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高二理科数学选修2-2测试题及答案


高二选修 2-2 理科数学试卷
第I卷
5 1、复数 的共轭复数是( ) 2?i A、 i ? 2 B、 i ? 2
2、 已知 f(x)= 3 x ·sinx,则 f '(1) =( A. ) (选择题, 共 60 分)

10、 若 f ( x) ? ? A. [?1, ??)

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
B. (?1, ??) C. (??, ?1] D. (??, ?1)



一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

11、点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是( D、 2 ? i (A) 1 (B)



C、 ? 2 ? i

2

(C)



(D)

2 2


1 +cos1 3

B.

1 sin1+cos1 3

C.

1 sin1-cos1 3

D.sin1+cos1

3、设 a ? R ,函数 f ? x ? ? ex ? ae? x 的导函数为 f ' ? x ? ,且 f ' ? x ? 是奇函数,则 a 为( ) A.0 B.1 C.2 ) D.-1

4、定积分 (2 x ? e )dx 的值为(
x 0

?

1

A. 2 ? e

C. e D. 2 ? e 1 1 1 5、利用数学归纳法证明不等式 1+ + +… n <f(n) (n≥2,n∈N*)的过程中,由 n=k 变到 n 2 3 2 -1
=k+1 时,左边增加了( A.1 项 B.k 项 ) C.2k
-1

B. ? e

12、对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,且 f ' (1) ? 0 若满足(x-1) f ?(x) >0,则必有( A.f(0)+f(2)? 2 f(1) B.f(0)+f(2)? 2 f(1) 21) C.f(0)+f(2)> 2 f(1) D.f(0)+f(2)? 2 f( 0 第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分) 0 8 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 0 ? x2 , x ?[0,1] 2 5 13、设 f ( x) ? ? ,则 ? 0 f ( x)dx = 2 ? x , x ? (1, 2] 0 ? 9 1 r a ? b ? c) 14、若三角形内切圆半径为 r,三边长为 a,b,c 则三角形的面积 S ? ( ;

2

利用类比思想:若四面体内切球半径为 R,四个面的面积为 S1,S2,S3,S4 ; 则四面体的体积 V= 2 15、若复数 z= ,其中 i 是虚数单位,则|z|=______. 1+ 3i 16、已知函数 f(x)=x3+2x2-ax+1 在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围 _____. 三、解答题(本大题共 70 分)



D.2k 项 )

6、由直线 y= x - 4,曲线 y ? A.

2 x 以及 x 轴所围成的图形面积为(
C.

40 3

B.13

25 2

D.15 ( )

7、函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为 (A) (3,?3)
2

17、 (10 分)实数 m 取怎样的值时,复数 z ? m ? 3 ? (m ? 2m ? 15)i 是:
2

(B) (?4,11)

(C) (3,?3) 或 (?4,11) ) D.[-1,0)∪(0,1]

(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
(D)不存在 18、 (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3x .
3

8、函数 f(x)=x -2lnx 的单调减区间是( A.(0,1] B.[1,+∞)

C.(-∞,-1]∪(0,1]

(1)求函数 f ( x) 在 [?3, ] 上的最大值和最小值. ) (2)过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程.

3 2

9、 已知 f ( x ? 1) ? A. f ( x) ?

2 f ( x) , f (1) ? 1 (x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式( f ( x) ? 2
B. f ( x) ?

4 ; 2 ?2
x

2 ; x ?1

C. f ( x) ?

1 ; x ?1

D. f ( x) ?

2 . 2x ? 1

19、 (12 分)在各项为正的数列 ?an ? 中,数列的前 n 项和 S n 满足 S n ? ⑴求 a1 , a2 , a3 ; ⑵由⑴猜想数列 ?an ? 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想 20、 (12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x) 的单调区间 (2)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围
2

1? 1? ? ?, a ? n 2? an ? ? ?

又因为 f (?3) ? ?18, f (?1) ? 2, f (1) ? ?2, f ( ) ? ? 所以当 x ? ?3 时, f ( x)min ? ?18

3 2

9 , 8

当 x ? ?1 时, f ( x)max ? 2 …………6 分

3 (II)设切点为 Q( x? , x? ? 3x? ) ,则所求切线方程为 y ? ( x?3 ? 3x? ) ? 3( x?2 ?1)( x ? x? )

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

3 由于切线过点 P(2, ?6) ,??6 ? ( x? ? 3x? ) ? 3( x?2 ?1)(2 ? x? ) ,

解得 x? ? 0 或 x? ? 3 所以切线方程为 y ? ?3x或y ? 6 ? 24( x ? 2) 即

3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0

…………12 分

21、 (12 分)已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 3. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围. 22、 (12分)已知函数 f ? x ? ? x ? 19 .解:⑴易求得 a1 ? 1, a2 ? ⑵猜想 an ?

