1(舍去). 8 故二项式( x+ )8 的展开式的通项公式为 Tr+1=Cr 2 r· x4 r. 8· 2 x
- -

1

1 35 令 4-r=0,求得 r=4,可得展开式的常数项为 T5=C4 ( )4= . 8· 2 8 (2)设第 r+1 项的系数最大,则由 ? ? ≥C ?C · 2 ? 1 ? ? ≥C ?C · 2
r 8 r r 8 r

1

r+1 1 r+1 ? ? 8 ·

2

r-1 1 r-1 ? ? 8 ·

,求得 2≤r≤3,

2

因为 r∈Z,所以 r=2 或 r=3,故第三项和第四项的系数最大,再利用通项公式可得系 数最大的项为 T3=7x2,T4=7x.


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