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高考数学一轮复习第五章数列第讲数列求和习题(新)-课件

2017 高考数学一轮复习 第五章 数列 第 4 讲 数列求和习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1 .数列 1 , (1 + 2) , (1 + 2 + 2 ) ,?, (1 + 2 + 2 +?+ 2 导学号 25401310 ( A.2 -1 C.2
n+1 n
2 2

n-1

) ,?的前 n 项之和为

) B.n·2 -n D.2
n+1 n

-n

-n-2

[答案] D [解析] 记 an=1+2+2 +?+2
n
2

n-1

=2 -1,

n

2·?2 -1? n+1 ∴Sn= -n=2 -2-n. 2-1 2 . 若 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 an = ( - 1) ·(3n - 2) , 则 a1 + a2 + ? + a10 = 导学号 25401311 ( A.15 C.-12 [答案] A [解析] 记 bn=3n-2, 则数列{bn}是以 1 为首项, 3 为公差的等差数列, 所以 a1+a2+? +a9+a10=(-b1)+b2+?+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+?+(b10-b9)=5×3=15. 1 1 1 1 3. (2015·曲靖一模) 2 + 2 + 2 +?+ 的值为 导学号 25401312 2 2 -1 3 -1 4 -1 ?n+1? -1 ( ) A. ) B.12 D.-15
n

n+1 2?n+2?

3 n+1 B. - 4 2?n+2? 3 1 1 D. - + 2 n+1 n+2

3 1 1 1 C. - ( + ) 4 2 n+1 n+2 [答案] C [解析] ∵ ∴

1 1 1 1 1 1 = 2 = = ( - ), 2 ?n+1? -1 n +2n n?n+2? 2 n n+2

1 1 1 1 + 2 + 2 +?+ 2 2 2 -1 3 -1 4 -1 ?n+1? -1

1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - + - +?+ - ) 2 3 2 4 3 5 n n+2 1 3 1 1 = ( - - ) 2 2 n+1 n+2

1

3 1 1 1 = - ( + ). 4 2 n+1 n+2 1 1 2 4.已知数列{an}满足 an+1= + an-an ,且 a1= ,则该数列的前 2 016 项的和等于 2 2 导学号 25401313 ( A.1 509 C.1 512 [答案] C 1 1 1 2 [解析] 因为 a1= ,又 an+1= + an-an,所以 a2=1,从而 a3= ,a4=1,即得 an= 2 2 2 1 ? ? ,n=2k-1?k∈N*?, ?2 ? ?1,n=2k?k∈N*?, 1 故数列的前 2 016 项的和等于 S2 016=1 008×(1+ )=1 512. 2
2

) B.3 018 D.2 016

5.(2015·日照一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -6n,则{|an|}的前 n 项和 Tn= 导学号 25401314 ( A.6n-n
2

) B.n -6n+18
? ?6n-n ?1≤n≤3? D.? 2 ?n -6n?n>3? ?
2 2

? ?6n-n ?1≤n≤3? C.? 2 ?n -6n+18?n>3? ?

2

[答案] C [解析] 由 Sn=n -6n 可得,当 n≥2 时,
2

an=Sn-Sn-1=n2-6n-(n-1)2+6(n-1)=2n-7.
当 n=1 时,S1=-5=a1,也满足上式, 所以 an=2n-7,n∈N . ∴n≤3 时,an<0;n>3 时,an>0,
?6n-n ?1≤n≤3?, ? ∴Tn=? 2 ? ?n -6n+18?n>3?.
2 *

6.设直线 nx+(n+1)y= 2(n∈N )与两坐标轴围成的三角形面积为 Sn,则 S1+S2+? +S2 017 的值为 导学号 25401315 ( A. C. 2 014 2 015 2 016 2 017 ) B. 2 015 2 016

*

2 017 D. 2 018

[答案] D

2

[解析] 直线与 x 轴交于(

2

n

,0),与 y 轴交于(0,

2

n+1

),

1 2 2 1 1 1 ∴Sn= · · = = - . 2 n n+1 n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 ∴原式=(1- )+( - )+?+( - ) 2 2 3 2 017 2 018 1 2 017 =1- = . 2 018 2 018 二、填空题 1+2+3+?+n 1 7.(2015·沈阳质量监测)已知数列{an}满足 an= ,则数列{ }的前 n

n

anan+1

项和为________. 导学号 25401316 [答案] 2n n+2

1+2+3+?+n n+1 [解析] an= = , n 2 1

anan+1 ?n+1??n+2?
所求的前 n 项和为



4

=4(

1

n+1 n+2



1

),

1 1 1 1 1 1 4( - + - +?+ - ) 2 3 3 4 n+1 n+2 1 1 2n =4( - )= . 2 n+2 n+2 8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项公式为 2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 导学号 25401317 [答案] 2
n+1 n

