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人教版高中数学必修一1.1.2集合间的基本关系ppt课件_图文

1.1.2 集合间的基本关系

一、子集的有关概念
1.Venn图
通常用平面上_________的内部代表集合. 封闭曲线
用Venn图表示集合的优点:形象直观.

2.子集

(1)自然语言:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中

____一个元素____集合B中的元素,我们就说这两个集合有

任意

都是

_____关系,称集合A为集合B的子集.

(2包)符含号语言:记作______(或____),读作“_______”(或

“B包含A”).

A?B

B?A

A含于B

(3)图形语言:用Venn图表示.

3.真子集

如果集合____A_?,B 但存在元素x∈B,且____,我们称x集?A合A是

集合B的真子集,记作_____(B 4.集合相等

A).
A? B

如果集合A是集合B的____(A?B),且集合B是集合A的 ____(B?A),此时,集合A与子集集合B中的元素是____的,因此

子集集合A和集合B相等,记作_____.

一样

思考:“∈”与“?”有什么区别?A=B

提示:“∈”表示元素与集合之间的关系,而“?”表示集

合与集合之间的关系.

二、空集及集合间关系具有的性质
1.空集:指的是_____不__含__任__何_的元集素合,记作__,并规定: ?
空集是________的子集. 任何集合
2.集合间关系具有的性质
(1)任何一个集合是它本身的_____,即______. (2)对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C子,那集么_____. A?A

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)集合{0}是空集.( ) (2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.( ) (3)空集没有子集.( ) 提示:(1)错误.集合{0}含有一个元素0,是非空集合. (2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解,故此集合是空集. (3)错误.空集是任何集合的子集,也是它本身的子集. 答案:(1)× (2)√ (3)×

【知识点拨】 1.对子集概念的理解 (1)“A是B的子集”的含义是:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素, 意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“A?B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为当A=?时 但A中不含任何元素;又当A=B时,也有A?B,但A中含有B中所有元素,这 况都有A?B. 2.对真子集的理解 对真子集概念的理解关键是“真”字,它包括两个方面:首先是某集合的子 次不能与原集合相等.

3.对集合相等的理解 (1)从元素的特征出发表达两个集合相等,即集合A中的元素和集合B中的元 则这两个集合相等. (2)从两个集合的关系出发表达两个集合相等,即A?B,则对任意x∈A都有 同时B?A,则对任意x∈B都有x∈A,这说明两个集合的元素是相同的,即 相等.

4.对空集的理解 (1)空集首先是集合,只不过此集合中不含任何元素. (2)规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 因此遇到诸如A?B,A B的问题时,务必优先考虑A=?是否 满足题意,这也是初学者极易出错的地方. 5.对集合间关系具有的性质的两点说明 (1)对于任何一个集合是它本身的子集的性质要时刻牢记. (2)集合间的包含关系满足传递性,同样,集合间的真包含关 系也具有传递性,即A B,B C,则A C.

类型 一 子集的有关概念 【典型例题】 1.(2013·邵阳高一检测)集合{a,b}的子集个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若集合{1,2}?M?{1,2,3,4},试写出满足条件的所有的集合M.

【解题探究】1.一个集合的子集可以与其相等吗?空集是它的子集吗? 2.题2中满足条件的集合M一定含有哪些元素,可能含有哪些元素? 探究提示: 1.一个集合的子集可以与其相等,也可以是空集. 2.据条件分析,集合M一定含有元素1,2,可能含有元素3,4.

【解析】1.选D.当子集不含元素时,即为?;当子集中含有一 个元素时,其子集为{a},{b};当子集中有两个元素时,其子 集为{a,b}. 2.由于{1,2}?M,故1,2∈M,又M?{1,2,3,4},所以符合条 件的集合M有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.

【互动探究】若把题2已知条件改为“已知{1,2}?M {1,2,3,4}”,则这样的集合M又有几个? 【解析】∵{1,2}?M,∴M中至少有1,2两个元素,又M {1,2,3,4},故集合M可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.