2 ? 1, a3 ? 3 ? 2

…………2 分 …………5 分

(2)若对任意的 x1 , x2 ??1 ,e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取值范围.

a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;

n ? n ? 1(n ? N * )

证明:①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 0 ? 1,命题成立 ②假设 n ? k 时, ak ?

k ? k ? 1 成立,
1 1 1 1 (ak ?1 ? ) ? (a k ? ) 2 ak ?1 2 ak

参考答案
1、D 2、B 3、D 4、A 5、D 6、A 7、B 8、A 9、B 10、C 11、B 12、C 13、

则 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? S k ?1 ? S k ?

5 6

14、 1 R(S1 ? S 2 ? S3 +S4) 15、1 3

?

16、[-1,7)

1 1 1 1 1 1 )? k , (a k ?1 ? ) ? ( k ? k ?1 ? ) ? (a k ?1 ? 2 a k ?1 2 a k ?1 2 k ? k ?1
2

17.解: (1)当 m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ,即 m ? ?3 或 m ? 5 时,复数 Z 为实数; (3 分)

所以, ak ?1 ? 2 k ak ?1 ? 1 ? 0 , ? ak ?1 ?

k ?1 ? k . n ? n ? 1 . …………12 分

(2)当 m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ,即 m ? ?3 且 m ? 5 时,复数 Z 为虚数; (7 分) (3)当 m 2 ? 2m ? 15 ? 0, 且m - 3 ? 0 ,即 m ? 3 时,复数 Z 为纯虚数; (10 分)
18.解: (I) f '( x) ? 3( x ? 1)( x ? 1) , 当 x ?[?3, ?1) 或 x ? (1, ] 时, f '( x) ? 0 ,?[ ?3, ?1],[1, ] 为函数 f ( x) 的单调增区间 当 x ? (?1,1) 时, f '( x) ? 0 , ?[?1,1] 为函数 f ( x) 的单调减区间

* 即 n ? k ? 1 时,命题成立. 由①②知, n ? N 时, an ?

20. 解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2

3 2

3 2

由 f (? ) ?
'

1 2 12 4 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 2 3 9 3 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 ( ??, ? ) ? (? ,1) (1, ??) 3 3 3

f ' ( x) f ( x)

0
?
极大值

0
?
极小值

?

解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

所以函数 f ( x) 的递增区间是 ( ??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 (? ,1) ;…………6 分

2 3

2 3

∴ h? ? x ? ? 2 ?

(2) f ( x) ? x ?
3

2 22 1 2 2 ?c x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 3 27 2 3

a2 1 ? . x2 x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c 2 , x ?[?1, 2] 恒成立,则只需要 c ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2
2

…………12 分

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) , x2 ? , 4 4

x
解: (1) f ?( x) ? 6 x2 ? 6 x, f ?(2) ? 12, f (2) ? 7, ………………………2 分 ∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 ? 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ? 17 ? 0 ;……4 分 21 (2)记 g ( x) ? 2x ? 3x ? m ? 3, g ?( x) ? 6 x ? 6 x ? 6 x( x ?1) 令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1. …………………………………………………………6 分
3 2 2

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ???


h? ? x ? h ? x?
依题意,

?

?

则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x
g ?( x )

(??, 0)

0

?

0

(0,1) ?

1
0

(1, ??)

?

?1 ? 1 ? 8a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4 ∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . (2)解:对任意的 x1 , x2 ??1 ,e? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1, x2 ??1 ,e? 都
有? ? g ? x ?? ? max . ? f ? x ?? ? min ≥ ? 当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ?

极大 极小 ? ? ? 当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . ………………………10 分 ? g (0) ? 0 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ? , ? g (1) ? 0 ?m ? 3 ? 0 即? , ? 3 ? m ? ?2 时, ?m ? 2 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .…………12 分 22. 解: (1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

g ( x)

∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 ,e? 上是增函数. ∴? ? g ? x ?? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . ∵ f ?? x? ? 1?

1 ?0. x

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点, ∴a ? 3.

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ??1, e? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x
2 ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .

由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意.
2

②当1≤ a ≤ e 时,

若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 . 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a .
由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,

e ?1 , 2

e ?1 ≤a≤e. 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴? ? f ? x ?? ? min

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1 ,e? 上是减函数. x a2 ? f ?e? ? e ? . e

a2 由e? ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴ a ? e . ? e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?


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