-2
n

[解析] ∵an+1-an=2 , ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =2
n-1

+2

n-2

2-2 2 n n +?+2 +2+2= +2=2 -2+2=2 . 1-2

n

2-2 n+ 1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 9.(2015·辽宁五校协作体联考)在数列{an}中,a1=1,an+2+(-1) an=1,记 Sn 是数列 {an}的前 n 项和,则 S60=________. 导学号 25401318 [答案] 480 [解析] 依题意得,当 n 是奇数时,an+2-an=1,即数列{an}中的奇数项依次形成首项
3
n

n+1

30×29 为 1、公差为 1 的等差数列,a1+a3+a5+?+a59=30×1+ ×1=465;当 n 是偶数时, 2

an+2+an=1,即数列{an}中的相邻的两个偶数项之和均等于 1,a2+a4+a6+a8+?+a58+a60
=(a2+a4)+(a6+a8)+?+(a58+a60)=15.因此,该数列的前 60 项和 S60=465+15=480. 10 . 设 f(x) = 4 1 2 2 016 , 若 S = f( ) + f( ) + ? + f( ),则 S= 4 +2 2 017 2 017 2 017
x x

________. 导学号 25401319 [答案] 1 008 4 4 2 [解析] ∵f(x)= x ,∴f(1-x)= 1-x = x, 4 +2 4 +2 2+4 4 2 ∴f(x)+f(1-x)= x + x=1. 4 +2 2+4
x x
1-x

S=f( S=f(

1 2 2 016 )+f( )+?+f( ),① 2 017 2 017 2 017 2 016 2 015 1 )+f( )+?+f( ),② 2 017 2 017 2 017 1 2 016 2 2 015 2 016 ) + f( )] + [f( ) + f( )] +?+ [f( )+ 2 017 2 017 2 017 2 017 2 017

①+②得, 2S = [f(

f(

1 )]=2 016, 2 017 2 016 ∴S= =1 008. 2 三、解答题 11.(2015·湖北)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为

q.已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. 导学号 25401320
(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. [答案] (1)an=2n-1,bn=2
n-1

an bn

2n+79 2 n-1 或 an= ,bn=9·( ) 9 9

2n+3 (2)Tn=6- n-1 2 解得?
?a1=1, ? ? ?d=2,

[ 解析]

?10a1+45d=100, ? (1)由题意有,? ? ?a1d=2,

?2a1+9d=20, ? 即? ? ?a1d=2,



a1=9, ? ? ? 2 d= . ? ? 9

4

?an=2n-1, ? 故? n-1 ? ?bn=2 ,

1 a = ?2n+79?, ? ? 9 或? 2 b =9·? ? . ? ? 9
n n-1 n n-1

(2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2

2n-1 ,故 cn= n-1 ,于是 2

Tn=1+ + 2+ 3+ 4+?+

3 2

5 2

7 2

9 2

2n-1 n-1 ,① 2

1 1 3 5 7 9 2n-1 Tn= + 2+ 3+ 4+ 5+?+ n .② 2 2 2 2 2 2 2 ①-②可得 1 1 1 1 2n-1 2n+3 Tn=2+ + 2+?+ n-2- n =3- n , 2 2 2 2 2 2 2n+3 故 Tn=6- n-1 . 2 12.(2015·广东桂城中学、中山一中摸底)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为

Sn,且 a2 n+an=2Sn. 导学号 25401321
(1)求 a1; (2)求数列{an}的通项; 1 5 * (3)若 bn= 2(n∈N ),Tn=b1+b2+?+bn,求证:Tn< . an 3 [答案] (1)1 (2)an=n (3)略 [解析] (1)解 令 n=1,得 a1+a1=2S1=2a1, ∵a1>0,∴a1=1. (2)解 ∵an+an=2Sn,① ∴an+1+an+1=2Sn+1,② ②-①,得(an+1+an)(an+1-an-1)=0, ∵an>0,∴an+1+an>0, ∴an+1-an=1, ∴an=1+1×(n-1)=n. 1 1 5 (3)证明 由(2)知,bn= 2= 2.当 n=1 时,b1=1< ,不等式成立; an n 3 1 1 4 1 1 当 n≥2 时,∵ 2< = 2 =2( - ), n 1 4 n - 1 2 n - 1 2 n +1 n2- 4
n
2 2 2

∴∑ k=1

1 1 1 1 2 5 <1+2( - +?+ - )<1+ = . k 3 5 2n-1 2n+1 3 3
2

1

5

5 综上可知 Tn=b1+b2+?+bn< . 3 B 组 能力提升 1.在数列{an}中,已知对任意 n∈N ,a1+a2+a3+?+an=3 -1,则 a1+a2+a3+?+
*

n

2

2

2

a2 n等于 导学号 25401322 (
A.(3 -1) C.9 -1 [答案] B
n n
2

) 1 n B. (9 -1) 2 1 n D. (3 -1) 4

[解析] 因为 a1+a2+?+an=3 -1,所以 a1+a2+?+an-1=3 时,an=2·3
n-1

n

n-1

-1(n≥2).则 n≥2

.
n-1

当 n=1 时,a1=3-1=2,适合上式,所以 an=2·3 公比为 9 的等比数列,故选 B.