【拓展提升】求一个集合子集个数的规律及注意点 (1)规律:含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合的子集有2n个,有2n-1个真子集 2n-2个非空真子集. (2)注意点:解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合,即?和集合本身.

【变式训练】(2013·冀州高一检测)同时满足: ①M?{1,2,3,4,5},②若a∈M,则6-a∈M的非空集合M有( ) A.16个 B.15个 C.7个 D.6个 【解析】选C.∵1+5=2+4=3+3=6,∴集合M可能为单元素集合:{3};二元 {1,5},{2,4};三元素集合:{1,3,5}, {2,3,4},四元素集合:{1,2,4,5},五元素集 {1,2,3,4,5},共7个.

类型 二 集合间的包含关系的判断

【典型例题】

1.(2013·亳州高一检测)下列关系中,表示正确的是( )

A.1∈{0,1}

B.1 {0,1}

C.1?{0,1}

D.{1}∈{0,1}

2.集合P={x|y=x2},集合Q={y|y=x2},则P与Q的关系为( )

A.P?Q

B.Q?P

C.P=Q

D.以上都不对

3.集合A={2n+1|n∈Z},集合B={4k±1|k∈Z},则A与B间的关系是( )

A.A∈B

B.A B

C.A?B

D.A=B

【解题探究】1.表示元素与集合、集合与集合之间的关系分别用什么符号表

2.题2中判断两个集合之间的关系时,应先怎样处理集合?

3.题3当n,k∈Z时,2n+1,4k±1分别表示什么数?

探究提示: 1.表示元素与集合之间的关系用符号∈,?表示,表示集合与集合之间的关 表示. 2.在判断两个集合之间的关系时,要先对集合进行分析、化简,使每个集合 形式最简洁. 3.当n,k∈Z时,2n+1表示奇数;4k±1也表示奇数.

【解析】1.选A. 、?表示集合之间的关系,故B,C错误;∈表示元素与集合 的关系,故D错误. 2.选B.∵P={x|y=x2}={x|x∈R}, Q={y|y=x2}={y|y≥0},故Q?P. 3.选D.∵整数包括奇数与偶数,∴n=2k或2k-1(k∈Z),当n=2k时,2n+ +1,当n=2k-1时,2n+1=4k-1,故 A=B.

【拓展提升】集合间关系的判断方法 (1)判断A?B的常用方法,一般用定义法,即说明集合A中的 任何一个元素都是集合B中的元素. (2)判断A B的方法,可以先判断A?B,然后说明集合B中存 在元素不属于集合A. (3)判断A=B的方法,可以证明A?B,且B?A;也可以证明两 个集合的元素完全相同.

【变式训练】(2013·肇庆高一检测)下列各组集合M与N中,表示相等集合的 A.M={(0,1)},N={0,1} B.M={(0,1)},N={(1,0)} C.M={(0,1)},N={(x,y)|x=0且y=1} D.M={π },N={3.14} 【解析】C.对A,由于集合M是点集,集合N是数集,故M和N不相等;对B 是点集,但元素表示不同的点,故M和N不相等;对D,由于π是无理数,3 理数,故M和N不相等.

类型 三 由集合间的关系求参数问题

【典型例题】

1.(2013·长春高一检测)已知集合A={2,9},B={m2,2},若A=B,则实数m的值为

A.3 B.2 C.±

D.±3

2.已知集合A={x|a<x<5},B={x|x≥2},且满足A?B,求实数a的取值范围.

2

【解题探究】1.两个集合相等,其元素有什么关系? 2.当两集合是连续数集时,如何确定它们的包含关系? 探究提示: 1.两个集合相等,其元素是相同的. 2.两个集合为连续数集时,可用数轴来分析它们的关系,并以此来确定它们 关系.

【解析】1.选D.∵A={2,9},B={m2,2},A=B, ∴m2=9,m=±3. 2.①当a≥5时,A=?,此时有A?B; ②当a<5时,要使A?B,如图,需a≥2,所以2≤a<5.
综上,a的取值范围为a≥2.

【拓展提升】由集合间的关系求参数的方法及注意点 (1)对于用列举法表示的集合,根据集合间的包含关系,可直接转为元素间的 此时应注意元素的互异性. (2)对于用描述法表示的集合,特别是元素个数无限的数集,可借助于数轴, 数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,此时要注意对端点

【变式训练】已知集合A={x|-3≤x≤4},集合B={x|2m-1<x

<m+1},且B?A,求实数m的取值范围.

【解题指南】可就集合B是否为空集进行讨论,根据B?A列出

有关不等式(或组),进而求出实数m的取值范围.

【解析】∵B?A,(1)当B=?时,即2m-1≥m+1,亦即m≥2时,

满足要求.

(2)当B≠?时,则有

解得-1≤m<2.

? ? 3 ? 2 m ? 1,

综上所述,实数m的取值范??围m是?m1 ≥?-41,.

?? 2 m ? 1< m ? 1,

【规范解答】根据集合间的关系求参数取值范围问题

【典例】

【条件分析】

【规范解答】(1)当a=0时,A=? ①,满足条件.…………3分

(2)当a≠0时,分两种情况:

①a>0时,A={x| <x<1 },B=2{x|-1<x<1}②………………5分

a

a

∵A?B,且a>0,∴

∴a??? ≥1a 2?.…? …1 , ………………7分

?2

? ?

a

?

1,

?a ? 0,

??

②当a<0时,A={x| <x<2 }②……1 ………………………9分

a

a

∵A?B,∴

? ? ?

1 ? 1, ∴a a≤-2.…………………………11分

?2

? ?

a

?

? 1,

?a ? 0, 综上可知,a≤-??2或a=0或a≥2.…………………………12分

【失分警示】

【防范措施】 1.特别关注空集 此题含有条件A?B,解答此类含有集合包含关系的问题时,一定要考虑集合 为空集,此类问题往往因为对空集的关注不够而出现不必要的失误. 2.分类讨论的意识 本题中由于a的取值未限定,因而要考虑不等式组解的情况,即需要分a=0, <0三种情况讨论,也就是在解题时要有分类讨论的意识.

【类题试解】已知集合P={x|x2+x-6=0},M={x|mx-1=0},若

M P,求满足条件的实数m取值的集合Q.

【解析】P={x|x2+x-6=0}={-3,2}.∵M P,∴M=?或M≠?.

(1)当M=?,即m=0时,满足M P.

(2)当M≠?,即m≠0时,M={x|mx-1=0}={

=-3或2,解得m= 或 .

综上1 所述,Q={0, , }. m

?1 3

1 2

?1 1

32

},M P,则必有
1 m

1.下列集合不是{0,1}的真子集的是( )

A.{1} B.{0} C.{0,1} D.?

【解析】选C.集合不是它本身的真子集,故选C.

2.已知集合M={1},N={1,2,3},能够准确表示集合M与N之

间关系的是( )

A.M<N

B.M∈N

C.N?M

D.M N

【解析】选D.集合M中元素都在集合N中,但是N中元素

2,3?M,∴M N.

3.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当符 A____B,A_______C,{2}______C,2________C. 【解析】A={1,2},B={1,2},C={0,1,2,3,4,5,6,7}, ∴A=B,A C,{2} C,2∈C. 答案:= ∈

编后语
? 常常可见到这样的同学,他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具,下课铃一响,就迫不及待地“逃离”教室。实际上,每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么,课后的“黄金时间”可以用来做什么呢?
? 一、释疑难 ? 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题,应该在课堂上标出来,下课时,在老师还未离开教室的时候,要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室,也可以向同学请教,及时消除疑难问题。做到当堂知识,当堂解决。 ? 二、补笔记 ? 上课时,如果有些东西没有记下来,不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容,可以在笔记本上留下一定的空间。下课后,再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记,既可以起到复习的作用,又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全,错别字要纠正,过于潦草的字要写清楚。同时,将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想,用自己的话写在笔记本的空白处。这样,可以使笔记变的更加完整、充实。 ? 三、课后“静思2分钟”大有学问 ? 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间,在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍,把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍,这样,不仅可以加深知识的理解和记忆,还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以,2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。

2019/7/8

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