(n∈N ).则数列{an}是首项为 4,

*

2

2.(2015·湖北三校联考)已知等比数列的各项都为正数,且当 n≥3 时,a4a2n-4=10 , 则数列 lga1,2lga2,2 lga3,2 lga4, ?, 2 A.n·2
n
2 3

2n

n-1

lgan, ?的前 n 项和 Sn 等于 导学号 25401323 ( B.(n-1)·2
n-1

)

-1

C.(n-1)·2 +1 [答案] C

n

D.2 +1

n

[解析] ∵等比数列{an}的各项都为正数,且当 n≥3 时,a4a2n-4=10 ,∴an=10 ,即

2n

2

2n

an=10n,∴2n-1lgan=2n-1lg10n=n·2n-1,∴Sn=1+2×2+3×22+?+n·2n-1,①
2Sn=1×2+2×2 +3×2 +?+n·2 ,② ∴①-②得-Sn=1+2+2 +?+2 -1)·2 +1. 2 -1 3.(2015·江西南昌调研)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 f(x)= x ,且 f(a2- 2 +1 2 014π 2 015π 2)=sin ,f(a2 014-2)=cos ,则 S2 015=________. 导学号 25401324 3 6 [答案] 4 030 2 -1 2 -1 1-2 [解析] 因为 f(x)= x ,f(-x)= -x = x ,所以 f(x)+f(-x)=0,即 f(- 2 +1 2 +1 2 +1
x
-x 2 2 3

n

n-1

-n·2 =2 -1-n·2 =(1-n)·2 -1,∴Sn=(n

n

n

n

n

n

x

x

x)=-f(x).
2 -1 2 而 f(x)= x =1- x ,所以 f(x)是 R 上的增函数. 2 +1 2 +1
x

6

2 014π π π 3 2 015π 又 f(a2-2)=sin =sin(671π + )=-sin =- , f(a2 014-2)=cos 3 3 3 2 6 π π 3 =cos(336π - )=cos = ,所以 f(a2-2)=-f(a2 014-2)=f(2-a2 014), 6 6 2 所以 a2-2=2-a2 014,所以 a2+a2 014=4. 2 015?a1+a2 015? 2 015?a2+a2 014? 2 015×4 所以 S2 015= = = =4 030. 2 2 2 4.(2015·辽宁鞍山二中上学期期中)设数列{an}是等差数列,数列{bn}的前 n 项和 Sn 满 3 足 Sn= (bn-1),且 a2=b1,a5=b2. 导学号 25401325 2 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=an·bn,Tn 为{cn}的前 n 项和,求 Tn. [答案] (1)an=2n-1,bn=3
n

(2)Tn=3+(n-1)3

n+1

3 [解析] (1)∵数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (bn-1), 2 3 ∴b1=S1= (b1-1),解得 b1=3. 2 3 3 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1= (bn-1)- (bn-1-1),化为 bn=3bn-1, 2 2 ∴数列{bn}为等比数列,∴bn=3×3 ∵a2=b1=3,a5=b2=9, 设等差数列{an}的公差为 d, ∴?
?a1+d=3, ? ?a1+4d=9, ?
n-1

=3 .

n

解得 d=2,a1=1,∴an=2n-1.
n

综上可得,an=2n-1,bn=3 . (2)cn=an·bn=(2n-1)·3 , ∴Tn=3+3×3 +5×3 +?+(2n-3)·3
2 3 2 3

n

n-1

+(2n-1)·3 ,
n+1

n

3Tn=3 +3×3 +?+(2n-3)·3 +(2n-1)·3
2 3

n


n+1

∴-2Tn=3+2×3 +2×3 +?+2×3 -(2n-1)·3 -3=(2-2n)·3
n+1

n



2×3?3 -1? n+1 -(2n-1)·3 3-1

n

-6.
n+1

∴Tn=3+(n-1)3

.

5.(2015·浙江宁波第一次模拟)在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比数 列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为 q,且 b2+S2=12,q= . 导学号 25401326 (1)求 an 与 bn;

S2 b2

7

1 1 1 1 2 (2)证明: ≤ + +?+ < . 3 S1 S2 Sn 3 [答案] (1)an=3n,bn=3
n-1

(2)略

[解析] (1)解 设数列{an}的公差为 d.

b2+S2=12, ? ? 因为? S2 q= , ? ? b2

q+6+d=12, ? ? 所以? 6+d q= . ? q ?

解得 q=3 或 q=-4(舍),d=3. 故 an=3+3(n-1)=3n,bn=3 (2)证明 因为 Sn= 1 所以 = 2 2
n-1

.

n?3+3n?



Sn n?3+3n? 3 n n+1 Sn

2 1 1 = ( - ).

1 1 1 故 + +?+

S1 S2

2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 = [(1- )+( - )+( - )+?+( - )]= (1- ). 3 2 2 3 3 4 n n+1 3 n+1 因为 n≥1,所以 0< 1 1 1 1 ≤ ,所以 ≤1- <1, n+1 2 2 n+1

1 2 1 2 所以 ≤ (1- )< , 3 3 n+1 3 1 1 1 1 2 即 ≤ + +?+ < . 3 S1 S2 Sn 3

8


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